En la teoría de la probabilidad , un proceso estocástico de valor real X se llama semimartingala si puede descomponerse como la suma de una martingala local y un proceso de variación finita adaptado. Los semimartingales son "buenos integradores", que forman la clase más grande de procesos con respecto a los cuales se pueden definir la integral de Itô y la integral de Stratonovich .
La clase de semimartingales es bastante grande (incluidos, por ejemplo, todos los procesos continuamente diferenciables, el movimiento browniano y los procesos de Poisson ). Las submartingales y las supermartingales juntas representan un subconjunto de las semimartingales.
Definición
Un proceso de valor real X definido en el espacio de probabilidad filtrado (Ω, F , ( F t ) t ≥ 0 , P) se llama semimartingala si se puede descomponer como
donde M es una martingala local y A es un proceso adaptado de càdlàg de variación delimitada localmente .
Un proceso valorado en R n X = ( X 1 ,…, X n ) es un semimartingale si cada uno de sus componentes X i es un semimartingale.
Definición alternativa
En primer lugar, los simples procesos predecibles se definen como combinaciones lineales de los procesos de la forma H t = A 1 { t > T } para tiempos de parada T y F T variables aleatorias -medibles A . La integral H · X para cualquier proceso predecible simple H y el proceso de valor real X es
Esta se extiende a todos los procesos predecibles simples por la linealidad de H · X en H .
Un proceso valorado real X es semimartingale si es càdlàg, adaptado, y para cada t ≥ 0,
está limitado en probabilidad. El teorema de Bichteler-Dellacherie establece que estas dos definiciones son equivalentes ( Protter 2004 , p. 144).
Ejemplos de
- Los procesos adaptados y continuamente diferenciables son procesos de variación finita y, por tanto, semimartingales.
- El movimiento browniano es una semimartingala.
- Todas las càdlàg martingales , submartingales y supermartingales son semimartingales.
- Los procesos de Itō , que satisfacen una ecuación diferencial estocástica de la forma dX = σdW + μdt, son semimartingales. Aquí, W es un movimiento browniano y σ, μ son procesos adaptados.
- Cada proceso de Lévy es una semimartingala.
Aunque la mayoría de los procesos continuos y adaptados estudiados en la literatura son semimartingales, no siempre es así.
- El movimiento browniano fraccional con el parámetro de Hurst H ≠ 1/2 no es una semimartingala.
Propiedades
- Las semimartingales forman la clase más grande de procesos para los que se puede definir la integral Itō .
- Las combinaciones lineales de semimartingales son semimartingales.
- Los productos de semimartingales son semimartingales, lo cual es una consecuencia de la fórmula de integración por partes para la integral Itō .
- La variación cuadrática existe para cada semimartingala.
- La clase de semimartingales se cierra bajo parada opcional , localización , cambio de hora y cambio de medida absolutamente continuo .
- Si X es una semimartingala valorada en R m yf es una función diferenciable dos veces continuamente de R m a R n , entonces f ( X ) es una semimartingala. Ésta es una consecuencia del lema de Itō .
- La propiedad de ser una semimartingala se conserva al reducirse la filtración. Más precisamente, si X es una semimartingala con respecto a la filtración F t , y está adaptada con respecto a la subfiltración G t , entonces X es una G t -semimartingala.
- (Expansión Contable de Jacod) La propiedad de ser una semimartingala se conserva al aumentar la filtración mediante un conjunto contable de conjuntos disjuntos. Suponga que F t es una filtración y G t es la filtración generada por F t y un conjunto contable de conjuntos medibles disjuntos. Entonces, cada F t -semimartingale es también un G t -semimartingale. ( Protter 2004 , pág.53 )
Descomposiciones Semimartingale
Por definición, cada semimartingala es una suma de una martingala local y un proceso de variación finita. Sin embargo, esta descomposición no es única.
Semimartingales continua
Una semimartingala continua se descompone de forma única como X = M + A, donde M es una martingala local continua y A es un proceso continuo de variación finita que comienza en cero. ( Rogers y Williams 1987 , p. 358)
Por ejemplo, si X es un proceso Itō que satisface la ecuación diferencial estocástica d X t = σ t d W t + b t dt, entonces
Semimartingales especiales
Una semimartingala especial es un proceso de valor real X con la descomposición X = M + A , donde M es una martingala local y A es un proceso de variación finita predecible que comienza en cero. Si existe esta descomposición, entonces es única hasta un conjunto P-nulo.
Cada semimartingala especial es una semimartingala. A la inversa, una semimartingala es una semimartingala especial si y solo si el proceso X t * ≡ sup s ≤ t | X s | es localmente integrable ( Protter 2004 , p. 130).
Por ejemplo, cada semimartingala continua es una semimartingala especial, en cuyo caso M y A son procesos continuos.
Semimartingales puramente discontinuas
Una semimartingala se llama puramente discontinua si su variación cuadrática [ X ] es un proceso de salto puro,
- .
Todo proceso de variación finita adaptado es una semimartingala puramente discontinua. Un proceso continuo es una semimartingale puramente discontinua si y solo si es un proceso de variación finita adaptado.
Entonces, cada semimartingala tiene la descomposición única X = M + A donde M es una martingala local continua y A es una semimartingala puramente discontinua que comienza en cero. La martingala local M - M 0 se llama la parte martingala continua de X , y se escribe X c ( He, Wang y Yan 1992 , p. 209; Kallenberg 2002 , p. 527).
En particular, si X es continuo, entonces M y A son continuos.
Semimartingales en un colector
El concepto de semimartingalas y la teoría asociada del cálculo estocástico se extiende a los procesos que toman valores en una variedad diferenciable . Un proceso de X en el colector M es un semimartingale si f ( X ) es un semimartingale para cada función suave f de M a R . ( Rogers 1987 , pág.24) El cálculo estocástico para semimartingales en variedades generales requiere el uso de la integral de Stratonovich .
Ver también
Referencias
- Él, Sheng-wu; Wang, Jia-gang; Yan, Jia-an (1992), Teoría de Semimartingale y cálculo estocástico , Science Press, CRC Press Inc., ISBN 0-8493-7715-3
- Kallenberg, Olav (2002), Fundamentos de la probabilidad moderna (2a ed.), Springer, ISBN 0-387-95313-2
- Protter, Philip E. (2004), Integración estocástica y ecuaciones diferenciales (2a ed.), Springer, ISBN 3-540-00313-4
- Rogers, LCG; Williams, David (1987), Difusiones, Procesos de Markov y Martingalas , 2 , John Wiley & Sons Ltd, ISBN 0-471-91482-7
- Karandikar, Rajeeva L .; Rao, BV (2018), Introducción al cálculo estocástico , Springer Ltd, ISBN 978-981-10-8317-4