En matemáticas, las particiones sólidas son generalizaciones naturales de particiones y particiones planas definidas por Percy Alexander MacMahon . [1] Una partición sólida de es una matriz tridimensional, , de enteros no negativos (los índices ) tal que
y
Dejar denotar el número de particiones sólidas de . Como la definición de particiones sólidas implica matrices de números tridimensionales, también se denominan particiones tridimensionales en notación donde las particiones planas son particiones bidimensionales y las particiones son particiones unidimensionales. Las particiones sólidas y sus generalizaciones de dimensiones superiores se analizan en el libro de Andrews . [2]
Diagramas de Ferrers para particiones sólidas
Otra representación de las particiones sólidas tiene la forma de diagramas de Ferrers . El diagrama de Ferrers de una partición sólida de es una colección de puntos o nodos ,, con satisfaciendo la condición: [3]
- Condición FD: Si el nodo , entonces también lo hacen todos los nodos con para todos .
Por ejemplo, el diagrama de Ferrers
donde cada columna es un nodo, representa una partición sólida de . Hay una acción natural del grupo de permutación.en un diagrama de Ferrers, esto corresponde a permutar las cuatro coordenadas de todos los nodos. Esto generaliza la operación denotada por la conjugación en las particiones habituales.
Equivalencia de las dos representaciones
Dado un diagrama de Ferrers, se construye la partición sólida (como en la definición principal) de la siguiente manera.
- Dejar ser el número de nodos en el diagrama de Ferrers con coordenadas de la forma dónde denota un valor arbitrario. La colección formar una partición sólida. Se puede verificar que la condición FD implica que se satisfacen las condiciones para una partición sólida.
Dado un conjunto de que forman una partición sólida, se obtiene el diagrama de Ferrers correspondiente de la siguiente manera.
- Comience con el diagrama de Ferrers sin nodos. Por cada distinto de cero , agregar nodos por al diagrama de Ferrers. Por construcción, es fácil ver que se cumple la condición FD.
Por ejemplo, el diagrama de Ferrers con nodos dados arriba corresponde a la partición sólida con
con todos los demás desvanecimiento.
Función generadora
Dejar . Definir la función generadora de particiones sólidas,, por
Las funciones generadoras de particiones y particiones planas tienen fórmulas simples debido a Euler y MacMahon respectivamente. Sin embargo, una suposición de MacMahon no logra reproducir correctamente las particiones sólidas de 6 como lo muestran Atkin et al. [3] Parece que no existe una fórmula simple para la función de generación de particiones sólidas. De manera algo confusa, Atkin et al. refiérase a las particiones sólidas como particiones de cuatro dimensiones ya que esa es la dimensión del diagrama de Ferrers. [3]
Enumeración exacta usando computadoras
Dada la falta de una función generadora explícitamente conocida, las enumeraciones de los números de particiones sólidas para enteros mayores se han llevado a cabo numéricamente. Hay dos algoritmos que se utilizan para enumerar particiones sólidas y sus generalizaciones de dimensiones superiores. El trabajo de Atkin. et al. utilizó un algoritmo de Bratley y McKay. [4] En 1970, Knuth propuso un algoritmo diferente para enumerar secuencias topológicas que usó para evaluar números de particiones sólidas de todos los enteros.. [5] Mustonen y Rajesh ampliaron la enumeración para todos los números enteros.. [6] En 2010, S. Balakrishnan propuso una versión paralela del algoritmo de Knuth que se ha utilizado para extender la enumeración a todos los números enteros.. [7] Uno encuentra
que es un número de 19 dígitos que ilustra la dificultad de realizar enumeraciones tan exactas.
Comportamiento asintótico
Se sabe que a partir del trabajo de Bhatia et al. que [8]
El valor de esta constante se estimó utilizando simulaciones de Montecarlo por Mustonen y Rajesh para ser . [6]
Referencias
- ^ PA MacMahon, Análisis combinatorio. Cambridge Univ. Press, Londres y Nueva York, vol. 1, 1915 y Vol. 2, 1916; ver vol. 2, pág. 332.
- ^ GE Andrews, La teoría de las particiones , Cambridge University Press, 1998.
- ^ a b c A. OL Atkin, P. Bratley, IG McDonald y JKS McKay, Algunos cálculos para particiones m-dimensionales, Proc. Camb. Phil. Soc., 63 (1967), 1097-1100.
- ^ P. Bratley y JKS McKay, "Algoritmo 313: generador de partición multidimensional", Comm. ACM, 10 (número 10, 1967), pág. 666.
- ^ DE Knuth, "Una nota sobre particiones sólidas", Matemáticas. Comp., 24 (1970), 955-961.
- ^ a b Ville Mustonen y R. Rajesh, "Estimación numérica del comportamiento asintótico de particiones sólidas de un entero", J. Phys. A: Matemáticas. Gen 36 (2003), núm. 24, 6651. cond-mat / 0303607
- ^ Srivatsan Balakrishnan, Suresh Govindarajan y Naveen S. Prabhakar, "Sobre la asintótica de particiones de dimensiones superiores", J.Phys. A: Matemáticas. Gen. 45 (2012) 055.001 mil arXiv: 1105.6231 .
- ^ DP Bhatia, MA Prasad y D Arora, "Resultados asintóticos para el número de particiones multidimensionales de animales reticulares compactos enteros y dirigidos", J. Phys. A: Matemáticas. Génesis 30 (1997) 2281