En matemáticas , una extensión de Galois es una extensión de campo algebraico E / F que es normal y separable ; o equivalentemente, E / F es algebraico, y el campo fijo por el grupo de automorfismos Aut ( E / F ) es, precisamente, la base de campo F . La importancia de ser una extensión de Galois es que la extensión tiene un grupo de Galois y obedece al teorema fundamental de la teoría de Galois . [1]
Un resultado de Emil Artin permite construir extensiones de Galois de la siguiente manera: si E es un campo dado y G es un grupo finito de automorfismos de E con campo fijo F , entonces E / F es una extensión de Galois.
Caracterización de las extensiones de Galois
Un teorema importante de Emil Artin establece que para una extensión finita cada una de las siguientes afirmaciones es equivalente a la afirmación de que es Galois:
- es una extensión normal y una extensión separable .
- es un campo de división de un polinomio separable con coeficientes en
- es decir, el número de automorfismos es igual al grado de extensión.
Otras declaraciones equivalentes son:
- Cada polinomio irreducible en con al menos una raíz en se divide y es separable.
- es decir, el número de automorfismos es al menos el grado de extensión.
- es el campo fijo de un subgrupo de
- es el campo fijo de
- Hay un uno-a-uno correspondencia entre los subcampos de y subgrupos de
Ejemplos de
Hay dos formas básicas de construir ejemplos de extensiones de Galois.
- Toma cualquier campo , cualquier subgrupo de , y deja ser el campo fijo.
- Toma cualquier campo , cualquier polinomio separable en , y deja sea su campo de división .
Junto al campo de números racionales, la raíz cuadrada de 2 da una extensión de Galois, mientras que al lado de la raíz cúbica de 2 da una extensión que no es de Galois. Ambas extensiones son separables, porque tienen característica cero . El primero de ellos es el campo de división de; el segundo tiene un cierre normal que incluye las raíces cúbicas complejas de la unidad , por lo que no es un campo de división. De hecho, no tiene otro automorfismo que el de la identidad, porque está contenido en los números reales ytiene una sola raíz real. Para obtener ejemplos más detallados, consulte la página sobre el teorema fundamental de la teoría de Galois .
Un cierre algebraico de un campo arbitrario Galois ha terminado si y solo si es un campo perfecto .
Referencias
- ^ Consulte el artículo del grupo Galois para ver las definiciones de algunos de estos términos y algunos ejemplos.
Ver también
- Artin, Emil (1998) [1944]. Teoría de Galois . Editado y con un capítulo complementario por Arthur N. Milgram. Mineola, NY: Publicaciones de Dover. ISBN 0-486-62342-4. Señor 1616156 .
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- Funkhouser, H. Gray (1930). "Una breve descripción de la historia de las funciones simétricas de raíces de ecuaciones". American Mathematical Monthly . The American Mathematical Monthly, vol. 37, núm. 7. 37 (7): 357–365. doi : 10.2307 / 2299273 . JSTOR 2299273 .
- "Teoría de Galois" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Jacobson, Nathan (1985). Álgebra básica I (2ª ed.). WH Freeman and Company. ISBN 0-7167-1480-9. (El capítulo 4 ofrece una introducción al enfoque de la teoría de campo de la teoría de Galois).
- Janelidze, G .; Borceux, Francis (2001). Teorías de Galois . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-80309-0.(Este libro presenta al lector la teoría de Galois de Grothendieck y algunas generalizaciones que conducen a los grupos de Galois ).
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