En teoría de probabilidad y estadística , un orden estocástico cuantifica el concepto de que una variable aleatoria es "más grande" que otra. Suelen ser órdenes parciales , de modo que una variable aleatoria no puede ser estocásticamente mayor, menor o igual que otra variable aleatoria . Existen muchos órdenes diferentes, que tienen diferentes aplicaciones.
Orden estocástico habitual
Una variable aleatoria real es menor que una variable aleatoria en el "orden estocástico habitual" si
dónde denota la probabilidad de un evento. Esto a veces se denota o . Si adicionalmente para algunos , luego es estocásticamente estrictamente menor que , a veces denotado . En teoría de la decisión , bajo esta circunstancia B se dice que es de primer orden estocásticamente dominante sobre A .
Caracterizaciones
Las siguientes reglas describen casos en los que una variable aleatoria es estocásticamente menor o igual que otra. También existe una versión estricta de algunas de estas reglas.
- si y solo si para todas las funciones no decrecientes , .
- Si es no decreciente y luego
- Si es una función creciente [ aclaración necesaria ] y y son conjuntos independientes de variables aleatorias con para cada , luego y en particular Además, el las estadísticas de este orden satisfacen.
- Si dos secuencias de variables aleatorias y , con para todos cada uno converge en la distribución , entonces sus límites satisfacen.
- Si , y son variables aleatorias tales que y para todos y tal que , luego .
Otras propiedades
Si y luego (las variables aleatorias son iguales en distribución).
Dominio estocástico
La dominancia estocástica [1] es un orden estocástico utilizado en la teoría de decisiones . Se definen varios "órdenes" de dominancia estocástica.
- La dominancia estocástica de orden cero consiste en una simple desigualdad: Si para todos los estados de la naturaleza .
- El dominio estocástico de primer orden es equivalente al orden estocástico habitual anterior.
- La dominancia estocástica de orden superior se define en términos de integrales de la función de distribución .
- El dominio estocástico de orden inferior implica un dominio estocástico de orden superior.
Orden estocástico multivariante
Un variable aleatoria valorada es menor que un variable aleatoria valorada en el "orden estocástico habitual" si
Existen otros tipos de órdenes estocásticas multivariadas. Por ejemplo, el orden ortográfico superior e inferior que son similares al orden estocástico unidimensional habitual. se dice que es más pequeño que en orden superior o superior si
y es más pequeña que en orden inferior o anterior si
Los tres tipos de órdenes también tienen representaciones integrales, es decir, para una orden en particular. es más pequeña que si y solo si para todos en una clase de funciones . [2] Entonces se denomina generador de la orden respectiva.
Otras órdenes estocásticas
Orden de tasa de riesgo
La tasa de riesgo de una variable aleatoria no negativa con función de distribución absolutamente continua y función de densidad Se define como
Dadas dos variables no negativas y con distribución absolutamente continua y y con funciones de tasa de riesgo y , respectivamente, se dice que es más pequeño que en el orden de la tasa de riesgo (denotado como ) Si
- para todos ,
o equivalentemente si
- está disminuyendo en .
Orden de razón de verosimilitud
Dejar y dos variables aleatorias continuas (o discretas) con densidades (o densidades discretas) y , respectivamente, de modo que aumenta en sobre la unión de los apoyos de y ; en este caso, es más pequeña que en el orden de razón de verosimilitud ().
Orden de vida residual medio
Órdenes de variabilidad
Si dos variables tienen la misma media, aún se pueden comparar por la "dispersión" de sus distribuciones. Esto es capturado hasta cierto punto por la varianza , pero más completamente por una variedad de órdenes estocásticas. [ cita requerida ]
Orden convexo
El orden convexo es un tipo especial de orden de variabilidad. Bajo el orden convexo, es menos que si y solo si para todo convexo , .
Orden de transformación de Laplace
El orden de la transformada de Laplace compara el tamaño y la variabilidad de dos variables aleatorias. Similar al orden convexo, el orden de la transformada de Laplace se establece comparando la expectativa de una función de la variable aleatoria donde la función es de una clase especial:. Esto hace que el orden de la transformada de Laplace sea un orden estocástico integral con el grupo electrógeno dado por el conjunto de funciones definido anteriormente con un número real positivo.
Monotonicidad realizable
Considerando una familia de distribuciones de probabilidad en un espacio parcialmente ordenado indexado con (dónde es otro espacio parcialmente ordenado, se puede definir el concepto de monotonicidad completa o realizable. Es decir, existe una familia de variables aleatorias en el mismo espacio de probabilidad, de modo que la distribución de es y casi seguramente cuando sea . Significa la existencia de un acoplamiento monótono . Ver [3]
Ver también
- Dominio estocástico
- Estocástico - significado del término
Referencias
- M. Shaked y JG Shanthikumar, Órdenes estocásticas y sus aplicaciones , Associated Press, 1994.
- EL Lehmann. Familias ordenadas de distribuciones. The Annals of Mathematical Statistics , 26: 399–419, 1955.
- ^ https://www.mcgill.ca/files/economics/stochasticdominance.pdf
- ^ Alfred Müller, Dietrich Stoyan: métodos de comparación para modelos estocásticos y riesgos. Wiley, Chichester 2002, ISBN 0-471-49446-1 , S. 2.
- ^ Monotonicidad estocástica y monotonicidad realizable James Allen Fill y Motoya Machida, The Annals of Probability, vol. 29, No. 2 (abril de 2001), págs. 938-978, Publicado por: Instituto de Estadística Matemática, URL estable: https://www.jstor.org/stable/2691998