En matemáticas , específicamente en la teoría de categorías , una categoría pseudo-abeliana es una categoría que es preaditiva y es tal que todo idempotente tiene un núcleo . [1] Recordemos que un morfismo idempotente es un endomorfismo de un objeto con la propiedad de que . Las consideraciones elementales muestran que todo idempotente tiene entonces un cokernel. [2] La condición pseudo-abeliana es más fuerte que la preditividad, pero es más débil que el requisito de que cada morfismo tenga un núcleo y un cokernel, como ocurre con las categorías abelianas .
Los sinónimos en la literatura para pseudo-abeliano incluyen pseudoabeliano y Karoubian .
Ejemplos de
Cualquier categoría abeliana , en particular la categoría Ab de grupos abelianos , es pseudo-abeliana. De hecho, en una categoría abeliana, todo morfismo tiene un núcleo.
La categoría de rngs asociativos (¡no anillos !) Junto con los morfismos multiplicativos es pseudo-abeliana.
Un ejemplo más complicado es la categoría de motivos Chow . La construcción de motivos Chow utiliza la terminación pseudo-abeliana que se describe a continuación.
Compleción pseudo-abeliana
La construcción de la envolvente de Karoubi se asocia a una categoría arbitraria una categoría junto con un funtor
tal que la imagen de todo idempotente en se divide en . Cuando se aplica a una categoría preaditiva , la construcción de la envolvente de Karoubi produce una categoría pseudo-abeliana llamado la terminación pseudo-abeliana de . Además, el functor
es de hecho un morfismo aditivo.
Para ser precisos, dada una categoría preaditiva construimos una categoría pseudo-abeliana de la siguiente manera. Los objetos de son pares dónde es un objeto de y es un idempotente de . Los morfismos
en son esos morfismos
tal que en . El functor
se da tomando a .
Citas
Referencias
- Artin, Michael (1972). Alexandre Grothendieck ; Jean-Louis Verdier (eds.). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963-64 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) - vol. 1 (Apuntes de clase en matemáticas 269 ) (en francés). Berlina; Nueva York: Springer-Verlag . xix + 525.