En matemáticas, un módulo de Specht es una de las representaciones de grupos simétricos estudiadas por Wilhelm Specht ( 1935 ). Están indexados por particiones, y en la característica 0 los módulos de Specht de particiones de n forman un conjunto completo de representaciones irreductibles del grupo simétrico en n puntos.
Definición
Fije una partición λ de ny un anillo conmutativo k . La partición determina un diagrama de Young con n cajas. Un cuadro de Young de forma λ es una forma de etiquetar las cajas de este diagrama de Young con números distintos.
Un tabloide es una clase de equivalencia de cuadros de Young donde dos etiquetas son equivalentes si una se obtiene de la otra permutando las entradas de cada fila. Para cada cuadro joven T de forma λ seaser el tabloide correspondiente. El grupo simétrico de n puntos actúa sobre el conjunto de cuadros de Young de forma λ. En consecuencia, actúa sobre los tabloides, y sobre el módulo k libre V con los tabloides como base.
Dado un cuadro joven T de forma λ, sea
donde Q T es el subgrupo de permutaciones, conservando (como conjuntos) todas las columnas de T yes el signo de la permutación σ. El módulo de Specht de la partición λ es el módulo generado por los elementos E T cuando T recorre todos los cuadros de forma λ.
El módulo Specht tiene una base de elementos E T para T un cuadro estándar de Young .
En la Sección 1 de "Specht Polytopes y Specht Matroids" se puede encontrar una breve introducción a la construcción del módulo Specht. [1]
Estructura
Sobre campos de característica 0, los módulos de Specht son irreducibles y forman un conjunto completo de representaciones irreductibles del grupo simétrico.
Una partición se llama p -regular si no tiene p partes del mismo tamaño (positivo). Sobre campos de característica p > 0, los módulos de Specht pueden ser reducibles. Para las particiones p -regulares, tienen un cociente irreductible único, y estos cocientes irreducibles forman un conjunto completo de representaciones irreductibles.
Referencias
- ^ Wiltshire-Gordon, John D .; Woo, Alexander; Zajaczkowska, Magdalena (2017). "Specht Polytopes y Specht Matroids". arXiv : 1701.05277 [ math.CO ].
- Andersen, Henning Haahr (2001) [1994], "Módulo de Specht" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- James, GD (1978), "Capítulo 4: Módulos de Specht", La teoría de la representación de los grupos simétricos , Lecture Notes in Mathematics, 682 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , p. 13, doi : 10.1007 / BFb0067712 , ISBN 978-3-540-08948-3, MR 0513828
- James, Gordon; Kerber, Adalbert (1981), La teoría de la representación del grupo simétrico , Enciclopedia de las matemáticas y sus aplicaciones, 16 , Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass., ISBN 978-0-201-13515-2, MR 0644144
- Specht, W. (1935), "Die irreduziblen Darstellungen der symmetrischen Gruppe", Mathematische Zeitschrift , 39 (1): 696–711, doi : 10.1007 / BF01201387 , ISSN 0025-5874 CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace )