En teoría musical , el modelo de matriz en espiral es un tipo extendido de espacio de tono . Un modelo matemático que involucra hélices concéntricas (una "matriz de espirales "), representa las percepciones humanas de tonos , acordes y claves en el mismo espacio geométrico . Fue propuesto en 2000 por Elaine Chew en su tesis doctoral del MIT Toward a Mathematical Model of Tonality . [1]Investigaciones posteriores de Chew y otros han producido modificaciones del modelo de matriz en espiral y lo han aplicado a varios problemas en la teoría y la práctica de la música, como hallazgos clave (simbólicos y de audio [2] [3] ), ortografía de tono, [4] [5] [6] [7] segmentación tonal, [8] [9] evaluación de similitud, [10] y humor musical. [11] Las extensiones y aplicaciones se describen en Modelado matemático y computacional de tonalidad: teoría y aplicaciones . [12]
El modelo de matriz en espiral se puede ver como un tonnetz generalizado , que mapea los tonos en una estructura de celosía (matriz) bidimensional. La matriz en espiral envuelve el tonnetz bidimensional en una celosía tridimensional y modela estructuras de orden superior, como acordes y teclas en el interior del espacio de celosía. Esto permite que el modelo de matriz en espiral produzca interpretaciones geométricas de las relaciones entre estructuras de bajo y alto nivel. Por ejemplo, es posible modelar y medir geométricamente la distancia entre un tono particular y una clave particular, ambos representados como puntos en el espacio de la matriz en espiral. Para preservar la ortografía del tono, porque musicalmente A # ≠ Bb en su función y uso, la matriz en espiral no asume equivalencia enarmónica , es decir, no se pliega en un toro. Las relaciones espaciales entre tonos, entre acordes y entre teclas concuerdan con las de otras representaciones del espacio tonal. [13]
El modelo y sus algoritmos en tiempo real se han implementado en el software de visualización tonal MuSA.RT [14] [15] (Music on the Spiral Array. Real-Time) y una aplicación gratuita, MuSA_RT, [16] los cuales tienen se ha utilizado en vídeos de educación musical [17] [18] y en actuaciones en directo. [19] [20] [21]
Estructura de la matriz en espiral
El modelo propuesto cubre tonos básicos, acordes mayores, acordes menores, tonalidades mayores y tonalidades menores, representadas en cinco hélices concéntricas. Comenzando con una formulación de la hélice de tono, las hélices internas se generan como combinaciones convexas de puntos en las externas. Por ejemplo, los tonos C, E y G se representan como los puntos cartesianos P (0), P (1) y P (4) (ver definiciones en la siguiente sección), que delinean un triángulo. La combinación convexa de estos tres puntos es un punto dentro del triángulo y representa su centro de efecto ( ce ). Este punto interior, C M (0), representa el acorde de Do mayor en el modelo de matriz en espiral. De manera similar, las teclas pueden estar construidas por los centros de efecto de sus acordes I, IV y V.
- La hélice exterior representa clases de tonos. Las clases de tono vecinas son un intervalo de música de un quinto perfecto , y espacialmente un cuarto de rotación, aparte. El orden de las clases de tono se puede determinar mediante la línea de quintas. Por ejemplo, C iría seguida de G (C y G son una quinta perfecta de distancia), que iría seguida de D (G y D son una quinta perfecta de distancia), etc. Como resultado de esta estructura, y una de las más importantes propiedades que conducen a su selección, los vecinos verticales son un intervalo musical de un tercio mayor de distancia. Por lo tanto, los vecinos más cercanos de una clase de tono y ellos mismos forman intervalos perfectos de quinta y tercera mayor.
- Tomando cada tríada consecutiva a lo largo de la hélice y conectando sus centros de efecto, se forma una segunda hélice dentro de la hélice de tono, que representa los acordes mayores.
- De manera similar, al tomar las tríadas menores adecuadas y conectar sus centros de efecto, se forma una tercera hélice, que representa los acordes menores.
- La hélice clave principal está formada por los centros de efecto de los centros de efecto de los acordes I, IV y V.
- La hélice de tonalidad menor se forma conectando combinaciones similares de los acordes i, iv / IV y V / v.
Ecuaciones para representaciones de tono, acorde y clave
En el modelo de Chew, la hélice de la clase de tono, P , se representa en forma paramétrica mediante:
donde k es un número entero que representa la distancia del paso desde C a lo largo de la línea de quintas, r es el radio de la espiral y h es la "subida" de la espiral.
La hélice del acorde mayor, C M, está representada por:
dónde y .
Los pesos "w" afectan la cercanía del centro de efecto a la fundamental, la tercera mayor y la quinta perfecta del acorde. Al cambiar los valores relativos de estos pesos, el modelo de matriz en espiral controla qué tan "cerca" está el acorde resultante de los tres tonos constituyentes. Generalmente en la música occidental, el fundamental tiene el mayor peso en la identificación del acorde (w1), seguido del quinto (w2), seguido del tercero (w3).
La hélice del acorde menor, C m está representada por:
dónde y
Los pesos "u" funcionan de manera similar al acorde mayor.
La hélice clave principal, T M, está representada por:
dónde y .
Similar a los pesos que controlan qué tan cerca están los tonos constituyentes del centro de efecto del acorde que producen, los pesos controlar el efecto relativo del acorde I, IV y V para determinar qué tan cerca están de la clave resultante.
La hélice de clave menor, T m, está representada por:
dónde y y y .
Referencias
- ^ Masticar, Elaine (2000). Hacia un modelo matemático de tonalidad (Ph.D.). Instituto de Tecnología de Massachusetts. hdl : 1721,1 / 9139 .
- ^ Chuan, Ching-Hua; Chew, Elaine (2005). "Hallazgo de clave de audio polifónico utilizando el algoritmo CEG de matriz en espiral". Multimedia y Expo, 2005. ICME 2005. IEEE International Conference on . Amsterdam, Países Bajos: IEEE. págs. 21-24. doi : 10.1109 / ICME.2005.1521350 . 0-7803-9331-7.
- ^ Chuan, Ching-Hua; Chew, Elaine (2007). "Hallazgo clave de audio: consideraciones en el diseño del sistema y estudios de caso sobre los 24 preludios de Chopin" . Revista EURASIP sobre avances en el procesamiento de señales . 2007 (56561). doi : 10.1155 / 2007/56561 . Consultado el 1 de diciembre de 2015 .
- ^ Mastica, Elaine; Chen, Yun-Ching (2005). "Ortografía de tono en tiempo real utilizando la matriz en espiral". Computer Music Journal . 29 (2): 61–76. doi : 10.1162 / 0148926054094378 . JSTOR 3681713 .
- ^ Mastica, Elaine; Chen, Yun-Ching (2003). "Determinar las ventanas que definen el contexto: introducir la ortografía usando la matriz en espiral" (PDF) . Actas de la Conferencia Internacional sobre Recuperación de Información Musical . Baltimore, Maryland.
- ^ Mastica, Elaine; Chen, Yun-Ching (2003). "Mapeo de Midi a la matriz en espiral: desambiguación de ortografía de tono". Modelado computacional y resolución de problemas en el mundo en red . Phoenix, Arizona: Springer. págs. 259-275. doi : 10.1007 / 978-1-4615-1043-7_13 .
- ^ Meredith, David (2007). "Optimización del algoritmo de ortografía de Chew y Chen" (PDF) . Computer Music Journal . 31 (2): 54–72. doi : 10.1162 / comj.2007.31.2.54 .
- ^ Chew, Elaine (2002). "La matriz en espiral: un algoritmo para determinar los límites clave" . Música e Inteligencia Artificial, Segundo Congreso Internacional . Edimburgo: Springer. págs. 18–31. LNAI 2445.
- ^ Chew, Elaine (2005). "Saludos en dos aspectos por Messiaen: segmentación de música post-tonal utilizando distancias de contexto de tono en la matriz en espiral". Revista de investigación sobre música nueva . 34 (4): 341–354. doi : 10.1080 / 09298210600578147 .
- ^ Mardirossian, Arpi; Chew, Elaine (2006). "Resumen de música a través de distribuciones clave: análisis de evaluación de similitud a través de variaciones" (PDF) . Actas de la Conferencia Internacional sobre Recuperación de Información Musical . Victoria, Canadá. págs. 613–618.
- ^ Mastica, Elaine; François, Alexandre (2007). "Humor visible - Ver dispositivos de humor musical de PDQ Bach en el clave de temperamento corto en el espacio de matriz de espiral". Matemáticas y Computación en la Música, Primera Conferencia Internacional, MCM 2007 Berlín, Alemania, 18 al 20 de mayo de 2007 Artículos seleccionados revisados . Berlín Heidelberg: Springer. págs. 11-18. doi : 10.1007 / 978-3-642-04579-0_2 .
- ^ Chew, Elaine (2014). Modelado matemático y computacional de tonalidad: teoría y aplicaciones . Serie Internacional en Investigación de Operaciones y Ciencias de la Gestión. Saltador. ISBN 9781461494744.
- ^ Chew, Elaine (2008). "Fuera de la cuadrícula y en la espiral: interpretaciones geométricas y comparaciones con el modelo de matriz en espiral" (PDF) . Computación en Musicología . 15 : 51–72.
- ^ Mastica, Elaine; François, Alexandre (2003). "MuSA.RT: música en la matriz en espiral. En tiempo real" . MULTIMEDIA '03 Actas de la undécima conferencia internacional ACM sobre Multimedia . Berkeley, California: ACM. págs. 448–449.
- ^ Mastica, Elaine; François, Alexandre (2005). "Visualizaciones interactivas multiescala de evolución tonal en MuSA.RT Opus 2" . Computadoras en entretenimiento . 3 (4): 3. doi : 10.1145 / 1095534.1095545 .
- ^ François, Alexandre (2012). "MuSA_RT" .
- ^ Megan Swan (12 de diciembre de 2014). Vea lo que escucha . 3:41 minutos. Dentro de la música. Filarmónica de Los Ángeles.
- ^ Eric Mankin (20 de enero de 2010). La ingeniera-pianista Elaine Chew habla sobre el uso de herramientas matemáticas y de software para analizar música . 5:49 minutos. Viterbi. Universidad del Sur de California.
- ^ Avril, Tom (22 de septiembre de 2008). "Analizar la música de forma digital: las computadoras tienen un oído exquisito" . Philadelphia Inquirer . Filadelfia, Pensilvania . Consultado el 1 de diciembre de 2015 .
- ^ Hardesty, Larry (2008). "La geometría del sonido" . Technology Review: Revista MIT News : 111 . Consultado el 1 de diciembre de 2015 .
- ^ "Festival Nuevas Resonancias" . Wilton's Music Hall, Londres. 19 de junio de 2012.
Otras lecturas
- Chew, Elaine (2014). Modelado matemático y computacional de tonalidad: teoría y aplicaciones . Serie Internacional en Investigación de Operaciones y Ciencias de la Gestión. Saltador. ISBN 9781461494744.
- Chew, Elaine (2000). Hacia un modelo matemático de tonalidad (Ph.D.). Instituto de Tecnología de Massachusetts. hdl : 1721,1 / 9139 .
- Megan Swan (12 de diciembre de 2014). Vea lo que escucha . 3:41 minutos. Dentro de la música. Filarmónica de Los Ángeles.
- Eric Mankin (20 de enero de 2010). La ingeniera-pianista Elaine Chew habla sobre el uso de herramientas matemáticas y de software para analizar música . 5:49 minutos. Viterbi. Universidad del Sur de California.
- François, Alexandre (2012). "MuSA_RT" ., una aplicación gratuita para Mac que implementa y anima el modelo de matriz en espiral para la entrada MIDI.