El teorema de la Estrella de David es un resultado matemático de las propiedades aritméticas de los coeficientes binomiales . Fue descubierto por Henry W. Gould en 1972.
Declaración
Los máximos divisores comunes de los coeficientes binomiales que forman cada uno de los dos triángulos en la forma de la Estrella de David en el triángulo de Pascal son iguales:
Ejemplos de
Las filas 8, 9 y 10 del triángulo de Pascal son
1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
Para n = 9, k = 3 on = 9, k = 6, el elemento 84 está rodeado, en secuencia, por los elementos 28, 56, 126, 210, 120, 36. Tomando valores alternos, tenemos mcd (28 , 126, 120) = 2 = mcd (56, 210, 36).
El elemento 36 está rodeado por la secuencia 8, 28, 84, 120, 45, 9, y tomando valores alternos tenemos mcd (8, 84, 45) = 1 = mcd (28, 120, 9).
Generalización
El máximo común divisor anterior también es igual a [1] Así, en el ejemplo anterior para el elemento 84 (en su aspecto más a la derecha), también tenemos mcd (70, 56, 28, 8) = 2. Este resultado a su vez tiene más generalizaciones.
Resultados relacionados
Los dos conjuntos de tres números que el teorema de la estrella de David dice que tienen iguales máximos comunes divisores también tienen productos iguales. [1] Por ejemplo, observando nuevamente que el elemento 84 está rodeado, en secuencia, por los elementos 28, 56, 126, 210, 120, 36, y nuevamente tomando valores alternos, tenemos 28 × 126 × 120 = 2 6 × 3 3 × 5 × 7 2 = 56 × 210 × 36. Este resultado se puede confirmar escribiendo cada coeficiente binomial en forma factorial, utilizando
Ver también
Referencias
- ^ a b Weisstein, Eric W. "Teorema de la estrella de David". De MathWorld - Un recurso web de Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/StarofDavidTheorem.html
- HW Gould, "Una nueva propiedad de divisor común más grande de los coeficientes binomiales", Fibonacci Quarterly 10 (1972), 579–584.
- Teorema de la estrella de David , de MathForum .
- Teorema de la estrella de David , entrada de blog.