functor de tamaño

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Dado un par de tamaños donde es una variedad de dimensión y es una función continua real arbitraria definida en ella, el funtor de tamaño -ésimo , ^[1] con , denotado por , es el funtor en , donde es la categoría de los números reales ordenados, y es la categoría de los grupos abelianos , definida de la siguiente manera. Para , estableciendo , , igual a la inclusión de en , e igual al morfismo${\ estilo de visualización (M, f) \ }$${\ estilo de visualización M \}$${\ estilo de visualización n \}$${\ estilo de visualización f \}$${\ estilo de visualización i}$${\displaystyle i=0,\ldots,n\ }$${\displaystyle F_{i}\ }$${\displaystyle Diversión(\mathrm {Rord} ,\mathrm {Ab} )\ }$${\displaystyle \mathrm {Rod} \ }$${\displaystyle \mathrm {Ab} \ }$${\ estilo de visualización x \ leq y \}$${\displaystyle M_{x}=\{p\in M:f(p)\leq x\}\ }$${\displaystyle M_{y}=\{p\in M:f(p)\leq y\}\ }$${\ estilo de visualización j_ {xy} \ }$${\displaystyle M_{x}\ }$${\displaystyle M_{y}\ }$${\displaystyle k_{xy}\ }$en de a ,${\displaystyle \mathrm {Rod} \ }$${\ estilo de visualización x \}$${\ estilo de visualización y \}$

En otras palabras, el funtor de tamaño estudia el proceso de nacimiento y muerte de las clases de homología a medida que cambia el conjunto de nivel inferior. Cuando es suave y compacta y es una función de Morse , el funtor puede ser descrito por árboles orientados, llamados − árboles.${\ estilo de visualización M \}$${\ estilo de visualización f \}$${\ estilo de visualización F_ {0} \ }$${\displaystyle H_{0}\ }$

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