Representación en el espacio de estados

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En la ingeniería de control , una representación en el espacio de estados es un modelo matemático de un sistema físico como un conjunto de variables de entrada, salida y estado relacionadas por ecuaciones diferenciales de primer orden o ecuaciones en diferencias . Las variables de estado son variables cuyos valores evolucionan con el tiempo de una manera que depende de los valores que tengan en un momento dado y de los valores impuestos externamente de las variables de entrada. Los valores de las variables de salida dependen de los valores de las variables de estado.

El " espacio de estado " es el espacio euclidiano ^{[ cita requerida ]} en el que las variables en los ejes son las variables de estado. El estado del sistema se puede representar como un vector de estado dentro de ese espacio. Para abstraerse del número de entradas, salidas y estados, estas variables se expresan como vectores .

Si el sistema dinámico es lineal, invariante en el tiempo y de dimensión finita, entonces las ecuaciones diferenciales y algebraicas pueden escribirse en forma de matriz . ^{[1] [2]} El método del espacio de estados se caracteriza por una algebraización significativa de la teoría general del sistema , lo que hace posible el uso de estructuras matriciales vectoriales de Kronecker. La capacidad de estas estructuras se puede aplicar eficientemente a sistemas de investigación con modulación o sin ella. ^[3] La representación en el espacio de estados (también conocida como " enfoque en el dominio del tiempo ") proporciona una forma conveniente y compacta de modelar y analizar sistemas con múltiples entradas y salidas. Con entradas y${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$salidas, de lo contrario tendríamos que anotar las transformadas de Laplace para codificar toda la información sobre un sistema. A diferencia del enfoque en el dominio de la frecuencia , el uso de la representación del espacio de estados no se limita a sistemas con componentes lineales y condiciones iniciales cero.${\displaystyle q\times p}$

El modelo de espacio de estados se puede aplicar en materias como economía, ^[4] estadística, ^[5] informática e ingeniería eléctrica, ^[6] y neurociencia. ^[7] En econometría , por ejemplo, los modelos de espacio de estado se pueden utilizar para descomponer una serie de tiempo en tendencia y ciclo, componer indicadores individuales en un índice compuesto, ^[8] identificar puntos de inflexión del ciclo económico y estimar el PIB utilizando latentes y series de tiempo no observadas. ^{[9] [10]} Muchas aplicaciones se basan en el filtro de Kalman para producir estimaciones de las variables de estado desconocidas actuales utilizando sus observaciones anteriores. ^[11][12]

Variables de estado

Las variables de estado internas son el subconjunto más pequeño posible de variables del sistema que pueden representar el estado completo del sistema en un momento dado. ^[13] El número mínimo de variables de estado requeridas para representar un sistema dado,${\displaystyle n}$, suele ser igual al orden de la ecuación diferencial que define el sistema, pero no necesariamente. Si el sistema se representa en forma de función de transferencia, el número mínimo de variables de estado es igual al orden del denominador de la función de transferencia después de que se ha reducido a una fracción propia. Es importante comprender que convertir una realización de espacio de estados en una forma de función de transferencia puede perder información interna sobre el sistema y puede proporcionar una descripción de un sistema que es estable, cuando la realización de espacio de estados es inestable en ciertos puntos. En los circuitos eléctricos, el número de variables de estado es a menudo, aunque no siempre, el mismo que el número de elementos de almacenamiento de energía en el circuito, como condensadores e inductores.. Las variables de estado definidas deben ser linealmente independientes, es decir, ninguna variable de estado puede escribirse como una combinación lineal de las otras variables de estado o el sistema no podrá resolverse.

Sistemas lineales

Representación en diagrama de bloques de las ecuaciones lineales en el espacio de estados

La representación en el espacio de estados más general de un sistema lineal con entradas, salidas y variables de estado se escribe de la siguiente forma: ^[14]${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {A} (t)\mathbf {x} (t)+\mathbf {B} (t)\mathbf {u} (t)}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=\mathbf {C} (t)\mathbf {x} (t)+\mathbf {D} (t)\mathbf {u} (t)}$

dónde:

${\displaystyle \mathbf {x} (\cdot )}$se denomina "vector de estado"  ;${\displaystyle \mathbf {x} (t)\in \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \mathbf {y} (\cdot )}$se llama "vector de salida"  ;${\displaystyle \mathbf {y} (t)\in \mathbb {R} ^{q}}$

${\displaystyle \mathbf {u} (\cdot )}$se denomina "vector de entrada (o control)"  ;${\displaystyle \mathbf {u} (t)\in \mathbb {R} ^{p}}$

${\displaystyle \mathbf {A} (\cdot )}$es el "estado (o sistema) de matriz",  ,${\displaystyle \operatorname {dim} [\mathbf {A} (\cdot )]=n\times n}$

${\displaystyle \mathbf {B} (\cdot )}$es la "matriz de entrada"  ,${\displaystyle \operatorname {dim} [\mathbf {B} (\cdot )]=n\times p}$

${\displaystyle \mathbf {C} (\cdot )}$es la "matriz de salida"  ,${\displaystyle \operatorname {dim} [\mathbf {C} (\cdot )]=q\times n}$

${\displaystyle \mathbf {D} (\cdot )}$es la "matriz de avance (o avance)" (en los casos en que el modelo del sistema no tiene un avance directo, es la matriz cero)  ,${\displaystyle \mathbf {D} (\cdot )}$${\displaystyle \operatorname {dim} [\mathbf {D} (\cdot )]=q\times p}$

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t):={\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}\mathbf {x} (t)}$.

En esta formulación general, se permite que todas las matrices sean variantes en el tiempo (es decir, sus elementos pueden depender del tiempo); sin embargo, en el caso LTI común , las matrices serán invariantes en el tiempo. La variable de tiempo puede ser continua (p . Ej. ) O discreta (p . Ej .). En el último caso, se suele utilizar la variable de tiempo en lugar de . Los sistemas híbridos permiten dominios de tiempo que tienen partes tanto continuas como discretas. Dependiendo de las suposiciones hechas, la representación del modelo de espacio de estados puede asumir las siguientes formas:${\displaystyle t}$${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$${\displaystyle t\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle k}$${\displaystyle t}$

Tipo de sistema	Modelo de espacio de estados
Invariable en el tiempo continuo	${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+\mathbf {B} \mathbf {u} (t)}$ ${\displaystyle \mathbf {y} (t)=\mathbf {C} \mathbf {x} (t)+\mathbf {D} \mathbf {u} (t)}$
Variante de tiempo continua	${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {A} (t)\mathbf {x} (t)+\mathbf {B} (t)\mathbf {u} (t)}$ ${\displaystyle \mathbf {y} (t)=\mathbf {C} (t)\mathbf {x} (t)+\mathbf {D} (t)\mathbf {u} (t)}$
Invariante en el tiempo discreto explícito	${\displaystyle \mathbf {x} (k+1)=\mathbf {A} \mathbf {x} (k)+\mathbf {B} \mathbf {u} (k)}$ ${\displaystyle \mathbf {y} (k)=\mathbf {C} \mathbf {x} (k)+\mathbf {D} \mathbf {u} (k)}$
Variante de tiempo discreta explícita	${\displaystyle \mathbf {x} (k+1)=\mathbf {A} (k)\mathbf {x} (k)+\mathbf {B} (k)\mathbf {u} (k)}$ ${\displaystyle \mathbf {y} (k)=\mathbf {C} (k)\mathbf {x} (k)+\mathbf {D} (k)\mathbf {u} (k)}$
Dominio de Laplace de invariante en el tiempo continuo	${\displaystyle s\mathbf {X} (s)-\mathbf {x} (0)=\mathbf {A} \mathbf {X} (s)+\mathbf {B} \mathbf {U} (s)}$ ${\displaystyle \mathbf {Y} (s)=\mathbf {C} \mathbf {X} (s)+\mathbf {D} \mathbf {U} (s)}$
Dominio Z de invariante en el tiempo discreto	${\displaystyle z\mathbf {X} (z)-z\mathbf {x} (0)=\mathbf {A} \mathbf {X} (z)+\mathbf {B} \mathbf {U} (z)}$ ${\displaystyle \mathbf {Y} (z)=\mathbf {C} \mathbf {X} (z)+\mathbf {D} \mathbf {U} (z)}$

Ejemplo: caso de LTI de tiempo continuo

Las características de estabilidad y respuesta natural de un sistema LTI de tiempo continuo (es decir, lineal con matrices que son constantes con respecto al tiempo) se pueden estudiar a partir de los valores propios de la matriz . La estabilidad de un modelo de espacio de estado invariante en el tiempo se puede determinar observando la función de transferencia del sistema en forma factorizada. Entonces se verá algo como esto:${\displaystyle \mathbf {A} }$

${\displaystyle {\textbf {G}}(s)=k{\frac {(s-z_{1})(s-z_{2})(s-z_{3})}{(s-p_{1})(s-p_{2})(s-p_{3})(s-p_{4})}}.}$

El denominador de la función de transferencia es igual al polinomio característico encontrado al tomar el determinante de ,${\displaystyle s\mathbf {I} -\mathbf {A} }$

${\displaystyle \lambda (s)=|s\mathbf {I} -\mathbf {A} |.}$

Las raíces de este polinomio (los valores propios ) son los polos de la función de transferencia del sistema (es decir, las singularidades donde la magnitud de la función de transferencia no está acotada). Estos polos se pueden utilizar para analizar si el sistema es asintóticamente estable o marginalmente estable . Un enfoque alternativo para determinar la estabilidad, que no implica el cálculo de valores propios, es analizar la estabilidad de Lyapunov del sistema .

Los ceros que se encuentran en el numerador de pueden usarse de manera similar para determinar si el sistema es de fase mínima .${\displaystyle {\textbf {G}}(s)}$

Es posible que el sistema siga siendo estable de entrada-salida (consulte BIBO estable ) aunque no sea internamente estable. Este puede ser el caso si los polos inestables se cancelan con ceros (es decir, si esas singularidades en la función de transferencia son removibles ).

Controlabilidad

Artículo principal: controlabilidad

La condición de controlabilidad del estado implica que es posible, mediante entradas admisibles, dirigir los estados desde cualquier valor inicial a cualquier valor final dentro de una ventana de tiempo finita. Un modelo de espacio de estados lineal invariante en el tiempo continuo es controlable si y solo si

${\displaystyle \operatorname {rank} {\begin{bmatrix}\mathbf {B} &\mathbf {A} \mathbf {B} &\mathbf {A} ^{2}\mathbf {B} &\cdots &\mathbf {A} ^{n-1}\mathbf {B} \end{bmatrix}}=n,}$

donde rango es el número de filas linealmente independientes en una matriz y donde n es el número de variables de estado.

Observabilidad

Artículo principal: Observabilidad

La observabilidad es una medida de qué tan bien se pueden inferir los estados internos de un sistema mediante el conocimiento de sus salidas externas. La observabilidad y la controlabilidad de un sistema son duales matemáticos (es decir, como la controlabilidad proporciona que una entrada está disponible que lleva cualquier estado inicial a cualquier estado final deseado, la observabilidad proporciona que conocer una trayectoria de salida proporciona suficiente información para predecir el estado inicial del sistema ).

Un modelo de espacio de estados lineal invariante en el tiempo continuo es observable si y solo si

${\displaystyle \operatorname {rank} {\begin{bmatrix}\mathbf {C} \\\mathbf {C} \mathbf {A} \\\vdots \\\mathbf {C} \mathbf {A} ^{n-1}\end{bmatrix}}=n.}$

Función de transferencia

La " función de transferencia " de un modelo de espacio de estados lineal invariante en el tiempo continuo se puede derivar de la siguiente manera:

Primero, tomando la transformada de Laplace de

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+\mathbf {B} \mathbf {u} (t)}$

rendimientos

${\displaystyle s\mathbf {X} (s)-\mathbf {x} (0)=\mathbf {A} \mathbf {X} (s)+\mathbf {B} \mathbf {U} (s).}$

A continuación, simplificamos para dar${\displaystyle \mathbf {X} (s)}$

${\displaystyle (s\mathbf {I} -\mathbf {A} )\mathbf {X} (s)=\mathbf {x} (0)+\mathbf {B} \mathbf {U} (s)}$

y por lo tanto

${\displaystyle \mathbf {X} (s)=(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {x} (0)+(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {B} \mathbf {U} (s).}$

Sustituyendo en la ecuación de salida${\displaystyle \mathbf {X} (s)}$

${\displaystyle \mathbf {Y} (s)=\mathbf {C} \mathbf {X} (s)+\mathbf {D} \mathbf {U} (s),}$

donación

${\displaystyle \mathbf {Y} (s)=\mathbf {C} ((s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {x} (0)+(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {B} \mathbf {U} (s))+\mathbf {D} \mathbf {U} (s).}$

Suponiendo condiciones iniciales cero y un sistema de entrada única y salida única (SISO) , la función de transferencia se define como la relación de salida y entrada . Sin embargo, para un sistema de múltiples entradas y múltiples salidas (MIMO) , esta relación no está definida. Por lo tanto, asumiendo condiciones iniciales cero, la matriz de la función de transferencia se deriva de${\displaystyle \mathbf {x} (0)=\mathbf {0} }$${\displaystyle G(s)=Y(s)/U(s)}$

${\displaystyle \mathbf {Y} (s)=\mathbf {G} (s)\mathbf {U} (s)}$

utilizando el método de igualar los coeficientes que produce

${\displaystyle \mathbf {G} (s)=\mathbf {C} (s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {B} +\mathbf {D} }$.

En consecuencia, es una matriz con la dimensión que contiene funciones de transferencia para cada combinación de entrada y salida. Debido a la simplicidad de esta notación matricial, la representación del espacio de estados se usa comúnmente para sistemas de múltiples entradas y múltiples salidas. La matriz del sistema de Rosenbrock proporciona un puente entre la representación del espacio de estados y su función de transferencia .${\displaystyle \mathbf {G} (s)}$${\displaystyle q\times p}$

Realizaciones canónicas

Artículo principal: Realización (sistemas)

Cualquier función de transferencia dada que sea estrictamente adecuada se puede transferir fácilmente al espacio de estados mediante el siguiente enfoque (este ejemplo es para un sistema de 4 dimensiones, una sola entrada y una sola salida):

Dada una función de transferencia, expándala para revelar todos los coeficientes tanto en el numerador como en el denominador. Esto debería resultar en la siguiente forma:

${\displaystyle {\textbf {G}}(s)={\frac {n_{1}s^{3}+n_{2}s^{2}+n_{3}s+n_{4}}{s^{4}+d_{1}s^{3}+d_{2}s^{2}+d_{3}s+d_{4}}}.}$

Los coeficientes ahora se pueden insertar directamente en el modelo de espacio de estados mediante el siguiente enfoque:

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)={\begin{bmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\-d_{4}&-d_{3}&-d_{2}&-d_{1}\end{bmatrix}}\mathbf {x} (t)+{\begin{bmatrix}0\\0\\0\\1\end{bmatrix}}\mathbf {u} (t)}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)={\begin{bmatrix}n_{4}&n_{3}&n_{2}&n_{1}\end{bmatrix}}\mathbf {x} (t).}$

Esta realización del espacio de estados se denomina forma canónica controlable porque se garantiza que el modelo resultante es controlable (es decir, debido a que el control entra en una cadena de integradores, tiene la capacidad de mover todos los estados).

Los coeficientes de la función de transferencia también se pueden usar para construir otro tipo de forma canónica

${\displaystyle {\dot {\textbf {x}}}(t)={\begin{bmatrix}0&0&0&-d_{4}\\1&0&0&-d_{3}\\0&1&0&-d_{2}\\0&0&1&-d_{1}\end{bmatrix}}{\textbf {x}}(t)+{\begin{bmatrix}n_{4}\\n_{3}\\n_{2}\\n_{1}\end{bmatrix}}{\textbf {u}}(t)}$

${\displaystyle {\textbf {y}}(t)={\begin{bmatrix}0&0&0&1\end{bmatrix}}{\textbf {x}}(t).}$

Esta realización del espacio de estados se llama forma canónica observable porque se garantiza que el modelo resultante es observable (es decir, debido a que la salida sale de una cadena de integradores, cada estado tiene un efecto sobre la salida).

Funciones de transferencia adecuadas

Las funciones de transferencia que solo son adecuadas (y no estrictamente adecuadas ) también se pueden realizar con bastante facilidad. El truco aquí es separar la función de transferencia en dos partes: una parte estrictamente adecuada y una constante.

${\displaystyle {\textbf {G}}(s)={\textbf {G}}_{\mathrm {SP} }(s)+{\textbf {G}}(\infty ).}$

La función de transferencia estrictamente adecuada se puede transformar en una realización canónica de espacio de estados utilizando las técnicas que se muestran arriba. La realización de la constante en el espacio de estados es trivial . Juntos obtenemos entonces una realización del espacio de estados con las matrices A , B y C determinadas por la parte estrictamente propia, y la matriz D determinada por la constante.${\displaystyle {\textbf {y}}(t)={\textbf {G}}(\infty ){\textbf {u}}(t)}$

Aquí hay un ejemplo para aclarar un poco las cosas:

${\displaystyle {\textbf {G}}(s)={\frac {s^{2}+3s+3}{s^{2}+2s+1}}={\frac {s+2}{s^{2}+2s+1}}+1}$

que produce la siguiente realización controlable

${\displaystyle {\dot {\textbf {x}}}(t)={\begin{bmatrix}-2&-1\\1&0\\\end{bmatrix}}{\textbf {x}}(t)+{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}{\textbf {u}}(t)}$

${\displaystyle {\textbf {y}}(t)={\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}}{\textbf {x}}(t)+{\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}{\textbf {u}}(t)}$

Observe cómo la salida también depende directamente de la entrada. Esto se debe a la constante en la función de transferencia.${\displaystyle {\textbf {G}}(\infty )}$

Comentarios

Modelo típico de espacio de estados con retroalimentación

Un método común para la retroalimentación es multiplicar la salida por una matriz K y el establecimiento de esta como la entrada al sistema: . Dado que los valores de K no están restringidos, los valores se pueden negar fácilmente por retroalimentación negativa . La presencia de un signo negativo (la notación común) es simplemente una notación y su ausencia no tiene ningún impacto en los resultados finales.${\displaystyle \mathbf {u} (t)=K\mathbf {y} (t)}$

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A\mathbf {x} (t)+B\mathbf {u} (t)}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=C\mathbf {x} (t)+D\mathbf {u} (t)}$

se convierte en

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A\mathbf {x} (t)+BK\mathbf {y} (t)}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=C\mathbf {x} (t)+DK\mathbf {y} (t)}$

resolver la ecuación de salida y sustituir en la ecuación de estado da como resultado${\displaystyle \mathbf {y} (t)}$

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\left(A+BK\left(I-DK\right)^{-1}C\right)\mathbf {x} (t)}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=\left(I-DK\right)^{-1}C\mathbf {x} (t)}$

La ventaja de esto es que los valores propios de A se pueden controlar estableciendo K de forma apropiada mediante la descomposición propia de . Esto supone que el sistema de circuito cerrado es controlable o que los valores propios inestables de A se pueden hacer estable a través de la elección apropiada de K .${\displaystyle \left(A+BK\left(I-DK\right)^{-1}C\right)}$

Ejemplo

Para un sistema estrictamente adecuado, D es igual a cero. Otra situación bastante común es cuando todos los estados son salidas, es decir, y = x , lo que da como resultado C = I , la matriz de identidad . Esto resultaría entonces en ecuaciones más simples

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\left(A+BK\right)\mathbf {x} (t)}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=\mathbf {x} (t)}$

Esto reduce la descomposición propia necesaria a solo .${\displaystyle A+BK}$

Retroalimentación con entrada de punto de ajuste (referencia)

Realimentación de salida con punto de ajuste

Además de la retroalimentación, se puede agregar una entrada, tal que .${\displaystyle r(t)}$${\displaystyle \mathbf {u} (t)=-K\mathbf {y} (t)+\mathbf {r} (t)}$

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A\mathbf {x} (t)+B\mathbf {u} (t)}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=C\mathbf {x} (t)+D\mathbf {u} (t)}$

se convierte en

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A\mathbf {x} (t)-BK\mathbf {y} (t)+B\mathbf {r} (t)}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=C\mathbf {x} (t)-DK\mathbf {y} (t)+D\mathbf {r} (t)}$

resolver la ecuación de salida y sustituir en la ecuación de estado da como resultado${\displaystyle \mathbf {y} (t)}$

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\left(A-BK\left(I+DK\right)^{-1}C\right)\mathbf {x} (t)+B\left(I-K\left(I+DK\right)^{-1}D\right)\mathbf {r} (t)}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=\left(I+DK\right)^{-1}C\mathbf {x} (t)+\left(I+DK\right)^{-1}D\mathbf {r} (t)}$

Una simplificación bastante común de este sistema es la eliminación de D , que reduce las ecuaciones a

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\left(A-BKC\right)\mathbf {x} (t)+B\mathbf {r} (t)}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=C\mathbf {x} (t)}$

Ejemplo de objeto en movimiento

Un sistema lineal clásico es el del movimiento unidimensional de un objeto (por ejemplo, un carro). Leyes del movimiento de Newton para un objeto que se mueve horizontalmente en un plano y se fija a una pared con un resorte:

${\displaystyle m{\ddot {y}}(t)=u(t)-b{\dot {y}}(t)-ky(t)}$

dónde

• ${\displaystyle y(t)}$es posición; es la velocidad; es la aceleración${\displaystyle {\dot {y}}(t)}$${\displaystyle {\ddot {y}}(t)}$
• ${\displaystyle u(t)}$ es una fuerza aplicada
• ${\displaystyle b}$ es el coeficiente de fricción viscoso
• ${\displaystyle k}$ es la constante del resorte
• ${\displaystyle m}$ es la masa del objeto

La ecuación de estado se convertiría entonces en

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\dot {\mathbf {x} }}_{1}(t)\\{\dot {\mathbf {x} }}_{2}(t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\-{\frac {k}{m}}&-{\frac {b}{m}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {x} _{1}(t)\\\mathbf {x} _{2}(t)\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0\\{\frac {1}{m}}\end{bmatrix}}\mathbf {u} (t)}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=\left[{\begin{matrix}1&0\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}\mathbf {x_{1}} (t)\\\mathbf {x_{2}} (t)\end{matrix}}\right]}$

dónde

• ${\displaystyle x_{1}(t)}$ representa la posición del objeto
• ${\displaystyle x_{2}(t)={\dot {x}}_{1}(t)}$ es la velocidad del objeto
• ${\displaystyle {\dot {x}}_{2}(t)={\ddot {x}}_{1}(t)}$ es la aceleración del objeto
• la salida es la posición del objeto${\displaystyle \mathbf {y} (t)}$

La prueba de controlabilidad es entonces

${\displaystyle {\begin{bmatrix}B&AB\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\begin{bmatrix}0\\{\frac {1}{m}}\end{bmatrix}}&{\begin{bmatrix}0&1\\-{\frac {k}{m}}&-{\frac {b}{m}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0\\{\frac {1}{m}}\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&{\frac {1}{m}}\\{\frac {1}{m}}&-{\frac {b}{m^{2}}}\end{bmatrix}}}$

que tiene rango completo para todos y . Esto significa que, si se conoce el estado inicial del sistema ( , , ), y si el y son constantes, entonces no es un resorte que podría mover el carro en cualquier otra posición en el sistema.${\displaystyle b}$${\displaystyle m}$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle {\dot {y}}(t)}$${\displaystyle {\ddot {y}}(t)}$${\displaystyle b}$${\displaystyle m}$${\displaystyle k}$

La prueba de observabilidad es entonces

${\displaystyle {\begin{bmatrix}C\\CA\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\-{\frac {k}{m}}&-{\frac {b}{m}}\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}}$

que también tiene rango completo. Por lo tanto, este sistema es controlable y observable.

Sistemas no lineales

La forma más general de un modelo de espacio de estados se puede escribir como dos funciones.

${\displaystyle \mathbf {\dot {x}} (t)=\mathbf {f} (t,x(t),u(t))}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=\mathbf {h} (t,x(t),u(t))}$

La primera es la ecuación de estado y la última es la ecuación de salida. Si la función es una combinación lineal de estados e entradas, entonces las ecuaciones se pueden escribir en notación matricial como arriba. El argumento de las funciones puede descartarse si el sistema no está forzado (es decir, no tiene entradas).${\displaystyle f(\cdot ,\cdot ,\cdot )}$${\displaystyle u(t)}$

Ejemplo de péndulo

Un sistema no lineal clásico es un péndulo simple no forzado

${\displaystyle m\ell ^{2}{\ddot {\theta }}(t)=-m\ell g\sin \theta (t)-k\ell {\dot {\theta }}(t)}$

dónde

• ${\displaystyle \theta (t)}$ es el ángulo del péndulo con respecto a la dirección de la gravedad
• ${\displaystyle m}$ es la masa del péndulo (se supone que la masa de la varilla del péndulo es cero)
• ${\displaystyle g}$ es la aceleración gravitacional
• ${\displaystyle k}$ es el coeficiente de fricción en el punto de pivote
• ${\displaystyle \ell }$es el radio del péndulo (al centro de gravedad de la masa )${\displaystyle m}$

Las ecuaciones de estado son entonces

${\displaystyle {\dot {x}}_{1}(t)=x_{2}(t)}$

${\displaystyle {\dot {x}}_{2}(t)=-{\frac {g}{\ell }}\sin {x_{1}}(t)-{\frac {k}{m\ell }}{x_{2}}(t)}$

dónde

• ${\displaystyle x_{1}(t)=\theta (t)}$ es el ángulo del péndulo
• ${\displaystyle x_{2}(t)={\dot {x}}_{1}(t)}$ es la velocidad de rotación del péndulo
• ${\displaystyle {\dot {x}}_{2}={\ddot {x}}_{1}}$ es la aceleración rotacional del péndulo

En cambio, la ecuación de estado se puede escribir en la forma general

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)={\begin{bmatrix}{\dot {x}}_{1}(t)\\{\dot {x}}_{2}(t)\end{bmatrix}}=\mathbf {f} (t,x(t))={\begin{bmatrix}x_{2}(t)\\-{\frac {g}{\ell }}\sin {x_{1}}(t)-{\frac {k}{m\ell }}{x_{2}}(t)\end{bmatrix}}.}$

Los puntos de equilibrio / estacionarios de un sistema son cuándo y, por lo tanto, los puntos de equilibrio de un péndulo son aquellos que satisfacen${\displaystyle {\dot {x}}=0}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}n\pi \\0\end{bmatrix}}}$

para enteros n .

Ver también

• Ingeniería de control
• Teoría de control
• Observador estatal
• Observabilidad
• Controlabilidad
• Discretización de modelos de espacio de estados
• Espacio de fase para información sobre el estado de fase (como el espacio de estado) en física y matemáticas.
• Espacio de estados para información sobre el espacio de estados con estados discretos en informática.
• Espacio de estados (física) para obtener información sobre el espacio de estados en física.
• Filtro de Kalman para una aplicación estadística.

Referencias

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11. Kalman, RE (1 de marzo de 1960). "Un nuevo enfoque para problemas de predicción y filtrado lineal" . Revista de Ingeniería Básica . 82 (1): 35–45. doi : 10.1115 / 1.3662552 . ISSN 0021-9223 . 
12. Harvey, Andrew C. (1990). Predicción, modelos de series temporales estructurales y filtro de Kalman . Cambridge: Cambridge University Press. doi: 10.1017 / CBO9781107049994
13. Nise, Norman S. (2010). Ingeniería de Sistemas de Control (6ª ed.). John Wiley & Sons, Inc. ISBN 978-0-470-54756-4.
14. Brogan, William L. (1974). Teoría del control moderno (1ª ed.). Quantum Publishers, Inc. pág. 172.

Lectura adicional

• Antsaklis, PJ; Michel, AN (2007). Una cartilla de sistemas lineales . Birkhauser. ISBN 978-0-8176-4460-4.
• Chen, Chi-Tsong (1999). Teoría y diseño de sistemas lineales (3ª ed.). Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 0-19-511777-8.
• Khalil, Hassan K. (2001). Sistemas no lineales (3ª ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-067389-7.
• Hinrichsen, Diederich; Pritchard, Anthony J. (2005). Teoría de Sistemas Matemáticos I, Modelado, Análisis del Espacio de Estados, Estabilidad y Robustez . Saltador. ISBN 978-3-540-44125-0.
• Sontag, Eduardo D. (1999). Teoría del control matemático: sistemas deterministas de dimensión finita (PDF) (2ª ed.). Saltador. ISBN 0-387-98489-5. Consultado el 28 de junio de 2012 .
• Friedland, Bernard (2005). Diseño de sistemas de control: Introducción a los métodos de espacio de estados . Dover. ISBN 0-486-44278-0.
• Zadeh, Lotfi A .; Desoer, Charles A. (1979). Teoría de sistemas lineales . Krieger Pub Co. ISBN 978-0-88275-809-1.

Sobre las aplicaciones de los modelos de espacio de estados en econometría

• Durbin, J .; Koopman, S. (2001). Análisis de series de tiempo por métodos de espacio de estados . Oxford, Reino Unido: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-852354-3.

Enlaces externos

• Idioma Wolfram funciones para los modelos lineales de espacio de estado , modelos de espacio de estado afines , y los modelos de espacio de estado no lineales .