Integral de Stratonovich

En procesos estocásticos , la integral de Stratonovich (desarrollada simultáneamente por Ruslan Stratonovich y Donald Fisk ) es una integral estocástica , la alternativa más común a la integral Itô . Aunque la integral de Itô es la opción habitual en matemáticas aplicadas, la integral de Stratonovich se utiliza con frecuencia en física.

En algunas circunstancias, las integrales en la definición de Stratonovich son más fáciles de manipular. A diferencia del cálculo de Itô , las integrales de Stratonovich se definen de manera que se cumple la regla de la cadena del cálculo ordinario.

Quizás la situación más común en la que se encuentran es como la solución a las ecuaciones diferenciales estocásticas (SDE) de Stratonovich . Estos son equivalentes a Itô SDE y es posible convertir entre los dos siempre que una definición sea más conveniente.

Definición

La integral de Stratonovich se puede definir de manera similar a la integral de Riemann , es decir, como límite de las sumas de Riemann . Supongamos que es un proceso Wiener y es una semimartingale adaptada a la filtración natural del proceso Wiener. Entonces la integral de Stratonovich${\displaystyle W:[0,T]\times \Omega \to \mathbb {R} }$${\displaystyle X:[0,T]\times \Omega \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \int _{0}^{T}X_{t}\circ \mathrm {d} W_{t}}$

es una variable aleatoria definida como el límite en el cuadrado medio de ^[1]${\displaystyle :\Omega \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{k-1}{X_{t_{i+1}}+X_{t_{i}} \over 2}\left(W_{t_{i+1}}-W_{t_{i}}\right)}$

ya que la malla de la partición de tiende a 0 (al estilo de una integral de Riemann-Stieltjes ).${\displaystyle 0=t_{0}<t_{1}<\dots <t_{k}=T}$${\displaystyle [0,T]}$

Cálculo

Se pueden usar muchas técnicas de integración de cálculo ordinario para la integral de Stratonovich, por ejemplo: si f : R → R es una función suave, entonces

${\displaystyle \int _{0}^{T}f'(W_{t})\circ \mathrm {d} W_{t}=f(W_{T})-f(W_{0})}$

y más generalmente, si f : R × R → R es una función suave, entonces

${\displaystyle \int _{0}^{T}{\partial f \over \partial W}(W_{t},t)\circ \mathrm {d} W_{t}+\int _{0}^{T}{\partial f \over \partial t}(W_{t},t)\,\mathrm {d} t=f(W_{T},T)-f(W_{0},0).}$

Esta última regla es similar a la regla de la cadena del cálculo ordinario.

Métodos numéricos

Las integrales estocásticas rara vez se pueden resolver en forma analítica, lo que hace que la integración numérica estocástica sea un tema importante en todos los usos de las integrales estocásticas. Varias aproximaciones numéricas convergen a la integral de Stratonovich, y las variaciones de estas se utilizan para resolver las SDEs de Stratonovich ( Kloeden y Platen 1992 ). Sin embargo, tenga en cuenta que el esquema de Euler más utilizado (el método de Euler-Maruyama ) para la solución numérica de las ecuaciones de Langevin requiere que la ecuación esté en forma Itô. ^[2]

Notación diferencial

Si X _t , Y _t y Z _t son procesos estocásticos tales que

${\displaystyle X_{T}-X_{0}=\int _{0}^{T}Y_{t}\circ \mathrm {d} W_{t}+\int _{0}^{T}Z_{t}\,\mathrm {d} t}$

para todo T > 0, también escribimos

${\displaystyle \mathrm {d} X=Y\circ \mathrm {d} W+Z\,\mathrm {d} t.}$

Esta notación se utiliza a menudo para formular ecuaciones diferenciales estocásticas (SDE), que en realidad son ecuaciones sobre integrales estocásticas. Es compatible con la notación del cálculo ordinario, por ejemplo

${\displaystyle \mathrm {d} (t^{2}\,W^{3})=3t^{2}W^{2}\circ \mathrm {d} W+2tW^{3}\,\mathrm {d} t.}$

Comparación con la integral Itô

Artículo principal: cálculo de Itô

La integral Itô del proceso X con respecto al proceso de Wiener W se denota por

${\displaystyle \int _{0}^{T}X_{t}\,\mathrm {d} W_{t}}$

(sin el círculo). Para su definición, se utiliza el mismo procedimiento que el anterior en la definición de la integral de Stratonovich, excepto para elegir el valor del proceso en el extremo izquierdo de cada subintervalo, es decir${\displaystyle X}$

${\displaystyle X_{t_{i}}}$ en lugar de ${\displaystyle (X_{t_{i+1}}+X_{t_{i}})/2}$

Esta integral no obedece a la regla de la cadena ordinaria como lo hace la integral de Stratonovich; en su lugar, uno tiene que usar el lema de Itô, un poco más complicado .

La conversión entre las integrales de Itô y Stratonovich se puede realizar usando la fórmula

${\displaystyle \int _{0}^{T}f(W_{t},t)\circ \mathrm {d} W_{t}={\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}{\partial f \over \partial W}(W_{t},t)\,\mathrm {d} t+\int _{0}^{T}f(W_{t},t)\,\mathrm {d} W_{t},}$

donde f es cualquier función continuamente diferenciable de dos variables W y t y la última integral es una integral de Itô ( Kloeden y Platen 1992 , p. 101).

Las ecuaciones de Langevin ejemplifican la importancia de especificar la interpretación (Stratonovich o Itô) en un problema dado. Suponga que X _t es una difusión Itô homogénea en el tiempo con un coeficiente de difusión σ continuamente diferenciable , es decir, que satisface la SDE . Para obtener la versión correspondiente de Stratonovich, el término (en la interpretación de Itô) debe traducirse a (en la interpretación de Stratonovich) como ${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\mu (X_{t})\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t})\,\mathrm {d} W_{t}}$${\displaystyle \sigma (X_{t})\,\mathrm {d} W_{t}}$${\displaystyle \sigma (X_{t})\circ \mathrm {d} W_{t}}$

${\displaystyle \int _{0}^{T}\sigma (X_{t})\circ \mathrm {d} W_{t}={\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}{\frac {d\sigma }{dx}}(X_{t})\sigma (X_{t})\,\mathrm {d} t+\int _{0}^{T}\sigma (X_{t})\,\mathrm {d} W_{t}.}$

Obviamente, si es independiente de , las dos interpretaciones conducirán a la misma forma para la ecuación de Langevin. En ese caso, el término de ruido se denomina "aditivo" (ya que el término de ruido se multiplica por solo un coeficiente fijo). De lo contrario, si la ecuación de Langevin en la forma de Itô puede diferir en general de la de la forma de Stratonovich, en cuyo caso el término de ruido se llama multiplicativo (es decir, el ruido se multiplica por una función de eso es ).${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle X_{t}}$${\displaystyle dW_{t}}$${\displaystyle \sigma =\sigma (X_{t})}$${\displaystyle dW_{t}}$${\displaystyle X_{t}}$${\displaystyle \sigma (X_{t})}$

De manera más general, para dos semimartingales X e Y

${\displaystyle \int _{0}^{T}X_{s-}\circ \mathrm {d} Y_{s}=\int _{0}^{T}X_{s-}\,\mathrm {d} Y_{s}+{\frac {1}{2}}[X,Y]_{T}^{c},}$

donde es la parte continua de la covariación .${\displaystyle [X,Y]_{T}^{c}}$

Integrales de Stratonovich en aplicaciones

La integral de Stratonovich carece de la propiedad importante de la integral Itô, que no "mira hacia el futuro". En muchas aplicaciones del mundo real, como el modelado de precios de acciones, solo se tiene información sobre eventos pasados ​​y, por lo tanto, la interpretación de Itô es más natural. En matemáticas financieras se suele utilizar la interpretación de Itô.

En física, sin embargo, las integrales estocásticas ocurren como las soluciones de las ecuaciones de Langevin . Una ecuación de Langevin es una versión de grano grueso de un modelo más microscópico; dependiendo del problema en consideración, la interpretación de Stratonovich o Itô o incluso interpretaciones más exóticas como la interpretación isotérmica, son apropiadas. La interpretación de Stratonovich es la interpretación más utilizada dentro de las ciencias físicas.

El teorema de Wong-Zakai establece que los sistemas físicos con un espectro de ruido no blanco caracterizado por un tiempo de correlación de ruido finito τ pueden aproximarse mediante ecuaciones de Langevin con ruido blanco en la interpretación de Stratonovich en el límite donde τ tiende a cero. ^{[ cita requerida ]}

Debido a que el cálculo de Stratonovich satisface la regla de la cadena ordinaria, las ecuaciones diferenciales estocásticas (SDE) en el sentido de Stratonovich son más sencillas de definir en variedades diferenciables , en lugar de solo en R ⁿ . La complicada regla de la cadena del cálculo de Itô lo convierte en una elección más incómoda para las variedades.

Interpretación de Stratonovich y teoría supersimétrica de SDE

Artículo principal: teoría supersimétrica de la dinámica estocástica

En la teoría supersimétrica de SDE, al operador de evolución estocástica de tiempo finito se le da su significado matemático más natural del retroceso promediado estocásticamente inducido en el álgebra exterior del espacio de fase por los difeomorfismos definidos por SDE dependientes de la configuración de ruido. Este operador es único y corresponde a la interpretación de Stratonovich de SDE. Además, el enfoque de Stratonovich es equivalente a la convención de simetrización de Weyl necesaria para la desambiguación del operador de evolución estocástica durante la transición de la ruta integral a la representación de su operador. Además, en el apéndice de la Ref., ^[3]Se muestra que la argumentación generalizada que afirma que, a diferencia del enfoque de Ito, el enfoque de Stratonovich "mira" hacia el futuro es un concepto erróneo. Ninguno de los enfoques de SDE "mira" hacia el futuro. La única ventaja del enfoque Ito es que el cambio de coordenadas en cada paso de tiempo se da como una función explícita de la coordenada actual, mientras que todos los demás enfoques de SDE esta función es implícita. Esta ventaja, sin embargo, no tiene importancia matemática o física y, en consecuencia, el enfoque de Ito no tiene ninguna ventaja sobre, digamos, el enfoque de Stratonovich para las SDE. Al mismo tiempo, el uso del enfoque Ito conduce a un operador de evolución estocástica con el campo de vector de flujo desplazado en comparación con el del SDE original en consideración.

Notas

1. Gardiner (2004), p. 98 y el comentario de la p. 101
2. Pérez-Carrasco R .; Sancho JM (2010). "Algoritmos estocásticos para ruido blanco multiplicativo discontinuo" (PDF) . Phys. Rev. E . 81 (3): 032104. Código Bibliográfico : 2010PhRvE..81c2104P . doi : 10.1103 / PhysRevE.81.032104 . PMID  20365796 .
3. Ovchinnikov, IV (2016). "Introducción a la teoría supersimétrica de la estocástica". Entropía . 18 (4): 108. arXiv : 1511.03393 . Bibcode : 2016Entrp..18..108O . doi : 10.3390 / e18040108 .

Referencias

• Øksendal, Bernt K. (2003). Ecuaciones diferenciales estocásticas: una introducción con aplicaciones . Springer, Berlín. ISBN 3-540-04758-1.
• Gardiner, Crispin W. (2004). Manual de métodos estocásticos (3 ed.). Springer, Berlín Heidelberg. ISBN 3-540-20882-8.
• Jarrow, Robert; Protter, Philip (2004). "Una breve historia de la integración estocástica y las finanzas matemáticas: los primeros años, 1880-1970". Monografía IMS Lecture Notes . 45 : 1-17. CiteSeerX  10.1.1.114.632 .
• Kloeden, Peter E .; Platen, Eckhard (1992). Solución numérica de ecuaciones diferenciales estocásticas . Aplicaciones de las matemáticas. Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-54062-5..