sobre Karoubi

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En matemáticas la envolvente de Karoubi (o complemento de Cauchy o complemento idempotente ) de una categoría C es una clasificación de los idempotentes de C , mediante una categoría auxiliar. Tomar la envoltura de Karoubi de una categoría preaditiva da una categoría pseudo-abeliana , por lo que la construcción a veces se denomina terminación pseudo-abeliana. Lleva el nombre del matemático francés Max Karoubi .

Se dice que un idempotente e : A → A se divide si hay un objeto B y morfismos f : A → B , g  : B → A tales que e = g f y 1 _B = f g .

La envoltura de Karoubi de C , a veces escrita Split(C) , es la categoría cuyos objetos son pares de la forma ( A , e ) donde A es un objeto de C y es un idempotente de C , y cuyos morfismos son los triples${\displaystyle e:A\rightarrow A}$

donde es un morfismo de C satisfactorio (o equivalente ).${\displaystyle f:A\rightarrow A^{\prime }}$${\displaystyle e^{\prime }\circ f=f=f\circ e}$${\displaystyle f=e'\circ f\circ e}$

La composición en Split(C) es como en C , pero el morfismo de identidad en Split(C) es , en lugar de la identidad en .${\ estilo de visualización (A, e)}$${\displaystyle (e,e,e)}$${\displaystyle A}$

La categoría C se integra completa y fielmente en Split(C) . En Split(C) todo idempotente se divide, y Split(C) es la categoría universal con esta propiedad. La envoltura de Karoubi de una categoría C puede, por lo tanto, considerarse como la "completación" de C que divide a los idempotentes.

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