En matemáticas , la celosía de Young es un conjunto parcialmente ordenado y una celosía que está formada por todas las particiones enteras . Lleva el nombre de Alfred Young , quien, en una serie de artículos sobre análisis sustitucional cuantitativo, desarrolló la teoría de la representación del grupo simétrico . En la teoría de Young, los objetos que ahora se llaman diagramas de Young y el orden parcial en ellos jugaron un papel clave, incluso decisivo. La celosía de Young figura prominentemente en la combinatoria algebraica , formando el ejemplo más simple de un poset diferencial en el sentido de Stanley (1988). También está estrechamente relacionado con las bases cristalinas de las álgebras de Lie afines .
Definición
La celosía de Young es un conjunto Y parcialmente ordenado formado por todas las particiones enteras ordenadas por inclusión de sus diagramas de Young (o diagramas de Ferrers ).
Significado
La aplicación tradicional del enrejado de Young es la descripción de las representaciones irreductibles de grupos simétricos S n para todo n , junto con sus propiedades de ramificación, en la característica cero. Las clases de equivalencia de representaciones irreducibles pueden parametrizarse mediante particiones o diagramas de Young, la restricción de S n + 1 a S n está libre de multiplicidad y la representación de S n con la partición p está contenida en la representación de S n + 1 con partición q si y solo si q cubre p en la red de Young. Repitiendo este procedimiento, se llega a la base semicanónica de Young en la representación irreductible de S n con partición p , que está indexada por los cuadros de Young estándar de forma p .
Propiedades
- El poset Y se clasifica : el elemento mínimo es ∅, la partición única de cero y las particiones de n tienen rango n . Esto significa que dadas dos particiones que son comparables en el enrejado, sus rangos están ordenados en el mismo sentido que las particiones, y hay al menos una partición intermedia de cada rango intermedio.
- El poset Y es una celosía. El encuentro y la unión de dos particiones viene dado por la intersección y la unión de los correspondientes diagramas de Young. Debido a que es una celosía en la que las operaciones de encuentro y unión están representadas por intersecciones y uniones, es una celosía distributiva .
- Si una partición p cubre k elementos de la red de Young para algunos k, entonces está cubierta por k + 1 elementos. Todas las particiones cubiertas por p se pueden encontrar quitando una de las "esquinas" de su diagrama de Young (casillas al final de su fila y de su columna). Todas las particiones que cubren p se pueden encontrar agregando una de las "esquinas duales" a su diagrama de Young (casillas fuera del diagrama que son las primeras en su fila y en su columna). Siempre hay una esquina doble en la primera fila, y para cada una de las otras esquinas hay una esquina en la fila anterior, de ahí la propiedad indicada.
- Si distintas particiones p y q ambos cubierta k elementos de Y entonces k es 0 ó 1, y p y q están cubiertos por k elementos. En lenguaje sencillo: dos particiones pueden tener como máximo una (tercera) partición cubierta por ambas (sus respectivos diagramas, entonces cada una tiene una caja que no pertenece a la otra), en cuyo caso también hay una (cuarta) partición que las cubre a ambas (cuya diagrama es la unión de sus diagramas).
- Las cadenas saturadas entre ∅ yp están en una biyección natural con los cuadros de Young estándar de forma p : los diagramas de la cadena suman los cuadros del diagrama del cuadro de Young estándar en el orden de su numeración. Más en general, las cadenas saturadas entre q y p son en una biyección natural con el cuadros estándar de inclinación de forma oblicua p / q .
- La función de Möbius de la red de Young toma valores 0, ± 1. Está dado por la fórmula
Simetría diedro
Convencionalmente, la celosía de Young se representa en un diagrama de Hasse con todos los elementos del mismo rango que se muestran a la misma altura sobre la parte inferior. Suter (2002) ha demostrado que una forma diferente de representar algunos subconjuntos del enrejado de Young muestra algunas simetrías inesperadas.
La partición
del n- ésimo número triangular tiene un diagrama de Ferrers que parece una escalera. Los elementos más grandes cuyos diagramas de Ferrers son rectangulares que se encuentran debajo de la escalera son los siguientes:
Las particiones de esta forma son las únicas que tienen un solo elemento inmediatamente debajo de ellas en el enrejado de Young. Suter demostró que el conjunto de todos los elementos menores o iguales a estas particiones particulares tiene no solo la simetría bilateral que uno espera del enrejado de Young, sino también la simetría rotacional: el grupo de rotación de orden n + 1 actúa sobre este poset. Dado que este conjunto tiene simetría bilateral y simetría rotacional, debe tener simetría diedro: el grupo diedro ( n + 1) ésimo actúa fielmente sobre este conjunto. El tamaño de este conjunto es 2 n .
Por ejemplo, cuando n = 4, entonces el elemento máximo debajo de la "escalera" que tiene diagramas de Ferrers rectangulares es
- 1 + 1 + 1 + 1
- 2 + 2 + 2
- 3 + 3
- 4
El subconjunto de la celosía de Young que se encuentra debajo de estas particiones tiene simetría bilateral y simetría rotacional quíntuple. Por tanto, el grupo diedro D 5 actúa fielmente sobre este subconjunto de la red de Young.
Ver también
Referencias
- Misra, Kailash C .; Miwa, Tetsuji (1990). "Base de cristal para la representación básica de". Comunicaciones en Física Matemática . 134 (1): 79–88. Código Bibliográfico : 1990CMaPh.134 ... 79M . Doi : 10.1007 / BF02102090 . S2CID 120298905 .
- Sagan, Bruce (2000). El grupo simétrico . Berlín: Springer. ISBN 0-387-95067-2.
- Stanley, Richard P. (1988). "Posets diferenciales" . Revista de la Sociedad Matemática Estadounidense . 1 (4): 919–961. doi : 10.2307 / 1990995 . JSTOR 1990995 .
- Suter, Ruedi (2002). "Celosía de Young y simetrías diedras". Revista europea de combinatoria . 23 (2): 233–238. doi : 10.1006 / eujc.2001.0541 .