En teoría de números , un primo k -tupla es una colección finita de valores que representan un patrón repetible de diferencias entre números primos . Para una k -tupla ( a , b , ...), las posiciones donde la k -tupla coincide con un patrón en los números primos están dadas por el conjunto de enteros n tales que todos los valores ( n + a , n + b , ...) son primos. Normalmente, el primer valor de la tupla k es 0 y el resto son números pares positivos distintos . [1]
Patrones nombrados
Varias de las tuplas k más cortas se conocen por otros nombres comunes:
(0, 2) | primos gemelos |
(0, 4) | primos primos |
(0, 6) | primos sexy |
(0, 2, 6), (0, 4, 6) | trillizos primos |
(0, 6, 12) | trillizos primos sexys |
(0, 2, 6, 8) | cuatrillizos principales , década principal |
(0, 6, 12, 18) | sexys prime cuatrillizos |
(0, 2, 6, 8, 12), (0, 4, 6, 10, 12) | primos quintillizos |
(0, 4, 6, 10, 12, 16) | primos sextillizos |
OEIS secuencia OEIS : A257124 cubiertas 7-tuplas ( septillizos prime ) y contiene una visión general de secuencias relacionadas, por ejemplo, las tres secuencias correspondientes a los tres admisibles 8-tuplas ( octuplets principales ), y la unión de los 8-tuplas. El primer término de estas secuencias corresponde al primer número primo de la constelación de números primos más pequeños que se muestran a continuación.
Admisibilidad
Para que una k -tupla tenga un número infinito de posiciones en las que todos sus valores sean primos, no puede existir un primo p tal que la tupla incluya cada valor posible diferente módulo p . Porque, si existiera tal primo p , entonces no importa qué valor de n se eligiera, uno de los valores formados al sumar n a la tupla sería divisible por p , por lo que solo podría haber un número finito de ubicaciones primarias (solo aquellas que incluyan p sí mismo). Por ejemplo, los números en una k -tupla no pueden tomar los tres valores 0, 1 y 2 módulo 3; de lo contrario, los números resultantes siempre incluirían un múltiplo de 3 y, por lo tanto, no todos podrían ser primos a menos que uno de los números sea el 3. Una k -tupla que satisface esta condición (es decir, no tiene una p para la cual cubre todos los diferentes valores módulo p ) se llama admisible .
Se conjetura que cada k -tupla admisible coincide con un número infinito de posiciones en la secuencia de números primos. Sin embargo, no hay una tupla admisible para la que se haya probado, excepto la tupla 1 (0). Sin embargo, según la famosa prueba de 2013 de Yitang Zhang, se deduce que existe al menos una tupla 2 que coincide con infinitas posiciones; el trabajo posterior mostró que existe alguna 2-tupla con valores que difieren en 246 o menos que coinciden con infinitas posiciones. [2]
Posiciones coincidentes con patrones inadmisibles
Aunque (0, 2, 4) no es admisible, produce el conjunto único de primos, (3, 5, 7).
Algunas tuplas k inadmisibles tienen más de una solución totalmente prima. Esto no puede suceder para una tupla k que incluye todos los valores módulo 3, por lo que para tener esta propiedad una tupla k debe cubrir todos los valores módulo un número primo mayor, lo que implica que hay al menos cinco números en la tupla. La tupla inadmisible más corta con más de una solución es la tupla 5 (0, 2, 8, 14, 26), que tiene dos soluciones: (3, 5, 11, 17, 29) y (5, 7, 13, 19, 31) donde todas las congruencias (mod 5) están incluidas en ambos casos.
Primeras constelaciones
El diámetro de una k -tupla es la diferencia de sus elementos más grandes y más pequeños. Una tupla k primo admisible con el diámetro d más pequeño posible (entre todas las tuplas k admisibles ) es una constelación prima . Para todo n ≥ k esto siempre producirá primos consecutivos. [3] (Recuerde que todos los n son números enteros cuyos valores ( n + a , n + b , ...) son primos).
Esto significa que, para n grandes :
p n + k − 1 - p n ≥ d
donde p n es el n- ésimo primo.
Las primeras constelaciones principales son:
k | D | Constelación | más pequeño [4] |
---|---|---|---|
2 | 2 | (0, 2) | (3, 5) |
3 | 6 | (0, 2, 6) (0, 4, 6) | (5, 7, 11) (7, 11, 13) |
4 | 8 | (0, 2, 6, 8) | (5, 7, 11, 13) |
5 | 12 | (0, 2, 6, 8, 12) (0, 4, 6, 10, 12) | (5, 7, 11, 13, 17) (7, 11, 13, 17, 19) |
6 | dieciséis | (0, 4, 6, 10, 12, 16) | (7, 11, 13, 17, 19, 23) |
7 | 20 | (0, 2, 6, 8, 12, 18, 20) (0, 2, 8, 12, 14, 18, 20) | (11, 13, 17, 19, 23, 29, 31) (5639, 5641, 5647, 5651, 5653, 5657, 5659) |
8 | 26 | (0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26) (0, 2, 6, 12, 14, 20, 24, 26) (0, 6, 8, 14, 18, 20, 24, 26 ) | (11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37) (17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43) (88793, 88799, 88801, 88807, 88811, 88813, 88817, 88819 ) |
9 | 30 | (0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30) (0, 4, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 30) (0, 2, 6, 12, 14, 20 , 24, 26, 30) (0, 4, 10, 12, 18, 22, 24, 28, 30) | (11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41) (13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43) (17, 19, 23, 29, 31, 37 , 41, 43, 47) (88789, 88793, 88799, 88801, 88807, 88811, 88813, 88817, 88819) |
El diámetro d en función de k es la secuencia A008407 en OEIS .
Una constelación principal a veces se conoce como un k -tuplet primo , pero algunos autores reservan ese término para instancias que no forman parte de k -tuplets más largos.
La primera conjetura de Hardy-Littlewood predice que se puede calcular la frecuencia asintótica de cualquier constelación principal. Si bien la conjetura no está probada, se considera probable que sea cierta. Si ese es el caso, implica que la segunda conjetura de Hardy-Littlewood , por el contrario, es falsa.
Progresiones aritméticas primas
Un primo k -tupla de la forma (0, n , 2 n , 3 n , ..., ( k −1) n ) se dice que es una progresión aritmética prima . Para que tal k -tupla cumpla con la prueba de admisibilidad, n debe ser un múltiplo del primorial de k . [5]
Números sesgados
Los números de Skewes para k-tuplas primos son una extensión de la definición del número de Skewes para primar k-tuplas según la primera conjetura de Hardy-Littlewood ( Tóth (2019) ). Dejar denotar una tupla k prima, el número de primos debajo tal que son todos primos, deja y deja denotar su constante de Hardy-Littlewood (véase la primera conjetura de Hardy-Littlewood ). Entonces el primer primo que viola la desigualdad de Hardy-Littlewood para la tupla k , es decir, tal que
(si existe tal número primo) es el número de Skewes para.
La siguiente tabla muestra los números Skewes conocidos actualmente para k-tuplas primos:
Prime k-tuple | Número sesgado | Encontrado por |
---|---|---|
( p , p +2) | 1369391 | Lobo (2011) |
( p , p +4) | 5206837 | Tóth (2019) |
( p , p +2, p +6) | 87613571 | Tóth (2019) |
( p , p +4, p +6) | 337867 | Tóth (2019) |
( p , p +2, p +6, p +8) | 1172531 | Tóth (2019) |
( p , p +4, p +6, p +10) | 827929093 | Tóth (2019) |
( p , p +2, p +6, p +8, p +12) | 21432401 | Tóth (2019) |
( p , p +4, p +6, p +10, p +12) | 216646267 | Tóth (2019) |
( p , p +4, p +6, p +10, p +12, p +16) | 251331775687 | Tóth (2019) |
El número de Skewes (si existe) para sexys primes aún se desconoce.
Referencias
- ^ Chris Caldwell, "The Prime Glossary: k-tuple" en The Prime Pages .
- ^ "Huecos acotados entre números primos" . PolyMath . Consultado el 22 de abril de 2019 .
- ^ Weisstein, Eric W. "Prime Constellation" . MathWorld .
- ^ Tony Forbes, "K-tuplets más pequeños de Prime" .
- ^ Weisstein, Eric W. "Primera progresión aritmética" . MathWorld .
- Tóth, László (2019), "Sobre la densidad asintótica de k-tuplas primas y una conjetura de Hardy y Littlewood" (PDF) , Métodos computacionales en ciencia y tecnología , 25 (3), arXiv : 1910.02636 , doi : 10.12921 / cmst .2019.0000033 , S2CID 203836016.
- Wolf, Marek (2011), "El número sesgado para primos gemelos: contando cambios de signo de π2 (x) - C2Li2 (x)" (PDF) , Métodos computacionales en ciencia y tecnología , 17 , doi : 10.12921 / cmst.2011.17. 01.87-92 , S2CID 59578795.