Embalaje de esferas en un cilindro

Ilustración de una estructura columnar ensamblada por pelotas de golf.

Una estructura columnar o cristal es una disposición cilíndrica que se forma, en el contexto de empaquetaduras de esfera cilíndrica, dentro o sobre la superficie de un confinamiento columnar. Esferas de tamaño idéntico se ensamblan en la superficie de un cilindro para formar una estructura columnar ordenada, si el diámetro del cilindro es de un orden de magnitud similar.${\displaystyle d}$

Una estructura de columnas ordenada típica se ensambla dejando caer secuencialmente pelotas de golf dentro de un tubo.

Aparición en la ciencia

Las estructuras columnares aparecen en varios campos de investigación en una amplia gama de escalas de longitud desde metros hasta la nanoescala. En la mayor escala, estas estructuras se pueden encontrar en botánica, donde las semillas de una planta se juntan alrededor del tallo. En una escala más pequeña, las burbujas de igual tamaño cristalizan en estructuras de espuma columnar cuando se confinan en un tubo de vidrio. En nanociencia, tales estructuras se pueden encontrar en objetos hechos por el hombre que están en escalas de longitud desde una micra hasta la nanoescala.

Las bayas del arum maculatum forman una estructura columnar ( Bushy Park ).

Botánica

Las estructuras columnares se estudiaron por primera vez en botánica debido a sus diversas apariciones en plantas. ^[1] D'Arcy Thompson analizó tal disposición de las partes de la planta alrededor del tallo en su libro " Sobre el crecimiento y la forma " (1917). Pero también son de interés en otras áreas biológicas, incluidas las bacterias, ^[2] virus, ^[3] microtúbulos , ^[4] así como la notocorda del pez cebra . ^[5]

Una de las flores más grandes donde las bayas se disponen en forma cilíndrica regular es el arum titán . Esta flor puede tener hasta 3 m de altura y se encuentra de forma nativa únicamente en el oeste de Sumatra y el oeste de Java.

En escalas de menor longitud, las bayas del arum maculatum forman una estructura columnar en otoño. Sus bayas son similares a las de la flor del cadáver, ya que el arum titán es su pariente más grande. Sin embargo, la pinta de cuco es mucho más pequeña en altura (altura ≈ 20 cm). La disposición de las bayas varía según el tallo y el tamaño de la baya.

Otra planta que se puede encontrar en muchos jardines de zonas residenciales es el cepillo de botella australiano . Reúne sus cápsulas de semillas alrededor de una rama de la planta. La estructura depende del tamaño de la cápsula de la semilla al tamaño de la rama.

Espumas

Pompas de jabón esféricas confinadas en un tubo de vidrio cilíndrico.

Otro caso de disposición ordenada en columnas en la macroescala son las estructuras de espuma confinadas dentro de un tubo de vidrio. Se pueden realizar experimentalmente con pompas de jabón de igual tamaño dentro de un tubo de vidrio, producidas soplando aire de flujo constante de gas a través de una aguja sumergida en una solución tensioactiva. ^[6] Al poner la columna de espuma resultante bajo drenaje forzado (alimentándola con una solución tensioactiva desde la parte superior), la espuma se puede ajustar a una estructura seca (burbujas con forma de poliedros ) o húmeda (burbujas esféricas). ^[7]

Debido a esta sencilla configuración experimental, se han descubierto e investigado muchas estructuras columnares en el contexto de las espumas con experimentos y simulación. Se han realizado muchas simulaciones utilizando Surface Evolver para investigar la estructura seca o el modelo de esfera dura para el límite húmedo donde las burbujas son esféricas.

En la estructura en zigzag, las burbujas se apilan una encima de la otra en forma de w continua. Para esta estructura particular, Hutzler et al informaron una interfaz móvil con una fracción líquida en aumento . en 1997. ^[8] Esto incluyó una inesperada interfaz de giro de 180 °, cuya explicación aún falta.

La primera observación experimental de una estructura de deslizamiento de línea fue descubierta por Winkelmann et al. en un sistema de burbujas. ^[9]

Otras estructuras descubiertas incluyen estructuras complejas con esferas internas / células de espuma. Se encontró que algunas estructuras de espuma seca con celdas interiores consistían en una cadena de dodecaedros pentagonales o celdas Kelvin en el centro del tubo. ^[10] Para muchas más disposiciones de este tipo, se observó que la capa de burbuja fuera se ordena, con cada capa interna se asemeja a una, más simple estructura columnar diferente utilizando tomografía de rayos X . ^[6]

Nanociencia

Las estructuras columnares también se han estudiado intensamente en el contexto de los nanotubos . Sus propiedades físicas o químicas pueden alterarse atrapando partículas idénticas en su interior. ^{[11] [12] [13]} Estos generalmente se hacen autoensamblando fullerenos como C60 , C70 o C78 en nanotubos de carbono, ^[11] pero también nanotubos de nitruro de boro ^[14]

Tales estructuras también se ensamblan cuando las partículas se recubren sobre la superficie de un esferocilindro como en el contexto de la investigación farmacéutica. Lazáro et al. examinaron las morfologías de las proteínas de la cápside del virus autoensambladas alrededor de nanobarras metálicas. ^[15] Se recubrieron partículas de fármaco lo más densamente posible en un esferocilindro para proporcionar el mejor tratamiento médico.

Wu y col. varillas construidas del tamaño de varias micras. Estos microrods se crean empaquetando densamente partículas coloidales de sílice dentro de poros cilíndricos. Al solidificar las estructuras ensambladas, se obtuvieron imágenes de los microrods y se examinaron usando microscopía electrónica de barrido (SEM). ^[dieciséis]

Las disposiciones en columna también se investigan como un posible candidato de metamateriales ópticos (es decir, materiales con un índice de refracción negativo) que encuentran aplicaciones en superlentes ^[17] o camuflaje óptico. ^[18] Tanjeem y col. están construyendo tal resonador autoensamblando nanoesferas en la superficie del cilindro. ^{[19] [20]} Las nanoesferas se suspenden en una solución de SDS junto con un cilindro de diámetro , mucho mayor que el diámetro de las nanoesferas ( ). Luego, las nanoesferas se adhieren a la superficie de los cilindros mediante una fuerza de agotamiento .${\textstyle D}$${\displaystyle d}$${\textstyle D/d\approx 3{\text{ to }}5}$

Clasificación mediante notación filotáctica

La forma más común de clasificar estructuras columnares ordenadas utiliza la notación filotáctica , adoptada de la botánica. Se utiliza para describir arreglos de hojas de una planta, piñas o piñas, pero también patrones planos de floretes en una cabeza de girasol. Mientras que la disposición en el primero es cilíndrica, las espirales en el segundo están dispuestas en un disco. Para estructuras columnares se adopta la filotaxis en el contexto de estructuras cilíndricas.

La notación filotáctica describe tales estructuras mediante un triplete de números enteros positivos con . Cada número , y describe una familia de espirales en el empaque tridimensional. Cuentan el número de espirales en cada dirección hasta que la espiral se repite. Sin embargo, esta notación solo se aplica a las celosías triangulares y, por lo tanto, se limita a las estructuras ordenadas sin esferas internas.${\displaystyle (l=m+n,m,n)}$${\textstyle l\geq m\geq n}$${\textstyle l}$${\displaystyle m}$${\textstyle n}$

Tipos de estructuras columnares ordenadas sin esferas internas

Las estructuras de columnas ordenadas sin esferas internas se clasifican en dos clases separadas: estructuras uniformes y de deslizamiento de línea . Para cada estructura que pueda identificarse con el triplete , existe una estructura uniforme y al menos un deslizamiento de línea.${\textstyle (l,m,n)}$

Estructura uniforme

Un ejemplo de estructura uniforme y su correspondiente red de contactos desplegada. La vecindad idéntica de cada esfera define una estructura uniforme.

Una estructura uniforme se identifica porque cada esfera tiene el mismo número de vecinos en contacto. ^[21] Esto le da a cada esfera una vecindad idéntica. En la imagen de ejemplo en el lateral, cada esfera tiene seis contactos vecinos.

El número de contactos se visualiza mejor en la red de contactos desplegada. Se crea desplegando la red de contactos en un plano de altura y ángulo azimutal de cada esfera. Para una estructura uniforme como la de la imagen de ejemplo, esto conduce a una celosía hexagonal regular . Cada punto en este patrón representa una esfera del empaque y cada línea un contacto entre esferas adyacentes.${\textstyle z}$${\textstyle \theta }$

Para todas las estructuras uniformes por encima de una relación de diámetro de , la celosía hexagonal regular es su rasgo característico, ya que este tipo de celosía tiene el número máximo de contactos. ^[21] Para diferentes estructuras uniformes, el patrón de contacto desplegado solo varía por una rotación en el plano. Así, cada estructura uniforme se distingue por su vector de periodicidad , que está definido por el triplete filotáctico .${\displaystyle D/d>2.0}$${\displaystyle (l,m,n)}$${\textstyle z{\text{-}}\theta }$${\textstyle V}$${\displaystyle (l,m,n)}$

Estructura de deslizamiento de línea

Un ejemplo de estructura de deslizamiento de línea y su correspondiente red de contactos desplegada. Un deslizamiento de línea se identifica por la pérdida de contactos.

Para cada estructura uniforme, también existe una estructura relacionada pero diferente, llamada disposición de deslizamiento de línea. ^[21]

Las diferencias entre estructuras uniformes y de deslizamiento de líneas son marginales y difíciles de detectar en las imágenes de los empaques de esferas. Sin embargo, al comparar sus redes de contactos desplegadas, se puede detectar que faltan ciertas líneas (que representan contactos).

Todas las esferas de una estructura uniforme tienen el mismo número de contactos, pero el número de contactos de las esferas en un deslizamiento de línea puede diferir de una esfera a otra. Para el ejemplo de deslizamiento de línea en la imagen del lado derecho, algunas esferas cuentan cinco y otras seis contactos. Por tanto, una estructura de deslizamiento de línea se caracteriza por estos huecos o pérdida de contactos.

Una estructura de este tipo se denomina deslizamiento de línea porque las pérdidas de contactos se producen a lo largo de una línea en la red de contactos desplegada. Fue identificado por primera vez por Picket et al. , pero no se denomina deslizamiento de línea. ^[22]

La dirección en la que ocurre la pérdida de contactos se puede denotar en la notación filotáctica , ya que cada número representa uno de los vectores de la red en la red hexagonal. ^[21] Esto generalmente se indica con un número en negrita.${\textstyle (l,m,n)}$

Al cortar la fila de esferas por debajo de la pérdida de contacto contra una fila por encima de la pérdida de contacto, se pueden regenerar dos estructuras uniformes relacionadas con este deslizamiento de línea. Por lo tanto, cada deslizamiento de línea está relacionado con dos estructuras uniformes adyacentes, una en una relación de diámetro más alta y otra en una relación de diámetro más baja . ^{[21] [23]}${\textstyle D/d}$

Winkelmann y col. fueron los primeros en realizar experimentalmente tal estructura utilizando pompas de jabón en un sistema de esferas deformables. ^[9]

Empaquetaduras de esferas densas en cilindros

Fracción de empaque óptima para esferas duras de diámetro dentro de un cilindro de diámetro .${\displaystyle d}$${\displaystyle D}$

Las estructuras de columnas surgen naturalmente en el contexto de empaquetaduras de esferas duras y densas dentro de un cilindro. Mughal y col. estudiaron tales empaquetaduras usando recocido simulado hasta la relación entre el diámetro del cilindro y el diámetro de la esfera . ^[23] Esto incluye algunas estructuras con esferas internas que no están en contacto con la pared del cilindro.${\textstyle D/d=2.873}$${\textstyle D}$${\textstyle d}$

Calcularon la fracción de empaque para todas estas estructuras en función de la relación de diámetro. En los picos de esta curva se encuentran las estructuras uniformes. Entre estas relaciones de diámetros discretos se encuentran los deslizamientos de línea a una densidad de empaquetamiento más baja. Su fracción de empaque es significativamente más pequeña que la de un empaque de celosía no confinado como fcc , bcc o hcp debido al volumen libre dejado por el confinamiento cilíndrico.

La rica variedad de tales estructuras ordenadas también se puede obtener depositando secuencialmente las esferas en el cilindro. ^[24] Chan reprodujo todos los empaques de esferas densas hasta el uso de un algoritmo, en el que las esferas se colocan secuencialmente y se dejan caer dentro del cilindro.${\textstyle D/d<2.7013}$

Mughal y col. También descubrió que tales estructuras pueden estar relacionadas con empaquetaduras de discos en la superficie de un cilindro. ^[23] La red de contactos de ambos embalajes es idéntica. Para ambos tipos de empaque, se encontró que diferentes estructuras uniformes están conectadas entre sí por deslizamientos de línea. ^[23]

Fu y col. extendió este trabajo a mayores relaciones de diámetro mediante programación lineal y descubrió 17 nuevas estructuras densas con esferas internas que no están en contacto con la pared del cilindro. ^[25]${\textstyle D/d<4.0}$

También se ha descubierto una variedad similar de estructuras cristalinas densas para empaquetaduras columnares de esferoides a través de simulaciones de Monte Carlo . ^[26] Dichos empaquetamientos incluyen estructuras aquirales con orientaciones específicas de esferoides y estructuras helicoidales quirales con orientaciones de esferoides rotativas.

Estructuras de columnas creadas por rotaciones rápidas

Las estructuras columnares se ensamblan utilizando rotaciones rápidas alrededor de un eje central para impulsar las esferas hacia este eje.

Lee et al . ^[27] Aquí, las perlas poliméricas se colocan junto con un fluido de mayor densidad dentro de un torno giratorio .

Cuando el torno está estático, las perlas flotan sobre el líquido. Al aumentar la velocidad de rotación, la fuerza centrípeta empuja el fluido hacia afuera y las perlas hacia el eje central. Por lo tanto, las perlas están esencialmente confinadas por un potencial dado por la energía rotacional

$${\displaystyle E_{\text{rot}}={\frac {1}{2}}mR^{2}\omega ^{2},}$$

donde es la masa de las perlas, la distancia desde el eje central y la velocidad de rotación. Debido a la proporcionalidad, el potencial de confinamiento se asemeja al de un oscilador armónico cilíndrico .${\textstyle m}$${\textstyle R}$${\textstyle \omega }$${\textstyle R^{2}}$

Dependiendo del número de esferas y la velocidad de rotación, se descubrió una variedad de estructuras ordenadas que son comparables a los empaques de esferas densas.

Winkelmann et al. Desarrollaron una teoría completa de este experimento . ^[28] Se basa en cálculos de energía analíticos utilizando un modelo de esfera genérico y predice las transiciones de la estructura peritectoide .

Ver también

• Embalaje de esfera
• Empaquetado cerrado de esferas iguales
• Problemas de empaque

Referencias

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enlaces externos

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