Teoría del tamaño

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En matemáticas , la teoría del tamaño estudia las propiedades de los espacios topológicos dotados de funciones valuadas , con respecto al cambio de estas funciones. Más formalmente, el tema de la teoría del tamaño es el estudio de la pseudodistancia natural entre pares de tamaños . Se puede encontrar una revisión de la teoría del tamaño en . ^[1]${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {k}}$

El comienzo de la teoría del tamaño tiene sus raíces en el concepto de función de tamaño , introducido por Frosini. ^[2] Las funciones de tamaño se utilizaron inicialmente como una herramienta matemática para la comparación de formas en la visión artificial y el reconocimiento de patrones . ^{[3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10]}

Se hizo una extensión del concepto de función de tamaño a la topología algebraica en Grupos de homotopía de tamaño para el cálculo de distancias de tamaño natural , ^[11] donde se introdujeron grupos de homotopía de tamaño , junto con la pseudodistancia natural para funciones con valores . En . _ _ _ ^[12] El grupo de homotopía de tamaño y el funtor de tamaño están estrictamente relacionados con el concepto de grupo de homología persistente , ^[13] estudiado en homología persistente${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {k}}$. Vale la pena señalar que la función de tamaño es el rango del -ésimo grupo de homología persistente, mientras que la relación entre el grupo de homología persistente y el grupo de homotopía de tamaño es análoga a la que existe entre los grupos de homología y los grupos de homotopía .${\ estilo de visualización 0}$

En la teoría del tamaño, las funciones de tamaño y los grupos de homotopía de tamaño se consideran herramientas para calcular los límites inferiores de la pseudodistancia natural . En realidad, existe el siguiente vínculo entre los valores tomados por las funciones de tamaño y la pseudodistancia natural entre los pares de tamaño , ^[14]${\displaystyle \ell _{(N,\psi )}({\bar {x}},{\bar {y}})}$${\displaystyle \ell _{(M,\varphi )}({\tilde {x}},{\tilde {y}})}$ ${\ estilo de visualización d ((M, \ varphi), (N, \ psi))}$${\ estilo de visualización (M, \ varphi), \ (N, \ psi)}$

El intento de generalizar la teoría del tamaño y el concepto de pseudodistancia natural a normas que son diferentes de la norma suprema ha llevado al estudio de otras normas invariantes de reparametrización. ^[dieciséis]

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