Estrés resultantes

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Las tensiones resultantes son representaciones simplificadas del estado de tensión en elementos estructurales como vigas , placas o cubiertas . ^[1] La geometría de los elementos estructurales típicos permite simplificar el estado de tensión interna debido a la existencia de una dirección de "espesor" en la que el tamaño del elemento es mucho menor que en otras direcciones. Como consecuencia, los tres componentes de tracción que varían de un punto a otro en una sección transversal pueden reemplazarse con un conjunto de fuerzas resultantes y momentos resultantes. Estas son las tensiones resultantes (también llamadas fuerzas de membrana, fuerzas cortantes y momento flector ) que se pueden utilizar para determinar el estado de tensión detallado en el elemento estructural. Entonces, un problema tridimensional se puede reducir a un problema unidimensional (para vigas) o un problema bidimensional (para placas y conchas).

Las tensiones resultantes se definen como integrales de tensiones sobre el espesor de un elemento estructural. Las integrales se ponderan mediante potencias enteras en la coordenada de espesor z ( ox ₃ ). Las resultantes de la tensión se definen de esta manera para representar el efecto de la tensión como una fuerza de membrana N (potencia cero en z ), momento flector M (potencia 1) en una viga o armazón (estructura) . Las resultantes de la tensión son necesarias para eliminar la dependencia z de la tensión de las ecuaciones de la teoría de placas y capas.

Esfuerzos resultantes en vigas

Componentes de tensión en las superficies de un elemento estructural.

Considere el elemento que se muestra en la figura adyacente. Suponga que la dirección del espesor es x ₃ . Si el elemento se ha extraído de una viga, el ancho y el grosor son comparables en tamaño. Sea x ₂ la dirección del ancho. Entonces x ₁ es la dirección de la longitud.

Fuerzas de membrana y de cizallamiento

El vector de fuerza resultante debido a la tracción en la sección transversal ( A ) perpendicular al eje x ₁ es

${\displaystyle \mathbf {F} _{1}=\int _{A}(\sigma _{11}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{12}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{13}\mathbf {e} _{3})\,dA}$

donde e ₁ , e ₂ , e ₃ son los vectores unitarios a lo largo de x ₁ , x ₂ y x ₃ , respectivamente. Definimos la tensión resultante de tal manera que

${\displaystyle \mathbf {F} _{1}=:N_{11}\mathbf {e} _{1}+V_{2}\mathbf {e} _{2}+V_{3}\mathbf {e} _{3}}$

donde N ₁₁ es la fuerza de la membrana y V ₂ , V ₃ son las fuerzas cortantes. Más explícitamente, para una viga de altura ty ancho b ,

${\displaystyle N_{11}=\int _{-b/2}^{b/2}\int _{-t/2}^{t/2}\sigma _{11}\,dx_{3}\,dx_{2}\,.}$

De manera similar, las resultantes de la fuerza cortante son

${\displaystyle {\begin{bmatrix}V_{2}\\V_{3}\end{bmatrix}}=\int _{-b/2}^{b/2}\int _{-t/2}^{t/2}{\begin{bmatrix}\sigma _{12}\\\sigma _{13}\end{bmatrix}}\,dx_{3}\,dx_{2}\,.}$

Momentos de flexión

El vector del momento flector debido a las tensiones en la sección transversal A perpendicular al eje x ₁ está dado por

${\displaystyle \mathbf {M} _{1}=\int _{A}\mathbf {r} \times (\sigma _{11}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{12}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{13}\mathbf {e} _{3})\,dA\quad {\text{where}}\quad \mathbf {r} =x_{2}\,\mathbf {e} _{2}+x_{3}\,\mathbf {e} _{3}\,.}$

Ampliando esta expresión tenemos,

${\displaystyle \mathbf {M} _{1}=\int _{A}\left(-x_{2}\sigma _{11}\mathbf {e} _{3}+x_{2}\sigma _{13}\mathbf {e} _{1}+x_{3}\sigma _{11}\mathbf {e} _{2}-x_{3}\sigma _{12}\mathbf {e} _{1}\right)dA=:M_{11}\,\mathbf {e} _{1}+M_{12}\,\mathbf {e} _{2}+M_{13}\,\mathbf {e} _{3}\,.}$

Podemos escribir las componentes resultantes del momento flector como

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{12}\\M_{13}\end{bmatrix}}:=\int _{-b/2}^{b/2}\int _{-t/2}^{t/2}{\begin{bmatrix}x_{2}\sigma _{13}-x_{3}\sigma _{12}\\x_{3}\sigma _{11}\\-x_{2}\sigma _{11}\end{bmatrix}}\,dx_{3}\,dx_{2}\,.}$

Estrés resultantes en placas y conchas.

Para placas y carcasas, las dimensiones x ₁ y x ₂ son mucho más grandes que el tamaño en la dirección x ₃ . La integración sobre el área de la sección transversal tendría que incluir una de las dimensiones más grandes y conduciría a un modelo que es demasiado simple para cálculos prácticos. Por esta razón, las tensiones solo se integran a través del espesor y las tensiones resultantes se expresan típicamente en unidades de fuerza por unidad de longitud (o momento por unidad de longitud ) en lugar de la fuerza y ​​el momento verdaderos como es el caso de las vigas.

Fuerzas de membrana y de cizallamiento

Para placas y conchas debemos considerar dos secciones transversales. El primero es perpendicular al eje x ₁ y el segundo es perpendicular al eje x ₂ . Siguiendo el mismo procedimiento que para las vigas, y teniendo en cuenta que las resultantes ahora son por unidad de longitud, tenemos

${\displaystyle \mathbf {F} _{1}=\int _{-t/2}^{t/2}(\sigma _{11}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{12}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{13}\mathbf {e} _{3})\,dx_{3}\quad {\text{and}}\quad \mathbf {F} _{2}=\int _{-t/2}^{t/2}(\sigma _{12}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{22}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{23}\mathbf {e} _{3})\,dx_{3}}$

Podemos escribir lo anterior como

${\displaystyle \mathbf {F} _{1}=N_{11}\mathbf {e} _{1}+N_{12}\mathbf {e} _{2}+V_{1}\mathbf {e} _{3}\quad {\text{and}}\quad \mathbf {F} _{2}=N_{12}\mathbf {e} _{1}+N_{22}\mathbf {e} _{2}+V_{2}\mathbf {e} _{3}}$

donde las fuerzas de la membrana se definen como

${\displaystyle {\begin{bmatrix}N_{11}\\N_{22}\\N_{12}\end{bmatrix}}:=\int _{-t/2}^{t/2}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,dx_{3}}$

y las fuerzas cortantes se definen como

${\displaystyle {\begin{bmatrix}V_{1}\\V_{2}\end{bmatrix}}=\int _{-t/2}^{t/2}{\begin{bmatrix}\sigma _{13}\\\sigma _{23}\end{bmatrix}}\,dx_{3}\,.}$

Momentos de flexión

Para las resultantes del momento flector, tenemos

${\displaystyle \mathbf {M} _{1}=\int _{-t/2}^{t/2}\mathbf {r} \times (\sigma _{11}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{12}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{13}\mathbf {e} _{3})\,dx_{3}\quad {\text{and}}\quad \mathbf {M} _{2}=\int _{-t/2}^{t/2}\mathbf {r} \times (\sigma _{12}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{22}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{23}\mathbf {e} _{3})\,dx_{3}}$

donde r = x ₃ e ₃ . Ampliando estas expresiones tenemos,

${\displaystyle \mathbf {M} _{1}=\int _{-t/2}^{t/2}[-x_{3}\sigma _{12}\mathbf {e} _{1}+x_{3}\sigma _{11}\mathbf {e} _{2}]\,dx_{3}\quad {\text{and}}\quad \mathbf {M} _{2}=\int _{-t/2}^{t/2}[-x_{3}\sigma _{22}\mathbf {e} _{1}+x_{3}\sigma _{12}\mathbf {e} _{2}]\,dx_{3}}$

Defina las resultantes del momento flector de modo que

${\displaystyle \mathbf {M} _{1}=:-M_{12}\mathbf {e} _{1}+M_{11}\mathbf {e} _{2}\quad {\text{and}}\quad \mathbf {M} _{2}=:-M_{22}\mathbf {e} _{1}+M_{12}\mathbf {e} _{2}\,.}$

Entonces, las resultantes del momento flector están dadas por

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}:=\int _{-t/2}^{t/2}x_{3}\,{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,dx_{3}\,.}$

Estos son los resultados que se encuentran a menudo en la literatura, pero se debe tener cuidado para asegurarse de que los signos se interpreten correctamente.

Ver también

• Fuerza de corte
• Momento de flexión
• Teoría de la placa
• Doblado de placas
• Teoría de la placa de Kirchhoff-Love
• Teoría de la placa de Mindlin-Reissner
• Vibración de placas

Referencias

1. Barbero, Ever J. (2010). Introducción al diseño de materiales compuestos . Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1-4200-7915-9.