En teoría de números , el número de Skewes es cualquiera de varios números grandes utilizados por el matemático sudafricano Stanley Skewes como límites superiores para el número natural más pequeño. para cual
donde π es la función de conteo de primos y li es la función integral logarítmica . El número de Skewes es mucho mayor, pero ahora se sabe que hay un cruce cerca No se sabe si es el más pequeño.
Números sesgados
John Edensor Littlewood , que era el supervisor de investigación de Skewes, había demostrado en Littlewood (1914) que existe tal número (y, por lo tanto, el primero); y de hecho encontré que el signo de la diferenciacambia infinitamente muchas veces. Toda la evidencia numérica disponible en ese momento parecía sugerir que siempre fue menor que . Sin embargo, la prueba de Littlewood no mostró un número concreto.
Skewes (1933) demostró que, asumiendo que la hipótesis de Riemann es cierta, existe un número violando debajo
- .
En Skewes (1955) , sin asumir la hipótesis de Riemann, Skewes demostró que debe existir un valor de debajo
- .
La tarea de Skewes era hacer efectiva la prueba de existencia de Littlewood : exhibiendo un límite superior concreto para el primer cambio de signo. Según Georg Kreisel , en ese momento esto no se consideraba obvio ni siquiera en principio.
Estimaciones más recientes
Desde entonces, estos límites superiores se han reducido considerablemente mediante el uso de cálculos informáticos a gran escala de ceros de la función zeta de Riemann . La primera estimación del valor real de un punto de cruce fue dada por Lehman (1966) , quien mostró que en algún lugar entre y Hay mas que enteros consecutivos con . Sin asumir la hipótesis de Riemann, HJJ te Riele ( 1987 ) demostró un límite superior de. Una mejor estimación fuedescubierto por Bays & Hudson (2000) , quienes demostraron que hay al menos enteros consecutivos en algún lugar cerca de este valor donde . Bays y Hudson encontraron algunos valores mucho más pequeños de dónde se acerca a ; la posibilidad de que haya puntos de cruce cerca de estos valores no parece haber sido descartada definitivamente todavía, aunque los cálculos informáticos sugieren que es poco probable que existan. Chao & Plymen (2010) dieron una pequeña mejora y corrección al resultado de Bays y Hudson. Saouter y Demichel (2010) encontraron un intervalo más pequeño para un cruce, que fue ligeramente mejorado por Zegowitz (2010) . La misma fuente muestra que existe un número violando debajo . Esto se puede reducir a, asumiendo la hipótesis de Riemann. Stoll y Demichel (2011) dieron.
Año | cerca de x | # de ceros complejos utilizados | por |
---|---|---|---|
2000 | 1.39822 × 10 316 | 1 × 10 6 | Bays y Hudson |
2010 | 1.39801 × 10 316 | 1 × 10 7 | Chao y Plymen |
2010 | 1.397166 × 10 316 | 2,2 × 10 7 | Saouter y Demichel |
2011 | 1.397162 × 10 316 | 2,0 × 10 11 | Stoll y Demichel |
Rosser y Schoenfeld (1962) demostraron rigurosamente que no hay puntos de cruce debajo, mejorado por Brent (1975) para, por Kotnik (2008) para, de Platt y Trudgian (2014) para, y por Büthe (2015) para.
No hay un valor explícito conocido con certeza para tener la propiedad aunque los cálculos por computadora sugieren algunos números explícitos que probablemente satisfagan esto.
Aunque la densidad natural de los enteros positivos para los queno existe, Wintner (1941) demostró que la densidad logarítmica de estos enteros positivos sí existe y es positiva. Rubinstein y Sarnak (1994) demostraron que esta proporción es de aproximadamente 0,00000026, lo que es sorprendentemente grande dado lo lejos que hay que ir para encontrar el primer ejemplo.
Fórmula de Riemann
Riemann dio una fórmula explícita para, cuyos términos principales son (ignorando algunas preguntas sutiles de convergencia)
donde la suma está por encima de todo en el conjunto de ceros no triviales de la función zeta de Riemann .
El término de error más grande en la aproximación (si la hipótesis de Riemann es cierta) es negativa, mostrando que suele ser más grande que . Los otros términos anteriores son algo más pequeños y, además, tienden a tener diferentes argumentos complejos aparentemente aleatorios, por lo que en su mayoría se cancelan. Sin embargo, ocasionalmente, varios de los más grandes pueden tener aproximadamente el mismo argumento complejo, en cuyo caso se reforzarán mutuamente en lugar de cancelar y abrumarán el término..
La razón por la cual el número de Skewes es tan grande es que estos términos más pequeñas son bastante mucho más pequeño que el término de error que lleva, sobre todo porque el primer cero complejo de la función zeta tiene absolutamente una gran parte imaginaria, por lo que un gran número (varios cientos) de ellos necesitan tener aproximadamente el mismo argumento para abrumar el término dominante. La posibilidad de números complejos aleatorios que tienen aproximadamente el mismo argumento es aproximadamente 1 en . Esto explica porque a veces es más grande que y también por qué es raro que esto suceda. También muestra por qué encontrar lugares donde esto sucede depende de cálculos a gran escala de millones de ceros de alta precisión de la función zeta de Riemann.
El argumento anterior no es una prueba, ya que supone que los ceros de la función zeta de Riemann son aleatorios, lo cual no es cierto. En términos generales, la demostración de Littlewood consiste en el teorema de aproximación de Dirichlet para mostrar que a veces muchos términos tienen aproximadamente el mismo argumento. En el caso de que la hipótesis de Riemann sea falsa, el argumento es mucho más simple, esencialmente porque los términos para ceros que violan la hipótesis de Riemann (con parte real mayor que 1/2) son eventualmente más grandes que .
La razón del término es que, a grandes rasgos, en realidad cuenta las potencias de los números primos, en lugar de los propios números primos, con ponderado por . El termino es aproximadamente análoga a una corrección de segundo orden que tiene en cuenta los cuadrados de los números primos.
Equivalente para k-tuplas primos
Existe una definición equivalente del número de Skewes para primos k -tuplas ( Tóth (2019) ). Dejardenotar un primo ( k + 1) -tupla, el número de primos debajo tal que son todos primos, deja y deja denotar su constante de Hardy-Littlewood (véase la primera conjetura de Hardy-Littlewood ). Entonces el primer primoque viola la desigualdad de Hardy-Littlewood para la tupla ( k + 1), es decir, el primer primo tal que
(si existe tal número primo) es el número de Skewes para.
La siguiente tabla muestra los números Skewes conocidos actualmente para primos k -tuplas:
Prime k -tupla | Número sesgado | Encontrado por |
---|---|---|
( p , p + 2) | 1369391 | Lobo (2011) |
( p , p + 4) | 5206837 | Tóth (2019) |
( p , p + 2, p + 6) | 87613571 | Tóth (2019) |
( p , p + 4, p + 6) | 337867 | Tóth (2019) |
( p , p + 2, p + 6, p + 8) | 1172531 | Tóth (2019) |
( p , p + 4, p +6, p + 10) | 827929093 | Tóth (2019) |
( p , p + 2, p + 6, p + 8, p + 12) | 21432401 | Tóth (2019) |
( p , p +4, p +6, p + 10, p + 12) | 216646267 | Tóth (2019) |
( p , p + 4, p + 6, p + 10, p + 12, p + 16) | 251331775687 | Tóth (2019) |
El número de Skewes (si existe) para sexys primes aún se desconoce.
También se desconoce si todas las k-tuplas admisibles tienen un número de sesgo correspondiente.
Referencias
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- Büthe, Jan (2015), Un método analítico para delimitar, arXiv : 1511.02032 , Bibcode : 2015arXiv151102032B
- Chao, Kuok Fai; Plymen, Roger (2010), "Un nuevo destino para los más pequeños con ", International Journal of Number Theory , 6 (03): 681–690, arXiv : math / 0509312 , doi : 10.1142 / S1793042110003125 , MR 2652902 , Zbl 1215.11084
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- Lehman, R. Sherman (1966), "Sobre la diferencia π ( X ) - li ( X ) {\ Displaystyle \ pi (x) - \ operatorname {li} (x)} " , Acta Arithmetica , 11 : 397–410, doi : 10.4064 / aa-11-4-397-410 , MR 0202686 , Zbl 0151.04101
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- Tóth, László (2019), "Sobre la densidad asintótica de k-tuplas primos y una conjetura de Hardy y Littlewood" (PDF) , Métodos computacionales en ciencia y tecnología , 25 (3).
- Wintner, A. (1941), "Sobre la función de distribución del término restante del teorema de los números primos", American Journal of Mathematics , 63 (2): 233–248, doi : 10.2307 / 2371519 , JSTOR 2371519 , MR 0004255
- Wolf, Marek (2011), "El número sesgado para primos gemelos: contando cambios de signo de π2 (x) - C2Li2 (x)" (PDF) , Métodos computacionales en ciencia y tecnología , 17.
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enlaces externos
- Demichels, Patrick. "La función de conteo principal y temas relacionados" (PDF) . Demichel . Archivado desde el original (pdf) el 8 de septiembre de 2006 . Consultado el 29 de septiembre de 2009 .
- Asimov, I. (1976). "¡Brocheta!". De asuntos grandes y pequeños . Nueva York: Ace Books. ISBN 978-0441610723.