Una raíz cuadrada de una matriz M de 2 × 2 es otra matriz R de 2 × 2 tal que M = R 2 , donde R 2 representa el producto matricial de R consigo mismo. En general, puede haber cero, dos, cuatro o incluso una infinitud de matrices de raíz cuadrada . En muchos casos, dicha matriz R se puede obtener mediante una fórmula explícita.
Las raíces cuadradas que no son la matriz de todos ceros vienen en pares: si R es una raíz cuadrada de M , entonces - R también es una raíz cuadrada de M , ya que (- R ) (- R ) = (−1) (- 1) ( RR ) = R 2 = M . Una matriz de 2 × 2 con dos valores propios distintos de cero tiene cuatro raíces cuadradas. Una matriz definida positiva tiene precisamente una raíz cuadrada definida positiva.
Una formula general
La siguiente es una fórmula general que se aplica a casi cualquier matriz de 2 × 2. [1] [2] Sea la matriz dada
donde A , B , C y D pueden ser números reales o complejos. Además, sea τ = A + D la traza de M , y δ = AD - BC sea su determinante . Sea s tal que s 2 = δ , y t sea tal que t 2 = τ + 2 s . Es decir,
Entonces, si t ≠ 0, una raíz cuadrada de M es
De hecho, el cuadrado de R es
Tenga en cuenta que R puede tener entradas complejas incluso si M es una matriz real; este será el caso, en particular, si el determinante δ es negativo.
El caso general de esta fórmula es cuando δ es distinto de cero y τ 2 ≠ 4 δ , en cuyo caso s es distinto de cero y t es distinto de cero para cada elección de signo de s . Entonces la fórmula anterior proporcionará cuatro distinta raíces cuadrado R , uno para cada selección de señales para s y t .
Casos especiales de la fórmula
Si el determinante δ es cero, pero la traza τ es distinta de cero, la fórmula general anterior dará solo dos soluciones distintas, correspondientes a los dos signos de t . A saber,
donde t es cualquier raíz cuadrada de la traza τ .
La fórmula también da solo dos soluciones distintas si δ es distinto de cero y τ 2 = 4 δ (el caso de valores propios duplicados ), en cuyo caso una de las opciones para s hará que el denominador t sea cero. En ese caso, las dos raíces son
donde s es la raíz cuadrada de δ que hace que τ - 2 s sea distinto de cero, y t es cualquier raíz cuadrada de τ - 2 s .
La fórmula anterior falla completamente si δ y τ son ambos cero; es decir, si D = - A , y A 2 = - BC , entonces tanto la traza como el determinante de la matriz son cero. En este caso, si M es la matriz nula (con A = B = C = D = 0), entonces la matriz nula también es una raíz cuadrada de M , al igual que cualquier matriz
donde b y c son valores reales o complejos arbitrarios. De lo contrario, M no tiene raíz cuadrada.
Fórmulas para matrices especiales
Matriz idempotente
Si M es una matriz idempotente , lo que significa que MM = M , entonces si no es la matriz identidad, su determinante es cero y su traza es igual a su rango , que (excluyendo la matriz cero) es 1. Entonces la fórmula anterior tiene s = 0 y τ = 1, dando M y - M como dos raíces cuadradas de M .
Matriz exponencial
Si la matriz M puede expresarse como múltiplo real del exponente de alguna matriz A ,, entonces dos de sus raíces cuadradas son . En este caso, la raíz cuadrada es real. [3]
Matriz diagonal
Si M es diagonal (es decir, B = C = 0), se puede usar la fórmula simplificada
donde un = ± √ A , y d = ± √ D . Esto, para las diversas opciones de signo, da cuatro, dos o una matrices distintas, si ninguna de, solo una de, o ambas, A y D son cero, respectivamente.
Matriz de identidad
Debido a que tiene valores propios duplicados , la matriz identidad 2 × 2 tiene infinitas raíces cuadradas racionales simétricas dadas por
donde ( r , s , t ) son números complejos tales que[4]
Matriz con un cero fuera de la diagonal
Si B es cero, pero A y D no son ambos cero, se puede usar
Esta fórmula proporcionará dos soluciones si A = D o A = 0 o D = 0, y cuatro en caso contrario. Se puede usar una fórmula similar cuando C es cero, pero A y D no son ambos cero.
Referencias
- ^ Levinger, Bernard W .. 1980. "La raíz cuadrada de una matriz de 2 × 2" . Revista de Matemáticas 53 (4). Asociación Matemática de América: 222–224. doi: 10.2307 / 2689616.
- ^ PC Somayya (1997), Raíz de una matriz de 2x2 , La educación matemática , Vol. XXXI, no. 1. Siwan, estado de Bihar. INDIA.
- ^ Anthony A. Harkin y Joseph B. Harkin (2004) Geometría de números complejos generalizados , Revista de matemáticas 77 (2): 118-129.
- ^ Mitchell, Douglas W. "Uso de triples pitagóricos para generar raíces cuadradas de I 2 ". The Mathematical Gazette 87, noviembre de 2003, 499–500.