En álgebra abstracta , una extensión abeliana es una extensión de Galois cuyo grupo de Galois es abeliano . Cuando el grupo de Galois también es cíclico , la extensión también se denomina extensión cíclica . Yendo en la otra dirección, una extensión de Galois se llama resoluble si su grupo de Galois es resoluble , es decir, si el grupo se puede descomponer en una serie de extensiones normales de un grupo abeliano.
La teoría de campos de clases proporciona información detallada sobre las extensiones abelianas de campos numéricos , campos de funciones de curvas algebraicas sobre campos finitos y campos locales .
Hay dos definiciones ligeramente diferentes del término extensión ciclotómica. Puede significar una extensión formada por raíces de unidad contiguas a un campo, o una subextensión de tal extensión. Los campos ciclotómicos son ejemplos. Una extensión ciclotómica, bajo cualquier definición, es siempre abeliana.
Si un campo K contiene una raíz n -ésima primitiva de la unidad y la raíz n -ésima de un elemento de K está unida, la extensión de Kummer resultante es una extensión abeliana (si K tiene la característica p , deberíamos decir que p no divide n , ya que de lo contrario esto puede fallar incluso para ser una extensión separable ). En general, sin embargo, los grupos de Galois de raíces n -ésimas de elementos operan tanto en las raíces n -ésimas como en las raíces de la unidad, dando un grupo de Galois no abeliano como producto semidirecto . La teoría de Kummerda una descripción completa del caso de la extensión abeliana, y el teorema de Kronecker-Weber nos dice que si K es el cuerpo de números racionales , una extensión es abeliana si y solo si es un subcuerpo de un campo obtenido al unir una raíz de unidad .
Hay una analogía importante con el grupo fundamental en topología , que clasifica todos los espacios que cubren de un espacio: las cubiertas abelianas se clasifican por su abelianización que se relaciona directamente con el primer grupo de homología .