Modelo de ecuaciones simultáneas

Los modelos de ecuaciones simultáneas son un tipo de modelo estadístico en el que las variables dependientes son funciones de otras variables dependientes, en lugar de solo variables independientes. ^[1] Esto significa que algunas de las variables explicativas se determinan conjuntamente con la variable dependiente, que en economía suele ser la consecuencia de algún mecanismo de equilibrio subyacente . Por ejemplo, en el modelo simple de oferta y demanda , el precio y la cantidad se determinan conjuntamente. ^[2]

La simultaneidad plantea desafíos para la estimación de los parámetros estadísticos de interés, porque se viola el supuesto de Gauss-Markov de exogeneidad estricta de los regresores. Y aunque sería natural estimar todas las ecuaciones simultáneas a la vez, esto a menudo conduce a un problema de optimización no lineal computacionalmente costoso incluso para el sistema más simple de ecuaciones lineales . ^[3] Esta situación impulsó el desarrollo, encabezado por la Comisión Cowles en las décadas de 1940 y 1950, ^[4] de varias técnicas que estiman cada ecuación en el modelo en serie, sobre todo información limitada de máxima verosimilitud.y mínimos cuadrados de dos etapas . ^[5]

Forma estructural y reducida

Suponga que hay m ecuaciones de regresión de la forma

${\displaystyle y_{it}=y_{-i,t}'\gamma _{i}+x_{it}'\;\!\beta _{i}+u_{it},\quad i=1,\ldots ,m,}$

donde i es el número de la ecuación y t = 1, ..., T es el índice de observación. En estas ecuaciones x _que es la k _i × 1 vector de variables exógenas, y _que es la variable dependiente, y _{-i, t} es el n _i × 1 vector de todas las demás variables endógenas que entran en el i ^ésimo ecuación en la derecha lado, y T _es son los términos de error. La notación “- i ” indica que el vector y _{−i, t} puede contener cualquiera de las yes excepto por y _él (ya que ya está presente en el lado izquierdo). Los coeficientes de regresión β _i y γ _i son de dimensiones k _i × 1 y n _i × 1 correspondientemente. Apilando verticalmente las T observaciones correspondientes a la i- ^ésima ecuación, podemos escribir cada ecuación en forma vectorial como

${\displaystyle y_{i}=Y_{-i}\gamma _{i}+X_{i}\beta _{i}+u_{i},\quad i=1,\ldots ,m,}$

donde y _i y u _i son vectores T × 1, X _i es una matriz T × k _i de regresores exógenos, e Y _−i es una matriz T × n _i de regresores endógenos en el lado derecho de la i- ^ésima ecuación . Finalmente, podemos mover todas las variables endógenas al lado izquierdo y escribir las m ecuaciones conjuntamente en forma vectorial como

${\displaystyle Y\Gamma =X\mathrm {B} +U.\,}$

Esta representación se conoce como forma estructural . En esta ecuación, Y = [ y ₁ y ₂ ... y _m ] es la matriz T × m de variables dependientes. Cada una de las matrices Y _-i es de hecho un n _i -columned submatriz de esta Y . La matriz m × m Γ, que describe la relación entre las variables dependientes, tiene una estructura complicada. Tiene unos en la diagonal, y todos los demás elementos de cada columna i son componentes del vector −γ _io ceros, dependiendo de qué columnas de Y se incluyeron en la matriz Y _−i . La matriz X de T × k contiene todos los regresores exógenos de todas las ecuaciones, pero sin repeticiones (es decir, la matriz X debe ser de rango completo). Por lo tanto, cada X _i es una submatriz de X con columnas k _i . La matriz Β tiene un tamaño k × m , y cada una de sus columnas consta de los componentes de los vectores β _i y ceros, dependiendo de cuál de los regresores de X se incluyó o excluyó de X _i . Finalmente, U= [ u ₁ u ₂ ... u _m ] es una matriz T × m de los términos de error.

Después de multiplicar la ecuación estructural por Γ ⁻¹ , el sistema se puede escribir en forma reducida como

${\displaystyle Y=X\mathrm {B} \Gamma ^{-1}+U\Gamma ^{-1}=X\Pi +V.\,}$

Este ya es un modelo lineal general simple y se puede estimar, por ejemplo, mediante mínimos cuadrados ordinarios . Desafortunadamente, la tarea de descomponer la matriz estimada en los factores individuales Β y Γ ⁻¹ es bastante complicada y, por lo tanto, la forma reducida es más adecuada para la predicción pero no para la inferencia.${\displaystyle \scriptstyle {\hat {\Pi }}}$

Supuestos

En primer lugar, el rango de la matriz X de regresores exógenos debe ser igual a k , tanto en muestras finitas como en el límite cuando T → ∞ (este último requisito significa que en el límite la expresión debe converger a una matriz k × k no degenerada ) . También se supone que la matriz Γ no está degenerada.${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{T}}X'\!X}$

En segundo lugar, se supone que los términos de error son independientes en serie y están distribuidos de forma idéntica . Es decir, si la t- ^ésima fila de la matriz U se denota por u _{( t )} , entonces la secuencia de vectores { u _{( t )} } debe ser iid, con media cero y alguna matriz de covarianza Σ (que se desconoce). En particular, esto implica que E [ U ] = 0 y E [ U′U ] = T  Σ .

Por último, se requieren supuestos para la identificación.

Identificación

Las condiciones de identificación requieren que el sistema de ecuaciones lineales se pueda resolver para los parámetros desconocidos.

Más específicamente, la condición de orden , una condición necesaria para la identificación, es que para cada ecuación k _i + n _i ≤ k , que puede expresarse como "el número de variables exógenas excluidas es mayor o igual al número de variables endógenas incluidas" .

La condición de rango , una condición más fuerte que es necesaria y suficiente, es que el rango de Π _{i 0} es igual a n _i , donde Π _{i 0} es una matriz ( k - k _i ) × n _i que se obtiene de Π tachando esos las columnas que corresponden a las variables endógenas excluidas y las filas que corresponden a las variables exógenas incluidas.

Uso de restricciones de ecuaciones cruzadas para lograr la identificación

En modelos de ecuaciones simultáneas, el método más común para lograr la identificación es imponer restricciones de parámetros dentro de la ecuación. ^[6] Sin embargo, la identificación también es posible utilizando restricciones de ecuaciones cruzadas.

Para ilustrar cómo se pueden usar las restricciones de ecuaciones cruzadas para la identificación, considere el siguiente ejemplo de Wooldridge ^[6]

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}&=\gamma _{12}y_{2}+\delta _{11}z_{1}+\delta _{12}z_{2}+\delta _{13}z_{3}+u_{1}\\y_{2}&=\gamma _{21}y_{1}+\delta _{21}z_{1}+\delta _{22}z_{2}+u_{2}\end{aligned}}}$

donde las z no están correlacionadas con las u y las y son variables endógenas . Sin más restricciones, la primera ecuación no se identifica porque no hay una variable exógena excluida. La segunda ecuación solo se identifica si δ ₁₃ ≠ 0 , lo que se supone que es cierto para el resto de la discusión.

Ahora imponemos la restricción de ecuación cruzada de δ ₁₂ = δ ₂₂ . Dado que se identifica la segunda ecuación, podemos tratar δ ₁₂ como conocido para fines de identificación. Entonces, la primera ecuación se convierte en:

${\displaystyle y_{1}-\delta _{12}z_{2}=\gamma _{12}y_{2}+\delta _{11}z_{1}+\delta _{13}z_{3}+u_{1}}$

Luego, podemos usar ( z ₁ , z ₂ , z ₃ ) como instrumentos para estimar los coeficientes en la ecuación anterior, ya que hay una variable endógena ( y ₂ ) y una variable exógena excluida ( z ₂ ) en el lado derecho. Por lo tanto, las restricciones entre ecuaciones en lugar de las restricciones dentro de la ecuación pueden lograr la identificación.

Estimación

Mínimos cuadrados de dos etapas (2SLS)

El método de estimación más simple y común para el modelo de ecuaciones simultáneas es el llamado método de mínimos cuadrados de dos etapas , ^[7] desarrollado independientemente por Theil (1953) y Basmann (1957) . ^{[8] [9]} Es una técnica de ecuación por ecuación, en la que los regresores endógenos del lado derecho de cada ecuación se instrumentan con los regresores X de todas las demás ecuaciones. El método se denomina "dos etapas" porque realiza la estimación en dos pasos: ^[7] harvtxt error: no target: CITEREFTheil1953 (help)

Paso 1 : Haga una regresión de Y _−i sobre X y obtenga los valores predichos ;${\displaystyle \scriptstyle {\hat {Y}}_{\!-i}}$

Paso 2 : Estime γ _i , β _i mediante la regresión de mínimos cuadrados ordinarios de y _i on y X _i .${\displaystyle \scriptstyle {\hat {Y}}_{\!-i}}$

Si la i- ^ésima ecuación del modelo se escribe como

${\displaystyle y_{i}={\begin{pmatrix}Y_{-i}&X_{i}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\gamma _{i}\\\beta _{i}\end{pmatrix}}+u_{i}\equiv Z_{i}\delta _{i}+u_{i},}$

donde Z _i es una matriz T × ( n _i  + k _i ) de regresores endógenos y exógenos en la i- ^ésima ecuación, y δ _i es un vector ( n _i  + k _i ) -dimensional de coeficientes de regresión, entonces el estimador 2SLS de δ _i vendrá dado por ^[7]

${\displaystyle {\hat {\delta }}_{i}={\big (}{\hat {Z}}'_{i}{\hat {Z}}_{i}{\big )}^{-1}{\hat {Z}}'_{i}y_{i}={\big (}Z'_{i}PZ_{i}{\big )}^{-1}Z'_{i}Py_{i},}$

donde P = X  ( X  ' X ) ^-1 X  ' es la matriz de proyección sobre el espacio lineal abarcado por los regresores exógeno X .

Mínimos cuadrados indirectos

Los mínimos cuadrados indirectos es un enfoque en econometría en el que los coeficientes en un modelo de ecuaciones simultáneas se estiman a partir del modelo de forma reducida utilizando mínimos cuadrados ordinarios . ^{[10] [11]} Para ello, el sistema estructural de ecuaciones se transforma primero en la forma reducida. Una vez que se estiman los coeficientes, el modelo se vuelve a poner en la forma estructural.

Máxima probabilidad de información limitada (LIML)

El método de máxima verosimilitud de “información limitada” fue sugerido por MA Girshick en 1947, ^[12] y formalizado por TW Anderson y H. Rubin en 1949. ^[13] Se utiliza cuando uno está interesado en estimar una sola ecuación estructural a la vez ( de ahí su nombre de información limitada), digamos para la observación i:

${\displaystyle y_{i}=Y_{-i}\gamma _{i}+X_{i}\beta _{i}+u_{i}\equiv Z_{i}\delta _{i}+u_{i}}$

Las ecuaciones estructurales para las restantes variables endógenas Y _−i no se especifican y se dan en su forma reducida:

${\displaystyle Y_{-i}=X\Pi +U_{-i}}$

La notación en este contexto es diferente a la del caso IV simple . Uno tiene:

• ${\displaystyle Y_{-i}}$: La (s) variable (s) endógenas.
• ${\displaystyle X_{-i}}$: La (s) variable (s) exógena (s)
• ${\displaystyle X}$: El (los) instrumento (s) (a menudo indicado )${\displaystyle Z}$

La fórmula explícita para el LIML es: ^[14]

${\displaystyle {\hat {\delta }}_{i}={\Big (}Z'_{i}(I-\lambda M)Z_{i}{\Big )}^{\!-1}Z'_{i}(I-\lambda M)y_{i},}$

donde M = I - X  ( X  ′ X ) ⁻¹ X  ′ , y λ es la raíz característica más pequeña de la matriz:

${\displaystyle {\Big (}{\begin{bmatrix}y_{i}\\Y_{-i}\end{bmatrix}}M_{i}{\begin{bmatrix}y_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}{\Big )}{\Big (}{\begin{bmatrix}y_{i}\\Y_{-i}\end{bmatrix}}M{\begin{bmatrix}y_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}{\Big )}^{\!-1}}$

donde, de manera similar, M _i = I - X _i  ( X _i ′ X _i ) ⁻¹ X _i ′ .

En otras palabras, λ es la solución más pequeña del problema de valores propios generalizados , ver Theil (1971 , p. 503):

${\displaystyle {\Big |}{\begin{bmatrix}y_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}'M_{i}{\begin{bmatrix}y_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}-\lambda {\begin{bmatrix}y_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}'M{\begin{bmatrix}y_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}{\Big |}=0}$

Estimadores de clase K

El LIML es un caso especial de los estimadores de clase K: ^[15]

${\displaystyle {\hat {\delta }}={\Big (}Z'(I-\kappa M)Z{\Big )}^{\!-1}Z'(I-\kappa M)y,}$

con:

• ${\displaystyle \delta ={\begin{bmatrix}\beta _{i}&\gamma _{i}\end{bmatrix}}}$
• ${\displaystyle Z={\begin{bmatrix}X_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}}$

Varios estimadores pertenecen a esta clase:

• κ = 0: OLS
• κ = 1: 2SLS. De hecho, tenga en cuenta que en este caso, la matriz de proyección habitual del 2SLS${\displaystyle I-\kappa M=I-M=P}$
• κ = λ: LIML
• κ = λ - α (nK): estimador de Fuller (1977) . ^[16] Aquí K representa el número de instrumentos, n el tamaño de la muestra y α una constante positiva para especificar. Un valor de α = 1 producirá un estimador que es aproximadamente insesgado. ^[15]

Mínimos cuadrados de tres etapas (3SLS)

El estimador de mínimos cuadrados de tres etapas fue introducido por Zellner y Theil (1962) . ^{[17] [18]} Puede verse como un caso especial de MMG de ecuaciones múltiples donde el conjunto de variables instrumentales es común a todas las ecuaciones. ^[19] Si todos los regresores están predeterminados, entonces 3SLS se reduce a regresiones aparentemente no relacionadas (SUR). Por lo tanto, también puede verse como una combinación de mínimos cuadrados de dos etapas (2SLS) con SUR.

Aplicaciones en ciencias sociales

En todos los campos y disciplinas, los modelos de ecuaciones simultáneas se aplican a varios fenómenos de observación. Estas ecuaciones se aplican cuando se supone que los fenómenos son recíprocamente causales. El ejemplo clásico es la oferta y la demanda en economía . En otras disciplinas hay ejemplos como la evaluación de candidatos y la identificación de partidos ^[20] o la opinión pública y la política social en las ciencias políticas ; ^{[21] [22]} inversión en carreteras y demanda de viajes en geografía; ^[23] y el nivel educativo y el ingreso a la paternidad en sociología o demografía . ^[24]El modelo de ecuaciones simultáneas requiere una teoría de la causalidad recíproca que incluya características especiales si los efectos causales deben estimarse como retroalimentación simultánea en lugar de 'bloques' unilaterales de una ecuación en la que un investigador está interesado en el efecto causal de X sobre Y mientras se mantiene constante el efecto causal de Y sobre X, o cuando el investigador conoce la cantidad exacta de tiempo que tarda en producirse cada efecto causal, es decir, la duración de los rezagos causales. En lugar de efectos rezagados, la retroalimentación simultánea significa estimar el impacto simultáneo y perpetuo de X e Y entre sí. Esto requiere una teoría de que los efectos causales son simultáneos en el tiempo, o tan complejos que parecen comportarse simultáneamente; un ejemplo común son los estados de ánimo de los compañeros de habitación. ^[25]Para estimar modelos de retroalimentación simultánea también es necesaria una teoría del equilibrio: que X e Y estén en estados relativamente estables o sean parte de un sistema (sociedad, mercado, aula) que está en un estado relativamente estable. ^[26]

Ver también

• Modelo linear general
• Regresiones aparentemente no relacionadas
• Forma reducida
• Problema de identificación de parámetros

Referencias

1. Martin, Vance; Hurn, Stan; Harris, David (2013). Modelado econométrico con series temporales . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 159. ISBN 978-0-521-19660-4.
2. Maddala, GS; Lahiri, Kajal (2009). Introducción a la econometría (Cuarta ed.). Wiley. págs. 355–357. ISBN 978-0-470-01512-4.
3. Quandt, Richard E. (1983). "Problemas y métodos computacionales". En Griliches, Z .; Intriligator, MD (eds.). Manual de Econometría . Volumen I. Holanda Septentrional. págs. 699–764. ISBN 0-444-86185-8.
4. Cristo, Carl F. (1994). "Contribuciones de la Comisión Cowles a la econometría en Chicago, 1939-1955". Revista de Literatura Económica . 32 (1): 30–59. JSTOR 2728422 . 
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6. Wooldridge, JM, Análisis econométrico de datos de panel y sección transversal, MIT Press, Cambridge, Mass.
7. Greene, William H. (2002). Análisis econométrico (5ª ed.). Prentice Hall. págs. 398–99. ISBN 0-13-066189-9.
8. Basmann, RL (1957). "Un método clásico generalizado de estimación lineal de coeficientes en una ecuación estructural". Econometrica . 25 (1): 77–83. doi : 10.2307 / 1907743 . JSTOR 1907743 . 
9. Theil, Henri (1971). Principios de Econometría . Nueva York: John Wiley.
10. Park, SB. (1974) "Sobre la estimación indirecta de mínimos cuadrados de un sistema de ecuaciones simultáneas", The Canadian Journal of Statistics / La Revue Canadienne de Statistique , 2 (1), 75–82 JSTOR  3314964
11. Vajda, S .; Valko, P .; Godfrey, KR (1987). "Métodos directos e indirectos de mínimos cuadrados en la estimación de parámetros en tiempo continuo". Automatica . 23 (6): 707–718. doi : 10.1016 / 0005-1098 (87) 90027-6 .
12. Primera aplicación de Girshick, MA; Haavelmo, Trygve (1947). "Análisis estadístico de la demanda de alimentos: ejemplos de estimación simultánea de ecuaciones estructurales". Econometrica . 15 (2): 79-110. doi : 10.2307 / 1907066 . JSTOR 1907066 . 
13. Anderson, TW; Rubin, H. (1949). "Estimador de los parámetros de una sola ecuación en un sistema completo de ecuaciones estocásticas" . Anales de estadística matemática . 20 (1): 46–63. doi : 10.1214 / aoms / 1177730090 . JSTOR 2236803 . 
14. Amemiya, Takeshi (1985). Econometría avanzada . Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press. pag. 235 . ISBN 0-674-00560-0.
15. Davidson, Russell; MacKinnon, James G. (1993). Estimación e inferencia en econometría . Prensa de la Universidad de Oxford. pag. 649. ISBN 0-19-506011-3.
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18. Kmenta, enero (1986). "Métodos de estimación del sistema" . Elementos de Econometría (Segunda ed.). Nueva York: Macmillan. págs. 695–701.
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Lectura adicional

• Asteriou, Dimitrios; Hall, Stephen G. (2011). Econometría aplicada (Segunda ed.). Basingstoke: Palgrave Macmillan. pag. 395. ISBN 978-0-230-27182-1.
• Chow, Gregory C. (1983). Econometría . Nueva York: McGraw-Hill. págs.  117-121 . ISBN 0-07-010847-1.
• Fomby, Thomas B .; Hill, R. Carter; Johnson, Stanley R. (1984). "Modelos de ecuaciones simultáneas". Métodos econométricos avanzados . Nueva York: Springer. págs. 437–552. ISBN 0-387-90908-7.
• Maddala, GS ; Lahiri, Kajal (2009). "Modelos de ecuaciones simultáneas". Introducción a la econometría (Cuarta ed.). Nueva York: Wiley. págs. 355–400. ISBN 978-0-470-01512-4.
• Ruud, Paul A. (2000). "Ecuaciones simultáneas". Introducción a la teoría econométrica clásica . Prensa de la Universidad de Oxford. págs. 697–746. ISBN 0-19-511164-8.
• Sargan, Denis (1988). Conferencias sobre teoría econométrica avanzada . Oxford: Basil Blackwell. págs. 68–89. ISBN 0-631-14956-2.
• Wooldridge, Jeffrey M. (2013). "Modelos de ecuaciones simultáneas". Econometría introductoria (Quinta ed.). Del suroeste. págs. 554–582. ISBN 978-1-111-53104-1.

Enlaces externos

• Conferencia sobre el problema de identificación en 2SLS y estimación en YouTube por Mark Thoma