En matemáticas , la representación de Steinberg , o módulo de Steinberg o carácter de Steinberg , denotado por St , es una representación lineal particular de un grupo algebraico reductivo sobre un campo finito o campo local , o un grupo con un par BN . Es análogo a la representación de signo unidimensional ε de un grupo de Coxeter o Weyl que lleva todas las reflexiones a –1.
Para grupos sobre campos finitos, estas representaciones fueron introducidas por Robert Steinberg ( 1951 , 1956 , 1957 ), primero para los grupos lineales generales, luego para los grupos clásicos y luego para todos los grupos de Chevalley , con una construcción que inmediatamente se generalizó a los otros grupos. de tipo Lie que fueron descubiertos poco después por Steinberg, Suzuki y Ree. Sobre un campo finito de característica p , la representación de Steinberg tiene un grado igual a la mayor potencia de p que divide el orden del grupo.
Matsumoto (1969) , Shalika (1970) y Harish-Chandra (1973) definieron representaciones análogas de Steinberg (a veces llamadas representaciones especiales ) para grupos algebraicos sobre campos locales . Para el grupo lineal general GL(2), la dimensión del módulo Jacquet de una representación especial es siempre uno.
La mayoría de los grupos simples finitos tienen exactamente una representación de Steinberg. Unos pocos tienen más de uno porque son grupos de tipo Lie en más de una forma. Para grupos simétricos (y otros grupos de Coxeter) la representación de signos es análoga a la representación de Steinberg. Algunos de los grupos simples esporádicos actúan como grupos de permutación doblemente transitivos, por lo que tienen un par BN para el que se puede definir una representación de Steinberg, pero para la mayoría de los grupos esporádicos no existe un análogo conocido.
Matsumoto (1969) , Shalika (1970) y Harish-Chandra (1973) introdujeron las representaciones de Steinberg para grupos algebraicos sobre campos locales . Casselman (1973) mostró que las diferentes formas de definir las representaciones de Steinberg son equivalentes.Borel & Serre (1976) y Borel (1976) mostraron cómo realizar la representación de Steinberg en el grupo de cohomología Hl
c( X ) del edificio Bruhat–Tits del grupo.