Teorema de la esfera (3 variedades)

En cuando los elementos del segundo grupo de homotopía de una variedad 3 pueden ser esferas incrustadas

Este artículo trata sobre incrustaciones de 2 esferas. Para el teorema de la esfera en la geometría de Riemann, consulte el teorema de la esfera .

En matemáticas, en la topología de 3-variedades , el teorema de la esfera de Christos Papakyriakopoulos  ( 1957 ) da condiciones para que los elementos del segundo grupo de homotopía de una 3-variedad sean representados por esferas incrustadas.

Un ejemplo es el siguiente:

Sea un 3-múltiple orientable tal que no sea el grupo trivial. Entonces existe un elemento distinto de cero de tener un representante que sea una incrustación .${\displaystyle M}$${\displaystyle \pi _{2}(M)}$${\displaystyle \pi _{2}(M)}$ ${\displaystyle S^{2}\to M}$

La demostración de esta versión del teorema puede basarse en métodos de transversalidad , ver Jean-Loïc Batude ( 1971 ).

Otra versión más general (también llamada teorema del plano proyectivo, y debida a David BA Epstein ) es:

Sea cualquier subgrupo 3-múltiple y un - invariante de . Si es un mapa de posición general tal que y es cualquier vecindad del conjunto singular , entonces hay un mapa que satisface${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \pi _{1}(M)}$${\displaystyle \pi _{2}(M)}$${\displaystyle f\colon S^{2}\to M}$${\displaystyle [f]\notin N}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \Sigma (f)}$${\displaystyle g\colon S^{2}\to M}$

1. ${\displaystyle [g]\notin N}$,
2. ${\displaystyle g(S^{2})\subset f(S^{2})\cup U}$,
3. ${\displaystyle g\colon S^{2}\to g(S^{2})}$es un mapa de cobertura , y
4. ${\displaystyle g(S^{2})}$es una subvariedad de 2 caras ( 2 esferas o plano proyectivo ) de .${\displaystyle M}$

citado en ( Hempel , p. 54) . harv error: no target: CITEREFHempel (help)

Referencias

• Batude, Jean-Loïc (1971). "Singularité générique des applications différentiables de la 2-sphère dans une 3-variété différentiable" (PDF) . Annales de l'Institut Fourier . 21 (3): 151-172. doi : 10.5802 / aif.383 . Señor  0331407 .

• Epstein, David BA (1961). "Planos proyectivos en 3 variedades". Actas de la London Mathematical Society . 3er ser. 11 (1): 469–484. doi : 10.1112 / plms / s3-11.1.469 .

• Hempel, John (1976). 3 colectores . Anales de estudios matemáticos. 86 . Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press . Señor  0415619 .

• Papakyriakopoulos, Christos (1957). "Sobre el lema de Dehn y la asfericidad de los nudos" . Annals of Mathematics . 66 (1): 1–26. doi : 10.2307 / 1970113 . JSTOR  1970113 . PMC  528404 .

• Whitehead, JHC (1958). "Sobre 2 esferas en 3 colectores" . Boletín de la American Mathematical Society . 64 (4): 161-166. doi : 10.1090 / S0002-9904-1958-10193-7 .