Espacio-tiempo estático

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En relatividad general , se dice que un espacio-tiempo es estático si no cambia con el tiempo y también es irrotacional. Es un caso especial de un espaciotiempo estacionario , que es la geometría de un espaciotiempo estacionario que no cambia en el tiempo pero puede rotar. Por tanto, la solución de Kerr proporciona un ejemplo de un espacio-tiempo estacionario que no es estático; la solución de Schwarzschild no rotatoria es un ejemplo que es estático.

Formalmente, un espacio-tiempo es estático si admite un campo vectorial Killing global, que no desaparece, similar al tiempo , que es irrotacional , es decir , cuya distribución ortogonal es involutiva . (Tenga en cuenta que las hojas de la foliación asociada son necesariamente hipersuperficies espaciales ). Por lo tanto, un espaciotiempo estático es un espaciotiempo estacionario que satisface esta condición de integrabilidad adicional. Estos espaciotiempos forman una de las clases más simples de variedades de Lorentz . ${\displaystyle K}$

Localmente, cada espacio-tiempo estático parece un espacio-tiempo estático estándar que es un producto deformado Lorentziano R S con una métrica de la forma${\displaystyle \times }$

${\displaystyle g[(t,x)]=-\beta (x)dt^{2}+g_{S}[x]}$,

donde R es la línea real, es un (definida positiva) métrico y es una función positiva en la riemanniano colector S .${\displaystyle g_{S}}$${\displaystyle \beta }$

En tal una representación de coordenadas local del campo de muerte puede ser identificado con y S , el colector de - trayectorias , puede considerarse como la instantánea 3-espacio de observadores estacionarios. Si es el cuadrado de la norma del campo vectorial Killing`` ambos y son independientes del tiempo (de hecho ). Es del último hecho que un espaciotiempo estático obtiene su nombre, ya que la geometría del segmento S similar al espacio no cambia con el tiempo.${\displaystyle K}$${\displaystyle \partial _{t}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda =g(K,K)}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle g_{S}}$${\displaystyle \lambda =-\beta (x)}$

Ejemplos de espaciotiempos estáticos

• La solución (exterior) de Schwarzschild .
• Espacio de Sitter (la parte del mismo cubierto por el parche estático ).
• Espacio Reissner – Nordström .
• La solución de Weyl , una solución axisimétrica estática de las ecuaciones de campo de vacío de Einstein descubiertas por Hermann Weyl .${\displaystyle R_{\mu \nu }=0}$

Ejemplos de espaciotiempo no estático

En general, "casi todos" los espaciotiempo no serán estáticos. Algunos ejemplos explícitos incluyen:

• Espacio-tiempo esféricamente simétricos , que son irrotacionales, pero no estáticos.
• La solución de Kerr , dado que describe un agujero negro en rotación, es un espacio-tiempo estacionario que no es estático.
• Los espaciotiempos con ondas gravitacionales ni siquiera son estacionarios.

Referencias

• Hawking, SW; Ellis, GFR (1973), The large scale structure of space-time , Cambridge Monographs on Mathematical Physics, 1 , Londres-Nueva York: Cambridge University Press, MR  0424186

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