En matemáticas, la fórmula de masa de Smith-Minkowski-Siegel (o fórmula de masa de Minkowski-Siegel ) es una fórmula para la suma de los pesos de las redes ( formas cuadráticas ) en un género , ponderada por los recíprocos de los órdenes de sus grupos de automorfismo . La fórmula de masa se da a menudo para formas cuadráticas integrales, aunque se puede generalizar a formas cuadráticas sobre cualquier campo numérico algebraico.
En las dimensiones 0 y 1, la fórmula de masa es trivial, en 2 dimensiones es esencialmente equivalente a las fórmulas de números de clase de Dirichlet para campos cuadráticos imaginarios , y en 3 dimensiones Gotthold Eisenstein dio algunos resultados parciales . La fórmula de masa en dimensiones superiores fue dada por primera vez por HJS Smith ( 1867 ), aunque sus resultados se olvidaron durante muchos años. Fue redescubierto por H. Minkowski ( 1885 ), y CL Siegel ( 1935 ) encontró y corrigió un error en el artículo de Minkowski .
Muchas versiones publicadas de la fórmula de masas tienen errores; en particular, las densidades 2-ádicas son difíciles de acertar, y a veces se olvida que los casos triviales de las dimensiones 0 y 1 son diferentes de los casos de la dimensión al menos 2. Conway y Sloane (1988) dan una explicación expositiva y precisa declaración de la fórmula de masa para formas cuadráticas integrales, que es confiable porque la verifican en un gran número de casos explícitos.
La fórmula de masa de Smith-Minkowski-Siegel es esencialmente el término constante de la fórmula de Weil-Siegel .
Si f es una forma cuadrática integral definida positiva n- dimensional (o rejilla) entonces la masa de su género se define como
donde la suma es sobre todas las formas integralmente desiguales en el mismo género que f , y Aut (Λ) es el grupo de automorfismos de Λ. La forma de la fórmula de masa dada por Conway y Sloane (1988) establece que para n ≥ 2 la masa está dada por