En la relatividad general , específicamente en las ecuaciones de campo de Einstein , se dice que un espacio-tiempo es estacionario si admite un vector de Killing que es asintóticamente similar al tiempo . [1]
Descripción y análisis
En un espacio-tiempo estacionario, los componentes del tensor métrico, , pueden elegirse de modo que todos sean independientes de la coordenada de tiempo. El elemento lineal de un espaciotiempo estacionario tiene la forma
dónde es la coordenada de tiempo, son las tres coordenadas espaciales y es el tensor métrico del espacio tridimensional. En este sistema de coordenadas, el campo del vector Killing tiene los componentes . es un escalar positivo que representa la norma del vector Killing, es decir, , y es un 3-vector, llamado vector de torsión, que desaparece cuando el vector de Killing es ortogonal a la hiperuperficie. Este último surge como los componentes espaciales del twist 4-vector(ver, por ejemplo, [2] p. 163) que es ortogonal al vector Killing, es decir, satisface . El vector de torsión mide hasta qué punto el vector de Killing no es ortogonal a una familia de 3 superficies. Un giro distinto de cero indica la presencia de rotación en la geometría del espacio-tiempo.
La representación de coordenadas descrita anteriormente tiene una interpretación geométrica interesante. [3] El vector Killing de traducción de tiempo genera un grupo de movimiento de un parámetro en el espacio-tiempo . Al identificar los puntos del espacio-tiempo que se encuentran en una trayectoria particular (también llamada órbita), se obtiene un espacio tridimensional (la variedad de trayectorias de muerte), el espacio del cociente. Cada punto de representa una trayectoria en el espacio-tiempo . Esta identificación, llamada proyección canónica, es un mapeo que envía cada trayectoria en en un punto en e induce una métrica en a través de retroceso. Las cantidades, y son todos los campos en y, en consecuencia, son independientes del tiempo. Por tanto, la geometría de un espacio-tiempo estacionario no cambia en el tiempo. En el caso especialse dice que el espacio-tiempo es estático . Por definición, todo espacio-tiempo estático es estacionario, pero lo contrario no es generalmente cierto, ya que la métrica de Kerr proporciona un contraejemplo.
Usar como punto de partida para ecuaciones de campo de vacío
En un espacio-tiempo estacionario que satisface las ecuaciones de Einstein del vacío fuera de las fuentes, el twist 4-vector no tiene rizos,
y es, por tanto, localmente el gradiente de un escalar (llamado escalar twist):
En lugar de los escalares y es más conveniente utilizar los dos potenciales de Hansen, los potenciales de masa y momento angular, y , definido como [4]
En relatividad general, el potencial de masa juega el papel del potencial gravitacional newtoniano. Un potencial de momento angular no trivialsurge para fuentes rotativas debido a la energía cinética rotacional que, debido a la equivalencia masa-energía, también puede actuar como fuente de un campo gravitacional. La situación es análoga a un campo electromagnético estático donde uno tiene dos conjuntos de potenciales, eléctrico y magnético. En la relatividad general, las fuentes rotativas producen un campo gravitomagnético que no tiene análogo newtoniano.
Por tanto, una métrica de vacío estacionaria se puede expresar en términos de los potenciales de Hansen (, ) y la métrica 3 . En términos de estas cantidades, las ecuaciones de campo de vacío de Einstein se pueden poner en la forma [4]
dónde , y es el tensor de Ricci de la métrica espacial y el escalar de Ricci correspondiente. Estas ecuaciones forman el punto de partida para investigar métricas de vacío estacionarias exactas.