Tableau joven

En matemáticas , una Tabla de Young ( / t æ b l oʊ , t æ b l oʊ / ; plural: cuadros ) es una combinatoria objeto útil en teoría de la representación y cálculo Schubert . Proporciona una forma conveniente de describir las representaciones grupales de los grupos lineales simétricos y generales y de estudiar sus propiedades. Tabla de Young fueron introducidos por Alfred Young , un matemáticoen la Universidad de Cambridge , en 1900. ^{[1] [2]} Luego fueron aplicados al estudio del grupo simétrico por Georg Frobenius en 1903. Su teoría fue desarrollada por muchos matemáticos, incluidos Percy MacMahon , WVD Hodge , G. de B Robinson , Gian-Carlo Rota , Alain Lascoux , Marcel-Paul Schützenberger y Richard P. Stanley .

Definiciones

Nota: este artículo utiliza la convención inglesa para mostrar diagramas y cuadros de Young .

Diagramas

Diagrama de forma joven (5, 4, 1), notación inglesa

Diagrama joven de forma (5, 4, 1), notación francesa

Un diagrama de Young (también llamado diagrama de Ferrers , particularmente cuando se representa con puntos) es una colección finita de cajas o celdas, dispuestas en filas justificadas a la izquierda, con las longitudes de las filas en orden no creciente. Enumerar el número de cajas en cada fila da una partición λ de un entero no negativo n , el número total de cajas del diagrama. Se dice que el diagrama de Young tiene la forma λ y contiene la misma información que esa partición. La contención de un diagrama de Young en otro define un orden parcial en el conjunto de todas las particiones, que de hecho es una estructura de celosía , conocida como celosía de Young.. Enumerar el número de cajas de un diagrama de Young en cada columna da otra partición, la partición conjugada o transpuesta de λ ; se obtiene un diagrama de Young de esa forma reflejando el diagrama original a lo largo de su diagonal principal.

Existe un acuerdo casi universal de que al etiquetar los cuadros de los diagramas de Young por pares de números enteros, el primer índice selecciona la fila del diagrama y el segundo índice selecciona el cuadro dentro de la fila. Sin embargo, existen dos convenciones distintas para mostrar estos diagramas y, en consecuencia, tableaux: la primera coloca cada fila debajo de la anterior, la segunda apila cada fila sobre la anterior. Dado que los anglófonos utilizan principalmente la primera convención, mientras que los francófonos suelen preferir la segunda , se acostumbra referirse a estas convenciones respectivamente como notación inglesa y notación francesa ; por ejemplo, en su libro sobre funciones simétricas , Macdonaldaconseja a los lectores que prefieren la convención francesa a "leer este libro al revés en un espejo" (Macdonald 1979, p. 2). Esta nomenclatura probablemente comenzó como una broma. La notación inglesa corresponde a la que se usa universalmente para matrices, mientras que la notación francesa está más cerca de la convención de coordenadas cartesianas ; sin embargo, la notación francesa se diferencia de esa convención al colocar primero la coordenada vertical. La figura de la derecha muestra, usando la notación inglesa, el diagrama de Young correspondiente a la partición (5, 4, 1) del número 10. La partición conjugada, midiendo las longitudes de las columnas, es (3, 2, 2, 2, 1).

Longitud del brazo y la pierna

En muchas aplicaciones, por ejemplo, al definir funciones de Jack , es conveniente definir la longitud del brazo a _λ ( s ) de una caja s como el número de cajas a la derecha de s en el diagrama λ en notación inglesa. De manera similar, la longitud del cateto l _λ ( s ) es el número de casillas debajo de s . La longitud del gancho de una caja s es el número de cajas a la derecha de so debajo de s en notación inglesa, incluida la caja s misma; en otras palabras, la longitud del gancho es un _λ( s ) + l _λ ( s ) + 1.

Tableaux

Un cuadro de forma estándar de Young (5, 4, 1)

Un cuadro de Young se obtiene completando los recuadros del diagrama de Young con símbolos tomados de algún alfabeto , que generalmente se requiere para ser un conjunto totalmente ordenado . Originalmente, ese alfabeto era un conjunto de variables indexadas x ₁ , x ₂ , x ₃ ..., pero ahora se suele utilizar un conjunto de números para abreviar. En su aplicación original a las representaciones del grupo simétrico , los cuadros de Young tienen n entradas distintas, asignadas arbitrariamente a los recuadros del diagrama. Un cuadro se llama estándarsi las entradas en cada fila y cada columna están aumentando. El número de cuadros de Young estándar distintos en n entradas viene dado por los números de involución

1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232, 764, 2620, 9496, ... (secuencia A000085 en la OEIS ).

En otras aplicaciones, es natural permitir que el mismo número aparezca más de una vez (o no aparezca en absoluto) en un cuadro. Un cuadro se denomina semiestándar , o columna estricta , si las entradas aumentan débilmente a lo largo de cada fila y aumentan estrictamente hacia abajo en cada columna. Al registrar el número de veces que aparece cada número en un cuadro, se obtiene una secuencia conocida como el peso del cuadro. Por lo tanto, los cuadros de Young estándar son precisamente los cuadros semiestándar de peso (1,1, ..., 1), que requieren que cada entero hasta n ocurra exactamente una vez.

Variaciones

Hay varias variaciones de esta definición: por ejemplo, en un cuadro de filas estrictas, las entradas aumentan estrictamente a lo largo de las filas y aumentan débilmente hacia abajo en las columnas. Además, los cuadros con entradas decrecientes se han considerado, en particular, en la teoría de las particiones planas . También hay generalizaciones como cuadros de dominó o cuadros de cinta, en los que se pueden agrupar varios cuadros antes de asignarles entradas.

Cuadros sesgados

Cuadro sesgado de forma (5, 4, 2, 2) / (2, 1), notación inglesa

Una forma sesgada es un par de particiones ( λ , μ ) de manera que el diagrama de Young de λ contiene el diagrama de Young de μ ; se denota por λ / μ . Si λ = ( λ ₁ , λ ₂ , ...) y μ = ( μ ₁ , μ ₂ , ...) , entonces la contención de los diagramas significa que μ _i  ≤  λ _i para todo i . El diagrama de sesgo de una forma sesgada λ /μ es la diferencia de la teoría de conjuntos de los diagramas de Young de λ y μ : el conjunto de cuadrados que pertenecen al diagrama de λ pero no al de μ . Seobtieneun cuadro de sesgo de forma λ / μ llenando los cuadrados del diagrama de sesgo correspondiente; tal cuadro es semiestándar si las entradas aumentan débilmente a lo largo de cada fila y aumentan estrictamente hacia abajo en cada columna, y es estándar si además todos los números del 1 al número de cuadrados del diagrama de sesgo ocurren exactamente una vez. Si bien el mapa de particiones a sus diagramas de Young es inyectivo, este no es el caso del mapa de formas sesgadas a diagramas sesgados; ^[3]por lo tanto, la forma de un diagrama de sesgo no siempre se puede determinar a partir del conjunto de cuadrados rellenos únicamente. Aunque muchas propiedades de los cuadros sesgados solo dependen de los cuadrados rellenos, algunas operaciones definidas en ellos requieren un conocimiento explícito de λ y μ , por lo que es importante que los cuadros sesgados registren esta información: dos cuadros sesgados distintos pueden diferir solo en su forma, mientras ocupan el mismo conjunto de cuadrados, cada uno lleno con las mismas entradas. ^[4] Los tableaux jóvenes se pueden identificar con tableaux sesgados en los que μ es la partición vacía (0) (la partición única de 0).

Cualquier cuadro semiestándar sesgado T de forma λ / μ con entradas enteras positivas da lugar a una secuencia de particiones (o diagramas de Young), comenzando con μ , y tomando para la partición i lugares más adelante en la secuencia, aquel cuyo diagrama se obtiene de el de μ sumando todas las casillas que contengan un valor ≤  i en T ; esta partición eventualmente se vuelve igual a  λ . Cualquier par de formas sucesivas en tal secuencia es una forma sesgada cuyo diagrama contiene como máximo un cuadro en cada columna; tales formas se denominan franjas horizontales . Esta secuencia de particiones determina completamenteT , y de hecho es posible definir (sesgar) cuadros semiestándar como tales secuencias, como lo hace Macdonald (Macdonald 1979, p. 4). Esta definición incorpora las particiones λ y μ en los datos que componen el cuadro de sesgo.

Resumen de aplicaciones

Los cuadros jóvenes tienen numerosas aplicaciones en combinatoria , teoría de la representación y geometría algebraica . Se han explorado varias formas de contar cuadros de Young que conducen a la definición y las identidades de las funciones de Schur .

Se conocen muchos algoritmos combinatorios en tableaux, incluido el jeu de taquin de Schützenberger y la correspondencia Robinson-Schensted-Knuth . Lascoux y Schützenberger estudiaron un producto asociativo en el conjunto de todos los cuadros de Young semiestándar, dándole la estructura llamada monoide plástico (francés: le monoïde plaxique ).

En la teoría de la representación, los cuadros de Young estándar de tamaño k describen bases en representaciones irreductibles del grupo simétrico en k letras. La base monomio estándar en una dimensión finita representación irreducible del grupo lineal general GL _n se parametriza por el conjunto de semiestándar joven cuadros de una forma fija sobre el alfabeto {1, 2, ..., n }. Esto tiene importantes consecuencias para la teoría invariante , a partir del trabajo de Hodge sobre el anillo de coordenadas homogéneas del Grassmanniano y explorado más a fondo porGian-Carlo Rota con colaboradores, de Concini y Procesi , y Eisenbud . La regla de Littlewood-Richardson que describe (entre otras cosas) la descomposición de los productos tensoriales de representaciones irreductibles de GL _n en componentes irreducibles se formula en términos de ciertos cuadros semiestándar sesgados.

Las aplicaciones a la geometría algebraica se centran en el cálculo de Schubert en Grassmannianos y variedades de bandera . Ciertas clases importantes de cohomología pueden representarse mediante polinomios de Schubert y describirse en términos de cuadros de Young.

Aplicaciones en la teoría de la representación

Ver también: Teoría de representación del grupo simétrico

Los diagramas jóvenes están en correspondencia uno a uno con representaciones irreductibles del grupo simétrico sobre los números complejos . Proporcionan una manera conveniente de especificar los jóvenes simetrizadores a partir de los cuales se construyen las representaciones irreductibles . Se pueden deducir muchos datos sobre una representación del diagrama correspondiente. A continuación, describimos dos ejemplos: determinación de la dimensión de una representación y representaciones restringidas. En ambos casos, veremos que algunas propiedades de una representación se pueden determinar usando solo su diagrama.

Los diagramas de Young también parametrizan las representaciones polinomiales irreductibles del grupo lineal general GL _n (cuando tienen como máximo n filas no vacías), o las representaciones irreducibles del grupo lineal especial SL _n (cuando tienen como máximo n - 1 filas no vacías), o las representaciones complejas irreductibles del grupo unitario especial SU _n (nuevamente cuando tienen como máximo n - 1 filas no vacías). En estos casos, cuadros semiestándar con entradas hasta ndesempeñar un papel central, en lugar de cuadros estándar; en particular, es el número de esos cuadros lo que determina la dimensión de la representación.

Dimensión de una representación

Artículo principal: Fórmula de la longitud del gancho

Longitudes de gancho de las cajas para la partición 10 = 5 + 4 + 1

La dimensión de la representación irreducible π _λ del grupo simétrico S _n correspondiente a una partición λ de n es igual al número de diferentes cuadros de Young estándar que se pueden obtener del diagrama de la representación. Este número se puede calcular mediante la fórmula de la longitud del gancho .

Un gancho de longitud de gancho ( x ) de una caja x en el diagrama de Young Y ( λ ) de forma λ es el número de cajas que están en la misma fila a la derecha más las cajas en la misma columna debajo de ella, más una ( para la propia caja). Según la fórmula de la longitud del gancho, la dimensión de una representación irreducible es n ! dividido por el producto de las longitudes de gancho de todas las cajas en el diagrama de la representación:

${\displaystyle \dim \pi _{\lambda }={\frac {n!}{\prod _{x\in Y(\lambda )}\operatorname {hook} (x)}}.}$

La figura de la derecha muestra la longitud de los ganchos para todas las cajas en el diagrama de la partición 10 = 5 + 4 + 1. Así

${\displaystyle \dim \pi _{\lambda }={\frac {10!}{7\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 1\cdot 5\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot 1}}=288.}$

De manera similar, la dimensión de la representación irreducible W ( λ ) de GL _r correspondiente a la partición λ de n (con un máximo de r partes) es el número de cuadros de Young semiestándar de forma λ (que contienen solo las entradas de 1 ar ), que viene dada por la fórmula de la longitud del gancho:

${\displaystyle \dim W(\lambda )=\prod _{(i,j)\in Y(\lambda )}{\frac {r+j-i}{\operatorname {hook} (i,j)}},}$

donde el índice i da la fila yj la columna de un cuadro. ^[5] Por ejemplo, para la partición (5,4,1) obtenemos como dimensión de la correspondiente representación irreductible de GL ₇ (atravesando los cuadros por filas):

${\displaystyle \dim W(\lambda )={\frac {7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 5}{7\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 1\cdot 5\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot 1}}=66528.}$

Representaciones restringidas

Una representación del grupo simétrico en n elementos, S _n también es una representación del grupo simétrico en n - 1 elementos, S _{n −1} . Sin embargo, una representación irreductible de S _n puede no ser irreductible para S _{n −1} . En cambio, puede ser una suma directa de varias representaciones que son irreductibles para S _{n −1} . Estas representaciones se denominan entonces factores de la representación restringida (véase también representación inducida ).

La cuestión de determinar esta descomposición de la representación restringida de una representación irreducible dada de S _n , correspondiente a una partición λ de n , se responde de la siguiente manera. Uno forma el conjunto de todos los diagramas de Young que se pueden obtener del diagrama de forma λ quitando solo una casilla (que debe estar al final tanto de su fila como de su columna); la representación restringida luego se descompone como una suma directa de las representaciones irreductibles de S _{n −1} correspondientes a esos diagramas, cada una de las cuales ocurre exactamente una vez en la suma.

Ver también

• Correspondencia Robinson-Schensted
• Dualidad Schur-Weyl

Notas

1. Knuth, Donald E. (1973), El arte de la programación informática, vol. III: Clasificación y búsqueda (2ª ed.), Addison-Wesley, p. 48, Alfred Young introdujo estos arreglos en 1900..
2. Young, A. (1900), "Sobre análisis sustitucional cuantitativo" , Actas de la London Mathematical Society , Ser. 1, 33 (1): 97–145, doi : 10.1112 / plms / s1-33.1.97. Ver en particular la p. 133.
3. Por ejemplo, el diagrama de sesgo que consta de un solo cuadrado en la posición (2,4) se puede obtener quitando el diagrama de μ  = (5,3,2,1) del de λ = (5,4,2, 1) , pero también (infinitamente) de muchas otras formas. En general, cualquier diagrama de sesgo cuyo conjunto de filas no vacías (o de columnas no vacías) no sea contiguo o no contenga la primera fila (respectivamente la columna) se asociará a más de una forma de sesgo.
4. Surge una situación algo similar para las matrices: la matriz A de 3 por 0debe distinguirse de la matriz B de 0 por 3, ya que AB es unamatriz de3 por 3 (cero) mientras que BA es lamatriz de0 por 3 -0 matriz, pero tanto A como B tienen el mismo conjunto (vacío) de entradas; para tableaux sesgados, sin embargo, dicha distinción es necesaria incluso en los casos en que el conjunto de entradas no está vacío.
5. Predrag Cvitanović (2008). Teoría de grupos: huellas de pájaros, mentiras y grupos excepcionales . Prensa de la Universidad de Princeton., eq. 9.28 y apéndice B.4

Referencias

• William Fulton . Young Tableaux, con aplicaciones a la teoría de la representación y la geometría . Cambridge University Press, 1997, ISBN 0-521-56724-6 . 
• Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación. Un primer plato . Textos de Posgrado en Matemáticas , Lecturas en Matemáticas. 129 . Nueva York: Springer-Verlag. doi : 10.1007 / 978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8. Señor  1153249 . OCLC  246650103 . Lección 4
• Howard Georgi, Lie Algebras in Particle Physics, 2nd Edition - Westview
• Macdonald, IG Funciones simétricas y polinomios de Hall. Monografías matemáticas de Oxford. The Clarendon Press, Oxford University Press, Oxford, 1979. viii + 180 págs. ISBN 0-19-853530-9 MR 553598 
• Laurent Manivel. Funciones simétricas, polinomios de Schubert y loci de degeneración . Sociedad Matemática Estadounidense.
• Jean-Christophe Novelli, Igor Pak , Alexander V. Stoyanovskii, " Una prueba biyectiva directa de la fórmula de longitud de gancho ", Matemáticas discretas y Ciencias de la Computación Teórica 1 (1997), págs. 53–67.
• Bruce E. Sagan . El grupo simétrico . Springer, 2001, ISBN 0-387-95067-2 
• Vinberg, EB (2001) [1994], "Tableau joven" , Enciclopedia de las matemáticas , EMS Press
• Yong, Alexander (febrero de 2007). "¿Qué es ... un cuadro joven?" (PDF) . Avisos de la Sociedad Matemática Estadounidense . 54 (2): 240–241 . Consultado el 16 de enero de 2008 .
• Predrag Cvitanović , teoría de grupos: pistas de aves, mentiras y grupos excepcionales . Prensa de la Universidad de Princeton, 2008.

enlaces externos

• Eric W. Weisstein. " Diagrama de Ferrers ". De MathWorld — Un recurso web de Wolfram.
• Eric W. Weisstein. " Tableau joven ". De MathWorld — Un recurso web de Wolfram.
• Entrada de tabla semiestándar en la base de datos FindStat
• Entrada de tabla estándar en la base de datos FindStat