En la geometría euclidiana , el problema de Apolonio es construir todas las circunferencias que son tangentes a tres circunferencias dadas. Casos especiales del problema de Apolonio son aquellos en los que al menos uno de los círculos dados es un punto o una línea, es decir, es un círculo de radio cero o infinito. Los nueve tipos de tales casos límite del problema de Apolonio son para construir los círculos tangentes a:
En un tipo diferente de caso límite, los tres elementos geométricos dados pueden tener un arreglo especial, como construir un círculo tangente a dos líneas paralelas y un círculo.
Como la mayoría de las ramas de las matemáticas , la geometría euclidiana se ocupa de las pruebas de verdades generales a partir de un mínimo de postulados . Por ejemplo, una prueba simple mostraría que al menos dos ángulos de un triángulo isósceles son iguales. Un tipo importante de prueba en la geometría euclidiana es mostrar que un objeto geométrico se puede construir con un compás y una regla sin marcar; un objeto se puede construir si y solo si (iff) ( algo que no supere las raíces cuadradas ). Por lo tanto, es importante determinar si un objeto se puede construir con regla y compás y, de ser así, cómo se puede construir.
Euclides desarrolló numerosas construcciones con compás y regla. Los ejemplos incluyen: polígonos regulares como el pentágono y el hexágono , una línea paralela a otra que pasa por un punto dado, etc. Muchos rosetones en las catedrales góticas , así como algunos nudos celtas , pueden diseñarse usando solo construcciones euclidianas. Sin embargo, algunas construcciones geométricas no son posibles con esas herramientas, incluido el heptágono y la trisección de un ángulo.
Apolonio contribuyó con muchas construcciones, a saber, encontrar los círculos que son tangentes a tres elementos geométricos simultáneamente, donde los "elementos" pueden ser un punto, una línea o un círculo.
Los elementos iniciales en una construcción geométrica se denominan "datos", como un punto dado, una línea dada o un círculo dado.