En matemáticas , el principio de división es una técnica que se utiliza para reducir las preguntas sobre los paquetes de vectores al caso de los paquetes de líneas .
En la teoría de los paquetes de vectores, a menudo se desea simplificar los cálculos, por ejemplo, de las clases de Chern . A menudo, los cálculos se comprenden bien para paquetes de líneas y para sumas directas de paquetes de líneas. En este caso, el principio de división puede resultar muy útil.
Teorema - Sea ser un paquete vectorial de rango sobre un espacio paracompacto . Existe un espacio, llamado el paquete de banderas asociado a y un mapa tal que
- el homomorfismo cohomológico inducido es inyectable, y
- el paquete de retroceso se divide como una suma directa de paquetes de líneas:
El teorema anterior es válido para paquetes de vectores complejos y coeficientes enteros o para paquetes de vectores reales con coeficientes. En el caso complejo, la línea agrupao sus primeras clases características se denominan raíces de Chern.
El hecho de que es inyectiva significa que cualquier ecuación que se mantenga en (digamos entre varias clases de Chern) también se mantiene en .
El punto es que estas ecuaciones son más fáciles de entender para sumas directas de haces de líneas que para conjuntos de vectores arbitrarios, por lo que las ecuaciones deben entenderse en y luego empujado hacia abajo para .
Dado que los paquetes de vectores en se utilizan para definir el grupo de teoría K, es importante tener en cuenta que también es inyectable para el mapa en el teorema anterior. [1]
Polinomio simétrico
Según el principio de división, las clases características de los haces de vectores complejos corresponden a los polinomios simétricos de las primeras clases Chern de los haces de líneas complejas; estas son las clases de Chern .
Ver también
- K-teoría
- Principio de división de Grothendieck para paquetes de vectores holomórficos en la línea proyectiva compleja
Referencias
- ^ Oscar Randal-Williams, Clases de características y teoría K, Corolario 4.3.4, https://www.dpmms.cam.ac.uk/~or257/teaching/notes/Kthy.pdf
- Hatcher, Allen (2003), Vector Bundles & K-Theory (2.0 ed.) sección 3.1
- Raoul Bott y Loring Tu. Formas diferenciales en topología algebraica , sección 21.