Fuerzas y momentos sobre un plato plano.
Definiciones Para una placa rectangular delgada de espesor H {\ Displaystyle H} , Módulo de Young mi {\ Displaystyle E} y la relación de Poisson ν {\ Displaystyle \ nu} , podemos definir parámetros en términos de la deflexión de la placa, w {\ Displaystyle w} .
La rigidez a la flexión viene dada por
D = mi H 3 12 ( 1 - ν 2 ) {\ Displaystyle D = {\ frac {EH ^ {3}} {12 \ left (1- \ nu ^ {2} \ right)}}} Momentos Los momentos flectores por unidad de longitud vienen dados por
METRO X = - D ( ∂ 2 w ∂ X 2 + ν ∂ 2 w ∂ y 2 ) {\ Displaystyle M_ {x} = - D \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial x ^ {2}}} + \ nu {\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ y parcial ^ {2}}} \ derecha)} METRO y = - D ( ν ∂ 2 w ∂ X 2 + ∂ 2 w ∂ y 2 ) {\ Displaystyle M_ {y} = - D \ left (\ nu {\ frac {\ parcial ^ {2} w} {\ parcial x ^ {2}}} + {\ frac {\ parcial ^ {2} w} {\ y parcial ^ {2}}} \ derecha)} El momento de torsión por unidad de longitud viene dado por
METRO X y = - D ( 1 - ν ) ∂ 2 w ∂ X ∂ y {\ Displaystyle M_ {xy} = - D \ left (1- \ nu \ right) {\ frac {\ parcial ^ {2} w} {\ parcial x \ parcial y}}} Efectivo Las fuerzas cortantes por unidad de longitud están dadas por
Q X = - D ∂ ∂ X ( ∂ 2 w ∂ X 2 + ∂ 2 w ∂ y 2 ) {\ Displaystyle Q_ {x} = - D {\ frac {\ parcial} {\ parcial x}} \ izquierda ({\ frac {\ parcial ^ {2} w} {\ parcial x ^ {2}}} + { \ frac {\ parcial ^ {2} w} {\ parcial y ^ {2}}} \ derecha)} Q y = - D ∂ ∂ y ( ∂ 2 w ∂ X 2 + ∂ 2 w ∂ y 2 ) {\ Displaystyle Q_ {y} = - D {\ frac {\ parcial} {\ y parcial}} \ izquierda ({\ frac {\ parcial ^ {2} w} {\ parcial x ^ {2}}} + { \ frac {\ parcial ^ {2} w} {\ parcial y ^ {2}}} \ derecha)} Destaca Las tensiones de flexión vienen dadas por
σ X = - 12 D z H 3 ( ∂ 2 w ∂ X 2 + ν ∂ 2 w ∂ y 2 ) {\ Displaystyle \ sigma _ {x} = - {\ frac {12Dz} {H ^ {3}}} \ left ({\ frac {\ parcial ^ {2} w} {\ parcial x ^ {2}}} + \ nu {\ frac {\ parcial ^ {2} w} {\ parcial y ^ {2}}} \ derecha)} σ y = - 12 D z H 3 ( ν ∂ 2 w ∂ X 2 + ∂ 2 w ∂ y 2 ) {\ Displaystyle \ sigma _ {y} = - {\ frac {12Dz} {H ^ {3}}} \ left (\ nu {\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial x ^ {2} }} + {\ frac {\ parcial ^ {2} w} {\ parcial y ^ {2}}} \ derecha)} El esfuerzo cortante viene dado por
τ X y = - 12 D z H 3 ( 1 - ν ) ∂ 2 w ∂ X ∂ y {\ Displaystyle \ tau _ {xy} = - {\ frac {12Dz} {H ^ {3}}} \ izquierda (1- \ nu \ derecha) {\ frac {\ parcial ^ {2} w} {\ parcial x \ y parcial}}} Son Las deformaciones por flexión para la teoría de deflexión pequeña están dadas por
ϵ X = ∂ tu ∂ X = - z ∂ 2 w ∂ X 2 {\ Displaystyle \ epsilon _ {x} = {\ frac {\ parcial u} {\ parcial x}} = - z {\ frac {\ parcial ^ {2} w} {\ parcial x ^ {2}}}} ϵ y = ∂ v ∂ y = - z ∂ 2 w ∂ y 2 {\ Displaystyle \ epsilon _ {y} = {\ frac {\ parcial v} {\ parcial y}} = - z {\ frac {\ parcial ^ {2} w} {\ parcial y ^ {2}}}} La deformación cortante para la teoría de deflexión pequeña está dada por
γ X y = ∂ tu ∂ y + ∂ v ∂ X = - 2 z ∂ 2 w ∂ X ∂ y {\ Displaystyle \ gamma _ {xy} = {\ frac {\ parcial u} {\ parcial y}} + {\ frac {\ parcial v} {\ parcial x}} = - 2z {\ frac {\ parcial ^ { 2} w} {\ parcial x \ parcial y}}} Para la teoría de placas de gran deflexión, consideramos la inclusión de deformaciones de membrana
ϵ X = ∂ tu ∂ X + 1 2 ( ∂ w ∂ X ) 2 {\ Displaystyle \ epsilon _ {x} = {\ frac {\ parcial u} {\ parcial x}} + {\ frac {1} {2}} \ izquierda ({\ frac {\ parcial w} {\ parcial x }} \ derecha) ^ {2}} ϵ y = ∂ v ∂ y + 1 2 ( ∂ w ∂ y ) 2 {\ Displaystyle \ epsilon _ {y} = {\ frac {\ parcial v} {\ parcial y}} + {\ frac {1} {2}} \ izquierda ({\ frac {\ parcial w} {\ parcial y }} \ derecha) ^ {2}} γ X y = ∂ tu ∂ y + ∂ v ∂ X + ∂ w ∂ X ∂ w ∂ y {\ Displaystyle \ gamma _ {xy} = {\ frac {\ parcial u} {\ parcial y}} + {\ frac {\ parcial v} {\ parcial x}} + {\ frac {\ parcial w} {\ parcial x}} {\ frac {\ parcial w} {\ parcial y}}} Deflexiones Las deflexiones están dadas por
tu = - z ∂ w ∂ X {\ Displaystyle u = -z {\ frac {\ parcial w} {\ parcial x}}} v = - z ∂ w ∂ y {\ Displaystyle v = -z {\ frac {\ parcial w} {\ parcial y}}} Derivación En la teoría de las placas de Kirchhoff-Love para placas, las ecuaciones que gobiernan son [1]
norte α β , α = 0 {\ Displaystyle N _ {\ alpha \ beta, \ alpha} = 0} y
METRO α β , α β - q = 0 {\ Displaystyle M _ {\ alpha \ beta, \ alpha \ beta} -q = 0} En forma expandida,
∂ norte 11 ∂ X 1 + ∂ norte 21 ∂ X 2 = 0 ; ∂ norte 12 ∂ X 1 + ∂ norte 22 ∂ X 2 = 0 {\ Displaystyle {\ cfrac {\ parcial N_ {11}} {\ parcial x_ {1}}} + {\ cfrac {\ parcial N_ {21}} {\ parcial x_ {2}}} = 0 ~; ~~ {\ cfrac {\ parcial N_ {12}} {\ parcial x_ {1}}} + {\ cfrac {\ parcial N_ {22}} {\ parcial x_ {2}}} = 0} y
∂ 2 METRO 11 ∂ X 1 2 + 2 ∂ 2 METRO 12 ∂ X 1 ∂ X 2 + ∂ 2 METRO 22 ∂ X 2 2 = q {\ Displaystyle {\ cfrac {\ Particular ^ {2} M_ {11}} {\ Particular x_ {1} ^ {2}}} + 2 {\ cfrac {\ Particular ^ {2} M_ {12}} {\ Parcial x_ {1} \ Parcial x_ {2}}} + {\ cfrac {\ Parcial ^ {2} M_ {22}} {\ Parcial x_ {2} ^ {2}}} = q} dónde q ( X ) {\ Displaystyle q (x)} es una carga transversal aplicada por unidad de área, el espesor de la placa es H = 2 h {\ Displaystyle H = 2h} , las tensiones son σ I j {\ Displaystyle \ sigma _ {ij}} , y
norte α β : = ∫ - h h σ α β D X 3 ; METRO α β : = ∫ - h h X 3 σ α β D X 3 . {\ Displaystyle N _ {\ alpha \ beta}: = \ int _ {- h} ^ {h} \ sigma _ {\ alpha \ beta} ~ dx_ {3} ~; ~~ M _ {\ alpha \ beta}: = \ int _ {- h} ^ {h} x_ {3} ~ \ sigma _ {\ alpha \ beta} ~ dx_ {3} ~.} La cantidad norte {\ Displaystyle N} tiene unidades de fuerza por unidad de longitud. La cantidad METRO {\ Displaystyle M} tiene unidades de momento por unidad de longitud.
Para placas isotrópicas y homogéneas con módulo de Young mi {\ Displaystyle E} y la relación de Poisson ν {\ Displaystyle \ nu} estas ecuaciones se reducen a [2]
∇ 2 ∇ 2 w = - q D ; D : = 2 h 3 mi 3 ( 1 - ν 2 ) = H 3 mi 12 ( 1 - ν 2 ) {\ Displaystyle \ nabla ^ {2} \ nabla ^ {2} w = - {\ cfrac {q} {D}} ~; ~~ D: = {\ cfrac {2h ^ {3} E} {3 (1 - \ nu ^ {2})}} = {\ cfrac {H ^ {3} E} {12 (1- \ nu ^ {2})}}} dónde w ( X 1 , X 2 ) {\ Displaystyle w (x_ {1}, x_ {2})} es la deflexión de la superficie media de la placa.
Pequeña deflexión de placas rectangulares delgadas Esto se rige por la ecuación de la placa de Germain - Lagrange .
∂ 4 w ∂ X 4 + 2 ∂ 4 w ∂ X 2 ∂ y 2 + ∂ 4 w ∂ y 4 = q D {\ displaystyle {\ cfrac {\ parcial ^ {4} w} {\ parcial x ^ {4}}} + 2 {\ cfrac {\ parcial ^ {4} w} {\ parcial x ^ {2} \ parcial y ^ {2}}} + {\ cfrac {\ parcial ^ {4} w} {\ parcial y ^ {4}}} = {\ cfrac {q} {D}}} Esta ecuación fue derivada por primera vez por Lagrange en diciembre de 1811 al corregir el trabajo de Germain, quien proporcionó la base de la teoría.
Gran deflexión de placas rectangulares delgadas Esto se rige por las ecuaciones de placas de Föppl - von Kármán .
∂ 4 F ∂ X 4 + 2 ∂ 4 F ∂ X 2 ∂ y 2 + ∂ 4 F ∂ y 4 = mi [ ( ∂ 2 w ∂ X ∂ y ) 2 - ∂ 2 w ∂ X 2 ∂ 2 w ∂ y 2 ] {\ displaystyle {\ cfrac {\ parcial ^ {4} F} {\ parcial x ^ {4}}} + 2 {\ cfrac {\ parcial ^ {4} F} {\ parcial x ^ {2} \ parcial y ^ {2}}} + {\ cfrac {\ parcial ^ {4} F} {\ parcial y ^ {4}}} = E \ izquierda [\ izquierda ({\ cfrac {\ parcial ^ {2} w} { \ parcial x \ parcial y}} \ derecha) ^ {2} - {\ cfrac {\ parcial ^ {2} w} {\ parcial x ^ {2}}} {\ cfrac {\ parcial ^ {2} w} {\ y parcial ^ {2}}} \ derecha]} ∂ 4 w ∂ X 4 + 2 ∂ 4 w ∂ X 2 ∂ y 2 + ∂ 4 w ∂ y 4 = q D + H D ( ∂ 2 F ∂ y 2 ∂ 2 w ∂ X 2 + ∂ 2 F ∂ X 2 ∂ 2 w ∂ y 2 - 2 ∂ 2 F ∂ X ∂ y ∂ 2 w ∂ X ∂ y ) {\ displaystyle {\ cfrac {\ parcial ^ {4} w} {\ parcial x ^ {4}}} + 2 {\ cfrac {\ parcial ^ {4} w} {\ parcial x ^ {2} \ parcial y ^ {2}}} + {\ cfrac {\ parcial ^ {4} w} {\ parcial y ^ {4}}} = {\ cfrac {q} {D}} + {\ cfrac {H} {D} } \ left ({\ cfrac {\ parcial ^ {2} F} {\ parcial y ^ {2}}} {\ cfrac {\ parcial ^ {2} w} {\ parcial x ^ {2}}} + { \ cfrac {\ parcial ^ {2} F} {\ parcial x ^ {2}}} {\ cfrac {\ parcial ^ {2} w} {\ parcial y ^ {2}}} - 2 {\ cfrac {\ parcial ^ {2} F} {\ parcial x \ parcial y}} {\ cfrac {\ parcial ^ {2} w} {\ parcial x \ parcial y}} \ derecha)} dónde F {\ Displaystyle F} es la función de estrés.
La flexión de placas circulares se puede examinar resolviendo la ecuación gobernante con las condiciones de contorno adecuadas. Estas soluciones fueron encontradas por primera vez por Poisson en 1829. Las coordenadas cilíndricas son convenientes para tales problemas. Aquí z {\ Displaystyle z} es la distancia de un punto al plano medio de la placa.
La ecuación gobernante en forma libre de coordenadas es
∇ 2 ∇ 2 w = - q D . {\ Displaystyle \ nabla ^ {2} \ nabla ^ {2} w = - {\ frac {q} {D}} \ ,.} En coordenadas cilíndricas ( r , θ , z ) {\ Displaystyle (r, \ theta, z)} ,
∇ 2 w ≡ 1 r ∂ ∂ r ( r ∂ w ∂ r ) + 1 r 2 ∂ 2 w ∂ θ 2 + ∂ 2 w ∂ z 2 . {\ estilo de visualización \ nabla ^ {2} w \ equiv {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ parcial} {\ parcial r}} \ izquierda (r {\ frac {\ parcial w} {\ parcial r}} \ derecha) + {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ parcial ^ {2} w} {\ parcial \ theta ^ {2}}} + {\ frac {\ parcial ^ {2} w} {\ parcial z ^ {2}}} \ ,.} Para placas circulares cargadas simétricamente, w = w ( r ) {\ Displaystyle w = w (r)} , y tenemos
∇ 2 w ≡ 1 r D D r ( r D w D r ) . {\ Displaystyle \ nabla ^ {2} w \ equiv {\ frac {1} {r}} {\ cfrac {d} {dr}} \ left (r {\ cfrac {dw} {dr}} \ right) \ ,.} Por lo tanto, la ecuación gobernante es
1 r D D r [ r D D r { 1 r D D r ( r D w D r ) } ] = - q D . {\ displaystyle {\ frac {1} {r}} {\ cfrac {d} {dr}} \ left [r {\ cfrac {d} {dr}} \ left \ {{\ frac {1} {r} } {\ cfrac {d} {dr}} \ left (r {\ cfrac {dw} {dr}} \ right) \ right \} \ right] = - {\ frac {q} {D}} \ ,. } Si q {\ Displaystyle q} y D {\ Displaystyle D} son constantes, la integración directa de la ecuación gobernante nos da
w ( r ) = - q r 4 64 D + C 1 en r + C 2 r 2 2 + C 3 r 2 4 ( 2 en r - 1 ) + C 4 {\ Displaystyle w (r) = - {\ frac {qr ^ {4}} {64D}} + C_ {1} \ ln r + {\ cfrac {C_ {2} r ^ {2}} {2}} + {\ cfrac {C_ {3} r ^ {2}} {4}} (2 \ ln r-1) + C_ {4}} dónde C I {\ Displaystyle C_ {i}} son constantes. La pendiente de la superficie de deflexión es
ϕ ( r ) = D w D r = - q r 3 dieciséis D + C 1 r + C 2 r + C 3 r en r . {\ Displaystyle \ phi (r) = {\ cfrac {dw} {dr}} = - {\ frac {qr ^ {3}} {16D}} + {\ frac {C_ {1}} {r}} + C_ {2} r + C_ {3} r \ ln r \ ,.} Para una placa circular, el requisito de que la deflexión y la pendiente de la deflexión sean finitas en r = 0 {\ Displaystyle r = 0} implica que C 1 = 0 {\ Displaystyle C_ {1} = 0} . Sin embargo, C 3 {\ Displaystyle C_ {3}} no necesita ser igual a 0, ya que el límite de r en r {\ Displaystyle r \ ln r \,} existe a medida que te acercas r = 0 {\ Displaystyle r = 0} desde la derecha.
Bordes sujetos Para una placa circular con bordes sujetos, tenemos w ( a ) = 0 {\ Displaystyle w (a) = 0} y ϕ ( a ) = 0 {\ Displaystyle \ phi (a) = 0} en el borde de la placa (radio a {\ Displaystyle a} ). Usando estas condiciones de contorno obtenemos
w ( r ) = - q 64 D ( a 2 - r 2 ) 2 y ϕ ( r ) = q r dieciséis D ( a 2 - r 2 ) . {\ Displaystyle w (r) = - {\ frac {q} {64D}} (a ^ {2} -r ^ {2}) ^ {2} \ quad {\ text {y}} \ quad \ phi ( r) = {\ frac {qr} {16D}} (a ^ {2} -r ^ {2}) \ ,.} Los desplazamientos en el plano de la placa son
tu r ( r ) = - z ϕ ( r ) y tu θ ( r ) = 0 . {\ Displaystyle u_ {r} (r) = - z \ phi (r) \ quad {\ text {y}} \ quad u _ {\ theta} (r) = 0 \ ,.} Las deformaciones en el plano en la placa son
ε r r = D tu r D r = - q z dieciséis D ( a 2 - 3 r 2 ) , ε θ θ = tu r r = - q z dieciséis D ( a 2 - r 2 ) , ε r θ = 0 . {\ displaystyle \ varepsilon _ {rr} = {\ cfrac {du_ {r}} {dr}} = - {\ frac {qz} {16D}} (a ^ {2} -3r ^ {2}) ~, ~~ \ varepsilon _ {\ theta \ theta} = {\ frac {u_ {r}} {r}} = - {\ frac {qz} {16D}} (a ^ {2} -r ^ {2}) ~, ~~ \ varepsilon _ {r \ theta} = 0 \ ,.} Las tensiones en el plano en la placa son
σ r r = mi 1 - ν 2 [ ε r r + ν ε θ θ ] ; σ θ θ = mi 1 - ν 2 [ ε θ θ + ν ε r r ] ; σ r θ = 0 . {\ Displaystyle \ sigma _ {rr} = {\ frac {E} {1- \ nu ^ {2}}} \ left [\ varepsilon _ {rr} + \ nu \ varepsilon _ {\ theta \ theta} \ right ] ~; ~~ \ sigma _ {\ theta \ theta} = {\ frac {E} {1- \ nu ^ {2}}} \ left [\ varepsilon _ {\ theta \ theta} + \ nu \ varepsilon _ {rr} \ right] ~; ~~ \ sigma _ {r \ theta} = 0 \ ,.} Para una placa de espesor 2 h {\ Displaystyle 2h} , la rigidez a la flexión es D = 2 mi h 3 / [ 3 ( 1 - ν 2 ) ] {\ displaystyle D = 2Eh ^ {3} / [3 (1- \ nu ^ {2})]} y tenemos
σ r r = - 3 q z 32 h 3 [ ( 1 + ν ) a 2 - ( 3 + ν ) r 2 ] σ θ θ = - 3 q z 32 h 3 [ ( 1 + ν ) a 2 - ( 1 + 3 ν ) r 2 ] σ r θ = 0 . {\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ sigma _ {rr} & = - {\ frac {3qz} {32h ^ {3}}} \ left [(1+ \ nu) a ^ {2} - (3+ \ nu) r ^ {2} \ right] \\\ sigma _ {\ theta \ theta} & = - {\ frac {3qz} {32h ^ {3}}} \ left [(1+ \ nu) a ^ {2} - (1 + 3 \ nu) r ^ {2} \ right] \\\ sigma _ {r \ theta} & = 0 \,. \ End {alineado}}} Los momentos resultantes (momentos flectores) son
METRO r r = - q dieciséis [ ( 1 + ν ) a 2 - ( 3 + ν ) r 2 ] ; METRO θ θ = - q dieciséis [ ( 1 + ν ) a 2 - ( 1 + 3 ν ) r 2 ] ; METRO r θ = 0 . {\ Displaystyle M_ {rr} = - {\ frac {q} {16}} \ left [(1+ \ nu) a ^ {2} - (3+ \ nu) r ^ {2} \ right] ~; ~~ M _ {\ theta \ theta} = - {\ frac {q} {16}} \ left [(1+ \ nu) a ^ {2} - (1 + 3 \ nu) r ^ {2} \ right ] ~; ~~ M_ {r \ theta} = 0 \ ,.} La tensión radial máxima está en z = h {\ Displaystyle z = h} y r = a {\ Displaystyle r = a} :
σ r r | z = h , r = a = 3 q a 2 dieciséis h 2 = 3 q a 2 4 H 2 {\ Displaystyle \ left. \ sigma _ {rr} \ right | _ {z = h, r = a} = {\ frac {3qa ^ {2}} {16h ^ {2}}} = {\ frac {3qa ^ {2}} {4H ^ {2}}}} dónde H : = 2 h {\ Displaystyle H: = 2h} . Los momentos flectores en el límite y el centro de la placa son
METRO r r | r = a = q a 2 8 , METRO θ θ | r = a = ν q a 2 8 , METRO r r | r = 0 = METRO θ θ | r = 0 = - ( 1 + ν ) q a 2 dieciséis . {\ Displaystyle \ left.M_ {rr} \ right | _ {r = a} = {\ frac {qa ^ {2}} {8}} ~, ~~ \ left.M _ {\ theta \ theta} \ right | _ {r = a} = {\ frac {\ nu qa ^ {2}} {8}} ~, ~~ \ left.M_ {rr} \ right | _ {r = 0} = \ left.M_ { \ theta \ theta} \ right | _ {r = 0} = - {\ frac {(1+ \ nu) qa ^ {2}} {16}} \ ,.}
Doblado de una placa rectangular bajo la acción de una fuerza distribuida
q {\ Displaystyle q} por unidad de área.
Para las placas rectangulares, Navier en 1820 introdujo un método simple para encontrar el desplazamiento y la tensión cuando una placa simplemente se apoya. La idea era expresar la carga aplicada en términos de componentes de Fourier, encontrar la solución para una carga sinusoidal (un solo componente de Fourier) y luego superponer los componentes de Fourier para obtener la solución para una carga arbitraria.
Carga sinusoidal Supongamos que la carga tiene la forma
q ( X , y ) = q 0 pecado π X a pecado π y B . {\ Displaystyle q (x, y) = q_ {0} \ sin {\ frac {\ pi x} {a}} \ sin {\ frac {\ pi y} {b}} \ ,.} Aquí q 0 {\ Displaystyle q_ {0}} es la amplitud, a {\ Displaystyle a} es el ancho de la placa en el X {\ Displaystyle x} -dirección, y B {\ Displaystyle b} es el ancho de la placa en el y {\ Displaystyle y} -dirección.
Dado que la placa se apoya simplemente, el desplazamiento w ( X , y ) {\ Displaystyle w (x, y)} a lo largo de los bordes de la placa es cero, el momento flector METRO X X {\ Displaystyle M_ {xx}} es cero en X = 0 {\ Displaystyle x = 0} y X = a {\ Displaystyle x = a} , y METRO y y {\ Displaystyle M_ {yy}} es cero en y = 0 {\ Displaystyle y = 0} y y = B {\ Displaystyle y = b} .
Si aplicamos estas condiciones de contorno y resolvemos la ecuación de la placa, obtenemos la solución
w ( X , y ) = q 0 π 4 D ( 1 a 2 + 1 B 2 ) - 2 pecado π X a pecado π y B . {\ Displaystyle w (x, y) = {\ frac {q_ {0}} {\ pi ^ {4} D}} \, \ left ({\ frac {1} {a ^ {2}}} + { \ frac {1} {b ^ {2}}} \ right) ^ {- 2} \, \ sin {\ frac {\ pi x} {a}} \ sin {\ frac {\ pi y} {b} } \ ,.} Donde D es la rigidez a la flexión
D = mi t 3 12 ( 1 - ν 2 ) {\ Displaystyle D = {\ frac {Et ^ {3}} {12 (1- \ nu ^ {2})}}} Análogo a la rigidez a flexión EI. [3] Podemos calcular las tensiones y deformaciones en la placa una vez que conocemos el desplazamiento.
Para una carga más general del formulario
q ( X , y ) = q 0 pecado metro π X a pecado norte π y B {\ Displaystyle q (x, y) = q_ {0} \ sin {\ frac {m \ pi x} {a}} \ sin {\ frac {n \ pi y} {b}}} dónde metro {\ Displaystyle m} y norte {\ Displaystyle n} son enteros, obtenemos la solución
(1) w ( X , y ) = q 0 π 4 D ( metro 2 a 2 + norte 2 B 2 ) - 2 pecado metro π X a pecado norte π y B . {\ Displaystyle {\ text {(1)}} \ qquad w (x, y) = {\ frac {q_ {0}} {\ pi ^ {4} D}} \, \ left ({\ frac {m ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {n ^ {2}} {b ^ {2}}} \ right) ^ {- 2} \, \ sin {\ frac {m \ pi x} {a}} \ sin {\ frac {n \ pi y} {b}} \ ,.} Solución Navier Ecuación de serie trigonométrica doble Definimos una carga general q ( X , y ) {\ Displaystyle q (x, y)} de la siguiente forma
q ( X , y ) = ∑ metro = 1 ∞ ∑ norte = 1 ∞ a metro norte pecado metro π X a pecado norte π y B {\ Displaystyle q (x, y) = \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {mn} \ sin {\ frac {m \ pi x } {a}} \ sin {\ frac {n \ pi y} {b}}} dónde a metro norte {\ Displaystyle a_ {mn}} es un coeficiente de Fourier dado por
a metro norte = 4 a B ∫ 0 B ∫ 0 a q ( X , y ) pecado metro π X a pecado norte π y B D X D y {\ Displaystyle a_ {mn} = {\ frac {4} {ab}} \ int _ {0} ^ {b} \ int _ {0} ^ {a} q (x, y) \ sin {\ frac { m \ pi x} {a}} \ sin {\ frac {n \ pi y} {b}} \, {\ text {d}} x {\ text {d}} y} . La ecuación clásica de la placa rectangular para pequeñas deflexiones se convierte así:
∂ 4 w ∂ X 4 + 2 ∂ 4 w ∂ X 2 ∂ y 2 + ∂ 4 w ∂ y 4 = 1 D ∑ metro = 1 ∞ ∑ norte = 1 ∞ a metro norte pecado metro π X a pecado norte π y B {\ displaystyle {\ cfrac {\ parcial ^ {4} w} {\ parcial x ^ {4}}} + 2 {\ cfrac {\ parcial ^ {4} w} {\ parcial x ^ {2} \ parcial y ^ {2}}} + {\ cfrac {\ parcial ^ {4} w} {\ parcial y ^ {4}}} = {\ cfrac {1} {D}} \ sum _ {m = 1} ^ { \ infty} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {mn} \ sin {\ frac {m \ pi x} {a}} \ sin {\ frac {n \ pi y} {b}} } Placa de apoyo simple con carga general Asumimos una solución w ( X , y ) {\ Displaystyle w (x, y)} de la siguiente forma
w ( X , y ) = ∑ metro = 1 ∞ ∑ norte = 1 ∞ w metro norte pecado metro π X a pecado norte π y B {\ Displaystyle w (x, y) = \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} w_ {mn} \ sin {\ frac {m \ pi x } {a}} \ sin {\ frac {n \ pi y} {b}}} Los diferenciales parciales de esta función están dados por
∂ 4 w ∂ X 4 = ∑ metro = 1 ∞ ∑ norte = 1 ∞ ( metro π a ) 4 w metro norte pecado metro π X a pecado norte π y B {\ Displaystyle {\ cfrac {\ parcial ^ {4} w} {\ parcial x ^ {4}}} = \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {m \ pi} {a}} \ right) ^ {4} w_ {mn} \ sin {\ frac {m \ pi x} {a}} \ sin {\ frac {n \ pi y} {b}}} ∂ 4 w ∂ X 2 ∂ y 2 = ∑ metro = 1 ∞ ∑ norte = 1 ∞ ( metro π a ) 2 ( norte π B ) 2 w metro norte pecado metro π X a pecado norte π y B {\ Displaystyle {\ cfrac {\ parcial ^ {4} w} {\ parcial x ^ {2} \ parcial y ^ {2}}} = \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} \ sum _ { n = 1} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {m \ pi} {a}} \ right) ^ {2} \ left ({\ frac {n \ pi} {b}} \ right) ^ {2} w_ {mn} \ sin {\ frac {m \ pi x} {a}} \ sin {\ frac {n \ pi y} {b}}} ∂ 4 w ∂ y 4 = ∑ metro = 1 ∞ ∑ norte = 1 ∞ ( norte π B ) 4 w metro norte pecado metro π X a pecado norte π y B {\ Displaystyle {\ cfrac {\ parcial ^ {4} w} {\ parcial y ^ {4}}} = \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {n \ pi} {b}} \ right) ^ {4} w_ {mn} \ sin {\ frac {m \ pi x} {a}} \ sin {\ frac {n \ pi y} {b}}} Sustituyendo estas expresiones en la ecuación del plato, tenemos
∑ metro = 1 ∞ ∑ norte = 1 ∞ ( ( metro π a ) 2 + ( norte π B ) 2 ) 2 w metro norte pecado metro π X a pecado norte π y B = ∑ metro = 1 ∞ ∑ norte = 1 ∞ a metro norte D pecado metro π X a pecado norte π y B {\ Displaystyle \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (\ left ({\ frac {m \ pi} {a}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {n \ pi} {b}} \ right) ^ {2} \ right) ^ {2} w_ {mn} \ sin {\ frac {m \ pi x} { a}} \ sin {\ frac {n \ pi y} {b}} = \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ cfrac {a_ {mn}} {D}} \ sin {\ frac {m \ pi x} {a}} \ sin {\ frac {n \ pi y} {b}}} Igualando las dos expresiones, tenemos
( ( metro π a ) 2 + ( norte π B ) 2 ) 2 w metro norte = a metro norte D {\ Displaystyle \ left (\ left ({\ frac {m \ pi} {a}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {n \ pi} {b}} \ right) ^ {2 } \ right) ^ {2} w_ {mn} = {\ cfrac {a_ {mn}} {D}}} que se puede reorganizar para dar
w metro norte = 1 π 4 D a metro norte ( metro 2 a 2 + norte 2 B 2 ) 2 {\ Displaystyle w_ {mn} = {\ frac {1} {\ pi ^ {4} D}} {\ frac {a_ {mn}} {\ left ({\ frac {m ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {n ^ {2}} {b ^ {2}}} \ derecha) ^ {2}}}} La deflexión de una placa simplemente apoyada (de origen esquina) con carga general está dada por
w ( X , y ) = 1 π 4 D ∑ metro = 1 ∞ ∑ norte = 1 ∞ a metro norte ( metro 2 a 2 + norte 2 B 2 ) 2 pecado metro π X a pecado norte π y B {\ Displaystyle w (x, y) = {\ frac {1} {\ pi ^ {4} D}} \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {a_ {mn}} {\ left ({\ frac {m ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {n ^ {2}} {b ^ {2} }} \ derecha) ^ {2}}} \ sin {\ frac {m \ pi x} {a}} \ sin {\ frac {n \ pi y} {b}}} Placa de apoyo simple con carga uniformemente distribuida
Estrés (
σ X X {\ Displaystyle \ sigma _ {xx}} )
Estrés (
σ y y {\ Displaystyle \ sigma _ {yy}} )
Desplazamiento y tensiones a lo largo
X = a / 2 {\ Displaystyle x = a / 2} para una placa rectangular con
a = 20 {\ Displaystyle a = 20} mm,
B = 40 {\ Displaystyle b = 40} mm,
H = 2 h = 0.4 {\ Displaystyle H = 2h = 0.4} mm,
mi = 70 {\ Displaystyle E = 70} GPa y
ν = 0,35 {\ Displaystyle \ nu = 0.35} bajo una carga
q 0 = - 10 {\ Displaystyle q_ {0} = - 10} kPa. La línea roja representa la parte inferior del plato, la línea verde el medio y la línea azul la parte superior del plato.
Para una carga distribuida uniformemente, tenemos
q ( X , y ) = q 0 {\ Displaystyle q (x, y) = q_ {0}} El coeficiente de Fourier correspondiente viene dado por
a metro norte = 4 a B ∫ 0 a ∫ 0 B q 0 pecado metro π X a pecado norte π y B D X D y {\ Displaystyle a_ {mn} = {\ frac {4} {ab}} \ int _ {0} ^ {a} \ int _ {0} ^ {b} q_ {0} \ sin {\ frac {m \ pi x} {a}} \ sin {\ frac {n \ pi y} {b}} \, {\ text {d}} x {\ text {d}} y} . Evaluando la integral doble, tenemos
a metro norte = 4 q 0 π 2 metro norte ( 1 - porque metro π ) ( 1 - porque norte π ) {\ Displaystyle a_ {mn} = {\ frac {4q_ {0}} {\ pi ^ {2} mn}} (1- \ cos m \ pi) (1- \ cos n \ pi)} , o alternativamente en un formato por partes , tenemos
a metro norte = { dieciséis q 0 π 2 metro norte metro y norte impar 0 metro o norte incluso {\ displaystyle a_ {mn} = {\ begin {cases} {\ cfrac {16q_ {0}} {\ pi ^ {2} mn}} & m ~ {\ text {y}} ~ n ~ {\ text {impar }} \\ 0 & m ~ {\ text {o}} ~ n ~ {\ text {even}} \ end {cases}}} La deflexión de una placa simplemente apoyada (de origen de esquina) con carga uniformemente distribuida está dada por
w ( X , y ) = dieciséis q 0 π 6 D ∑ metro = 1 , 3 , 5 , . . . ∞ ∑ norte = 1 , 3 , 5 , . . . ∞ 1 metro norte ( metro 2 a 2 + norte 2 B 2 ) 2 pecado metro π X a pecado norte π y B {\ Displaystyle w (x, y) = {\ frac {16q_ {0}} {\ pi ^ {6} D}} \ sum _ {m = 1,3,5, ...} ^ {\ infty} \ sum _ {n = 1,3,5, ...} ^ {\ infty} {\ frac {1} {mn \ left ({\ frac {m ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {n ^ {2}} {b ^ {2}}} \ right) ^ {2}}} \ sin {\ frac {m \ pi x} {a}} \ sin {\ frac {n \ pi y} {b}}} Los momentos flectores por unidad de longitud en la placa están dados por
METRO X = dieciséis q 0 π 4 ∑ metro = 1 , 3 , 5 , . . . ∞ ∑ norte = 1 , 3 , 5 , . . . ∞ metro 2 a 2 + ν norte 2 B 2 metro norte ( metro 2 a 2 + norte 2 B 2 ) 2 pecado metro π X a pecado norte π y B {\ Displaystyle M_ {x} = {\ frac {16q_ {0}} {\ pi ^ {4}}} \ sum _ {m = 1,3,5, ...} ^ {\ infty} \ sum _ {n = 1,3,5, ...} ^ {\ infty} {\ frac {{\ frac {m ^ {2}} {a ^ {2}}} + \ nu {\ frac {n ^ { 2}} {b ^ {2}}}} {mn \ left ({\ frac {m ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {n ^ {2}} {b ^ { 2}}} \ right) ^ {2}}} \ sin {\ frac {m \ pi x} {a}} \ sin {\ frac {n \ pi y} {b}}} METRO y = dieciséis q 0 π 4 ∑ metro = 1 , 3 , 5 , . . . ∞ ∑ norte = 1 , 3 , 5 , . . . ∞ norte 2 B 2 + ν metro 2 a 2 metro norte ( metro 2 a 2 + norte 2 B 2 ) 2 pecado metro π X a pecado norte π y B {\ Displaystyle M_ {y} = {\ frac {16q_ {0}} {\ pi ^ {4}}} \ sum _ {m = 1,3,5, ...} ^ {\ infty} \ sum _ {n = 1,3,5, ...} ^ {\ infty} {\ frac {{\ frac {n ^ {2}} {b ^ {2}}} + \ nu {\ frac {m ^ { 2}} {a ^ {2}}}} {mn \ left ({\ frac {m ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {n ^ {2}} {b ^ { 2}}} \ right) ^ {2}}} \ sin {\ frac {m \ pi x} {a}} \ sin {\ frac {n \ pi y} {b}}} Solución Lévy Otro enfoque fue propuesto por Lévy [4] en 1899. En este caso, comenzamos con una forma supuesta del desplazamiento e intentamos ajustar los parámetros para que se satisfagan la ecuación gobernante y las condiciones de contorno. El objetivo es encontrar Y metro ( y ) {\ Displaystyle Y_ {m} (y)} tal que satisfaga las condiciones de contorno en y = 0 {\ Displaystyle y = 0} y y = B {\ Displaystyle y = b} y, por supuesto, la ecuación gobernante ∇ 2 ∇ 2 w = q / D {\ Displaystyle \ nabla ^ {2} \ nabla ^ {2} w = q / D} .
Asumamos que
w ( X , y ) = ∑ metro = 1 ∞ Y metro ( y ) pecado metro π X a . {\ Displaystyle w (x, y) = \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} Y_ {m} (y) \ sin {\ frac {m \ pi x} {a}} \ ,.} Para una placa que se apoya simplemente a lo largo X = 0 {\ Displaystyle x = 0} y X = a {\ Displaystyle x = a} , las condiciones de contorno son w = 0 {\ Displaystyle w = 0} y METRO X X = 0 {\ Displaystyle M_ {xx} = 0} . Tenga en cuenta que no hay variación en el desplazamiento a lo largo de estos bordes, lo que significa que ∂ w / ∂ y = 0 {\ estilo de visualización \ parcial w / \ parcial y = 0} y ∂ 2 w / ∂ y 2 = 0 {\ estilo de visualización \ parcial ^ {2} con / \ parcial y ^ {2} = 0} , reduciendo así la condición de frontera de momento a una expresión equivalente ∂ 2 w / ∂ X 2 = 0 {\ estilo de visualización \ parcial ^ {2} con \ parcial x ^ {2} = 0} .
Momentos a lo largo de los bordes Considere el caso de la carga de momento puro. En ese caso q = 0 {\ Displaystyle q = 0} y w ( X , y ) {\ Displaystyle w (x, y)} tiene que satisfacer ∇ 2 ∇ 2 w = 0 {\ Displaystyle \ nabla ^ {2} \ nabla ^ {2} w = 0} . Como estamos trabajando en coordenadas cartesianas rectangulares, la ecuación gobernante se puede expandir como
∂ 4 w ∂ X 4 + 2 ∂ 4 w ∂ X 2 ∂ y 2 + ∂ 4 w ∂ y 4 = 0 . {\ estilo de visualización {\ frac {\ parcial ^ {4} w} {\ parcial x ^ {4}}} + 2 {\ frac {\ parcial ^ {4} w} {\ parcial x ^ {2} \ parcial y ^ {2}}} + {\ frac {\ parcial ^ {4} w} {\ y parcial ^ {4}}} = 0 \ ,.} Conectando la expresión para w ( X , y ) {\ Displaystyle w (x, y)} en la ecuación gobernante nos da
∑ metro = 1 ∞ [ ( metro π a ) 4 Y metro pecado metro π X a - 2 ( metro π a ) 2 D 2 Y metro D y 2 pecado metro π X a + D 4 Y metro D y 4 pecado metro π X a ] = 0 {\ Displaystyle \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} \ left [\ left ({\ frac {m \ pi} {a}} \ right) ^ {4} Y_ {m} \ sin {\ frac {m \ pi x} {a}} - 2 \ left ({\ frac {m \ pi} {a}} \ right) ^ {2} {\ cfrac {d ^ {2} Y_ {m}} {dy ^ {2}}} \ sin {\ frac {m \ pi x} {a}} + {\ frac {d ^ {4} Y_ {m}} {dy ^ {4}}} \ sin {\ frac { m \ pi x} {a}} \ right] = 0} o
D 4 Y metro D y 4 - 2 metro 2 π 2 a 2 D 2 Y metro D y 2 + metro 4 π 4 a 4 Y metro = 0 . {\ Displaystyle {\ frac {d ^ {4} Y_ {m}} {dy ^ {4}}} - 2 {\ frac {m ^ {2} \ pi ^ {2}} {a ^ {2}} } {\ cfrac {d ^ {2} Y_ {m}} {dy ^ {2}}} + {\ frac {m ^ {4} \ pi ^ {4}} {a ^ {4}}} Y_ { m} = 0 \ ,.} Esta es una ecuación diferencial ordinaria que tiene la solución general
Y metro = A metro aporrear metro π y a + B metro metro π y a aporrear metro π y a + C metro pecado metro π y a + D metro metro π y a pecado metro π y a {\ Displaystyle Y_ {m} = A_ {m} \ cosh {\ frac {m \ pi y} {a}} + B_ {m} {\ frac {m \ pi y} {a}} \ cosh {\ frac {m \ pi y} {a}} + C_ {m} \ sinh {\ frac {m \ pi y} {a}} + D_ {m} {\ frac {m \ pi y} {a}} \ sinh {\ frac {m \ pi y} {a}}} dónde A metro , B metro , C metro , D metro {\ Displaystyle A_ {m}, B_ {m}, C_ {m}, D_ {m}} son constantes que se pueden determinar a partir de las condiciones de contorno. Por tanto, la solución de desplazamiento tiene la forma
w ( X , y ) = ∑ metro = 1 ∞ [ ( A metro + B metro metro π y a ) aporrear metro π y a + ( C metro + D metro metro π y a ) pecado metro π y a ] pecado metro π X a . {\ Displaystyle w (x, y) = \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} \ left [\ left (A_ {m} + B_ {m} {\ frac {m \ pi y} {a} } \ right) \ cosh {\ frac {m \ pi y} {a}} + \ left (C_ {m} + D_ {m} {\ frac {m \ pi y} {a}} \ right) \ sinh {\ frac {m \ pi y} {a}} \ right] \ sin {\ frac {m \ pi x} {a}} \ ,.} Elijamos el sistema de coordenadas tal que los límites de la placa estén en X = 0 {\ Displaystyle x = 0} y X = a {\ Displaystyle x = a} (igual que antes) y en y = ± B / 2 {\ Displaystyle y = \ pm b / 2} (y no y = 0 {\ Displaystyle y = 0} y y = B {\ Displaystyle y = b} ). Entonces las condiciones de contorno de momento en el y = ± B / 2 {\ Displaystyle y = \ pm b / 2} los límites son
w = 0 , - D ∂ 2 w ∂ y 2 | y = B / 2 = F 1 ( X ) , - D ∂ 2 w ∂ y 2 | y = - B / 2 = F 2 ( X ) {\ Displaystyle w = 0 \ ,, - D {\ frac {\ parcial ^ {2} w} {\ parcial y ^ {2}}} {\ Bigr |} _ {y = b / 2} = f_ {1 } (x) \ ,, - D {\ frac {\ parcial ^ {2} w} {\ parcial y ^ {2}}} {\ Bigr |} _ {y = -b / 2} = f_ {2} (X)} dónde F 1 ( X ) , F 2 ( X ) {\ Displaystyle f_ {1} (x), f_ {2} (x)} son funciones conocidas. La solución se puede encontrar aplicando estas condiciones de contorno. Podemos mostrar que para el caso simétrico donde
METRO y y | y = - B / 2 = METRO y y | y = B / 2 {\ Displaystyle M_ {yy} {\ Bigr |} _ {y = -b / 2} = M_ {yy} {\ Bigr |} _ {y = b / 2}} y
F 1 ( X ) = F 2 ( X ) = ∑ metro = 1 ∞ mi metro pecado metro π X a {\ Displaystyle f_ {1} (x) = f_ {2} (x) = \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} E_ {m} \ sin {\ frac {m \ pi x} {a} }} tenemos
w ( X , y ) = a 2 2 π 2 D ∑ metro = 1 ∞ mi metro metro 2 aporrear α metro pecado metro π X a ( α metro tanh α metro aporrear metro π y a - metro π y a pecado metro π y a ) {\ Displaystyle w (x, y) = {\ frac {a ^ {2}} {2 \ pi ^ {2} D}} \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} {\ frac {E_ { m}} {m ^ {2} \ cosh \ alpha _ {m}}} \, \ sin {\ frac {m \ pi x} {a}} \, \ left (\ alpha _ {m} \ tanh \ alpha _ {m} \ cosh {\ frac {m \ pi y} {a}} - {\ frac {m \ pi y} {a}} \ sinh {\ frac {m \ pi y} {a}} \ derecho)} dónde
α metro = metro π B 2 a . {\ Displaystyle \ alpha _ {m} = {\ frac {m \ pi b} {2a}} \ ,.} Del mismo modo, para el caso antisimétrico donde
METRO y y | y = - B / 2 = - METRO y y | y = B / 2 {\ Displaystyle M_ {yy} {\ Bigr |} _ {y = -b / 2} = - M_ {yy} {\ Bigr |} _ {y = b / 2}} tenemos
w ( X , y ) = a 2 2 π 2 D ∑ metro = 1 ∞ mi metro metro 2 pecado α metro pecado metro π X a ( α metro coth α metro pecado metro π y a - metro π y a aporrear metro π y a ) . {\ Displaystyle w (x, y) = {\ frac {a ^ {2}} {2 \ pi ^ {2} D}} \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} {\ frac {E_ { m}} {m ^ {2} \ sinh \ alpha _ {m}}} \, \ sin {\ frac {m \ pi x} {a}} \, \ left (\ alpha _ {m} \ coth \ alpha _ {m} \ sinh {\ frac {m \ pi y} {a}} - {\ frac {m \ pi y} {a}} \ cosh {\ frac {m \ pi y} {a}} \ derecho)\,.} Podemos superponer las soluciones simétricas y antisimétricas para obtener soluciones más generales.
Placa de apoyo simple con carga uniformemente distribuida Para una carga distribuida uniformemente, tenemos
q ( X , y ) = q 0 {\ Displaystyle q (x, y) = q_ {0}} La deflexión de una placa simplemente apoyada con centro ( a 2 , 0 ) {\ Displaystyle \ left ({\ frac {a} {2}}, 0 \ right)} con carga uniformemente distribuida viene dada por
w ( X , y ) = q 0 a 4 D ∑ metro = 1 , 3 , 5 , . . . ∞ ( A metro aporrear metro π y a + B metro metro π y a pecado metro π y a + GRAMO metro ) pecado metro π X a dónde A metro = - 2 ( α metro tanh α metro + 2 ) π 5 metro 5 aporrear α metro B metro = 2 π 5 metro 5 aporrear α metro GRAMO metro = 4 π 5 metro 5 y α metro = metro π B 2 a {\ Displaystyle {\ begin {alineado} & w (x, y) = {\ frac {q_ {0} a ^ {4}} {D}} \ sum _ {m = 1,3,5, ...} ^ {\ infty} \ left (A_ {m} \ cosh {\ frac {m \ pi y} {a}} + B_ {m} {\ frac {m \ pi y} {a}} \ sinh {\ frac {m \ pi y} {a}} + G_ {m} \ right) \ sin {\ frac {m \ pi x} {a}} \\\\ & {\ begin {alineado} {\ text {donde} } \ quad & A_ {m} = - {\ frac {2 \ left (\ alpha _ {m} \ tanh \ alpha _ {m} +2 \ right)} {\ pi ^ {5} m ^ {5} \ cosh \ alpha _ {m}}} \\ & B_ {m} = {\ frac {2} {\ pi ^ {5} m ^ {5} \ cosh \ alpha _ {m}}} \\ & G_ {m} = {\ frac {4} {\ pi ^ {5} m ^ {5}}} \\\\ {\ text {y}} \ quad & \ alpha _ {m} = {\ frac {m \ pi b } {2a}} \ end {alineado}} \ end {alineado}}} Los momentos flectores por unidad de longitud en la placa están dados por
METRO X = - q 0 π 2 a 2 ∑ metro = 1 , 3 , 5 , . . . ∞ metro 2 ( ( ( ν - 1 ) A metro + 2 ν B metro ) aporrear metro π y a + ( ν - 1 ) B metro metro π y a pecado metro π y a - GRAMO metro ) pecado metro π X a {\ Displaystyle M_ {x} = - q_ {0} \ pi ^ {2} a ^ {2} \ sum _ {m = 1,3,5, ...} ^ {\ infty} m ^ {2} \ left (\ left (\ left (\ nu -1 \ right) A_ {m} +2 \ nu B_ {m} \ right) \ cosh {\ frac {m \ pi y} {a}} + \ left ( \ nu -1 \ right) B_ {m} {\ frac {m \ pi y} {a}} \ sinh {\ frac {m \ pi y} {a}} - G_ {m} \ right) \ sin { \ frac {m \ pi x} {a}}} METRO y = - q 0 π 2 a 2 ∑ metro = 1 , 3 , 5 , . . . ∞ metro 2 ( ( ( 1 - ν ) A metro + 2 B metro ) aporrear metro π y a + ( 1 - ν ) B metro metro π y a pecado metro π y a - ν GRAMO metro ) pecado metro π X a {\ Displaystyle M_ {y} = - q_ {0} \ pi ^ {2} a ^ {2} \ sum _ {m = 1,3,5, ...} ^ {\ infty} m ^ {2} \ left (\ left (\ left (1- \ nu \ right) A_ {m} + 2B_ {m} \ right) \ cosh {\ frac {m \ pi y} {a}} + \ left (1- \ nu \ right) B_ {m} {\ frac {m \ pi y} {a}} \ sinh {\ frac {m \ pi y} {a}} - \ nu G_ {m} \ right) \ sin {\ frac {m \ pi x} {a}}} Carga de momento uniforme y simétrica Para el caso especial donde la carga es simétrica y el momento es uniforme, tenemos en y = ± B / 2 {\ Displaystyle y = \ pm b / 2} ,
METRO y y = F 1 ( X ) = 4 METRO 0 π ∑ metro = 1 ∞ 1 2 metro - 1 pecado ( 2 metro - 1 ) π X a . {\ Displaystyle M_ {yy} = f_ {1} (x) = {\ frac {4M_ {0}} {\ pi}} \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} { 2m-1}} \, \ sin {\ frac {(2m-1) \ pi x} {a}} \ ,.} Desplazamiento (
w {\ Displaystyle w} )
Esfuerzo de flexión (
σ y y {\ Displaystyle \ sigma _ {yy}} )
Esfuerzo cortante transversal (
σ y z {\ Displaystyle \ sigma _ {yz}} )
Desplazamiento y tensiones para una placa rectangular bajo un momento flector uniforme a lo largo de los bordes.
y = - B / 2 {\ Displaystyle y = -b / 2} y
y = B / 2 {\ Displaystyle y = b / 2} . La tensión de flexión
σ y y {\ Displaystyle \ sigma _ {yy}} está a lo largo de la superficie inferior de la placa. El esfuerzo cortante transversal
σ y z {\ Displaystyle \ sigma _ {yz}} está a lo largo de la superficie media de la placa.
El desplazamiento resultante es
w ( X , y ) = 2 METRO 0 a 2 π 3 D ∑ metro = 1 ∞ 1 ( 2 metro - 1 ) 3 aporrear α metro pecado ( 2 metro - 1 ) π X a × [ α metro tanh α metro aporrear ( 2 metro - 1 ) π y a - ( 2 metro - 1 ) π y a pecado ( 2 metro - 1 ) π y a ] {\ Displaystyle {\ begin {alineado} & w (x, y) = {\ frac {2M_ {0} a ^ {2}} {\ pi ^ {3} D}} \ sum _ {m = 1} ^ { \ infty} {\ frac {1} {(2m-1) ^ {3} \ cosh \ alpha _ {m}}} \ sin {\ frac {(2m-1) \ pi x} {a}} \ veces \\ & ~~ \ left [\ alpha _ {m} \, \ tanh \ alpha _ {m} \ cosh {\ frac {(2m-1) \ pi y} {a}} - {\ frac {(2m -1) \ pi y} {a}} \ sinh {\ frac {(2m-1) \ pi y} {a}} \ right] \ end {alineado}}} dónde
α metro = π ( 2 metro - 1 ) B 2 a . {\ Displaystyle \ alpha _ {m} = {\ frac {\ pi (2m-1) b} {2a}} \ ,.} Los momentos flectores y las fuerzas cortantes correspondientes al desplazamiento w {\ Displaystyle w} están
METRO X X = - D ( ∂ 2 w ∂ X 2 + ν ∂ 2 w ∂ y 2 ) = 2 METRO 0 ( 1 - ν ) π ∑ metro = 1 ∞ 1 ( 2 metro - 1 ) aporrear α metro × pecado ( 2 metro - 1 ) π X a × [ - ( 2 metro - 1 ) π y a pecado ( 2 metro - 1 ) π y a + { 2 ν 1 - ν + α metro tanh α metro } aporrear ( 2 metro - 1 ) π y a ] METRO X y = ( 1 - ν ) D ∂ 2 w ∂ X ∂ y = - 2 METRO 0 ( 1 - ν ) π ∑ metro = 1 ∞ 1 ( 2 metro - 1 ) aporrear α metro × porque ( 2 metro - 1 ) π X a × [ ( 2 metro - 1 ) π y a aporrear ( 2 metro - 1 ) π y a + ( 1 - α metro tanh α metro ) pecado ( 2 metro - 1 ) π y a ] Q z X = ∂ METRO X X ∂ X - ∂ METRO X y ∂ y = 4 METRO 0 a ∑ metro = 1 ∞ 1 aporrear α metro × porque ( 2 metro - 1 ) π X a aporrear ( 2 metro - 1 ) π y a . {\ Displaystyle {\ begin {alineado} M_ {xx} & = - D \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial x ^ {2}}} + \ nu \, {\ frac {\ parcial ^ {2} w} {\ parcial y ^ {2}}} \ derecha) \\ & = {\ frac {2M_ {0} (1- \ nu)} {\ pi}} \ sum _ { m = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(2m-1) \ cosh \ alpha _ {m}}} \, \ times \\ & ~ \ sin {\ frac {(2m-1) \ pi x} {a}} \, \ times \\ & ~ \ left [- {\ frac {(2m-1) \ pi y} {a}} \ sinh {\ frac {(2m-1) \ pi y} {a}} + \ right. \\ & \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ left. \ left \ {{\ frac {2 \ nu} {1- \ nu}} + \ alpha _ {m} \ tanh \ alpha _ {m} \ right \} \ cosh {\ frac {(2m-1) \ pi y} {a}} \ right] \\ M_ {xy} & = (1- \ nu) D { \ frac {\ parcial ^ {2} w} {\ parcial x \ parcial y}} \\ & = - {\ frac {2M_ {0} (1- \ nu)} {\ pi}} \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(2m-1) \ cosh \ alpha _ {m}}} \, \ times \\ & ~ \ cos {\ frac {(2m-1) \ pi x} {a}} \, \ times \\ & ~ \ left [{\ frac {(2m-1) \ pi y} {a}} \ cosh {\ frac {(2m-1) \ pi y} {a}} + \ right. \\ & \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ left. (1- \ alpha _ {m} \ tanh \ alpha _ {m}) \ sinh {\ frac {(2m-1 ) \ pi y} {a}} \ derecha] \\ Q_ {zx} & = {\ frac {\ parcial M_ {xx}} {\ parcial x}} - {\ frac {\ parcial M_ {xy}} { \ y parcial}} \\ & = {\ frac {4M_ {0}} {a}} \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {\ cosh \ alpha _ {m}}} \, \ times \\ & ~ \ cos {\ frac {(2m-1) \ pi x} {a} } \ cosh {\ frac {(2m-1) \ pi y} {a}} \,. \ end {alineado}}} Las tensiones son
σ X X = 12 z h 3 METRO X X y σ z X = 1 κ h Q z X ( 1 - 4 z 2 h 2 ) . {\ Displaystyle \ sigma _ {xx} = {\ frac {12z} {h ^ {3}}} \, M_ {xx} \ quad {\ text {y}} \ quad \ sigma _ {zx} = {\ frac {1} {\ kappa h}} \, Q_ {zx} \ left (1 - {\ frac {4z ^ {2}} {h ^ {2}}} \ right) \ ,.} Doblado de placas cilíndricas La flexión cilíndrica ocurre cuando una placa rectangular que tiene dimensiones a × B × h {\ Displaystyle a \ times b \ times h} , dónde a ≪ B {\ Displaystyle a \ ll b} y el espesor h {\ Displaystyle h} es pequeño, está sometido a una carga distribuida uniformemente perpendicular al plano de la placa. Tal placa toma la forma de la superficie de un cilindro.
Placa simplemente apoyada con extremos fijados axialmente Para una placa simplemente apoyada bajo plegado cilíndrico con bordes que pueden girar libremente pero tienen un X 1 {\ Displaystyle x_ {1}} . Las soluciones de plegado cilíndrico se pueden encontrar utilizando las técnicas Navier y Levy.
Para placas gruesas, tenemos que considerar el efecto de las cizallas a través del espesor en la orientación de la normal a la superficie media después de la deformación. La teoría de Mindlin proporciona un enfoque para encontrar la deformación y las tensiones en tales placas. Las soluciones a la teoría de Mindlin se pueden derivar de las soluciones equivalentes de Kirchhoff-Love utilizando relaciones canónicas. [5]
Ecuaciones gubernamentales La ecuación de gobierno canónica para placas gruesas isotrópicas se puede expresar como [5]
∇ 2 ( METRO - B 1 + ν q ) = - q κ GRAMO h ( ∇ 2 w + METRO D ) = - ( 1 - B C 2 1 + ν ) q ∇ 2 ( ∂ φ 1 ∂ X 2 - ∂ φ 2 ∂ X 1 ) = C 2 ( ∂ φ 1 ∂ X 2 - ∂ φ 2 ∂ X 1 ) {\ Displaystyle {\ begin {alineado} & \ nabla ^ {2} \ left ({\ mathcal {M}} - {\ frac {\ mathcal {B}} {1+ \ nu}} \, q \ right) = -q \\ & \ kappa Gh \ left (\ nabla ^ {2} w + {\ frac {\ mathcal {M}} {D}} \ right) = - \ left (1 - {\ cfrac {{\ mathcal {B}} c ^ {2}} {1+ \ nu}} \ derecha) q \\ & \ nabla ^ {2} \ izquierda ({\ frac {\ parcial \ varphi _ {1}} {\ parcial x_ {2}}} - {\ frac {\ parcial \ varphi _ {2}} {\ parcial x_ {1}}} \ derecha) = c ^ {2} \ izquierda ({\ frac {\ parcial \ varphi _ { 1}} {\ parciales x_ {2}}} - {\ frac {\ parciales \ varphi _ {2}} {\ parciales x_ {1}}} \ derecha) \ end {alineado}}} dónde q {\ Displaystyle q} es la carga transversal aplicada, GRAMO {\ Displaystyle G} es el módulo de corte, D = mi h 3 / [ 12 ( 1 - ν 2 ) ] {\ Displaystyle D = Eh ^ {3} / [12 (1- \ nu ^ {2})]} es la rigidez a la flexión, h {\ Displaystyle h} es el espesor de la placa, C 2 = 2 κ GRAMO h / [ D ( 1 - ν ) ] {\ Displaystyle c ^ {2} = 2 \ kappa Gh / [D (1- \ nu)]} , κ {\ Displaystyle \ kappa} es el factor de corrección de cizallamiento, mi {\ Displaystyle E} es el módulo de Young, ν {\ Displaystyle \ nu} es la razón de Poisson, y
METRO = D [ A ( ∂ φ 1 ∂ X 1 + ∂ φ 2 ∂ X 2 ) - ( 1 - A ) ∇ 2 w ] + 2 q 1 - ν 2 B . {\ Displaystyle {\ mathcal {M}} = D \ left [{\ mathcal {A}} \ left ({\ frac {\ parcial \ varphi _ {1}} {\ parcial x_ {1}}} + {\ frac {\ parcial \ varphi _ {2}} {\ parcial x_ {2}}} \ derecha) - (1 - {\ mathcal {A}}) \ nabla ^ {2} w \ derecha] + {\ frac { 2q} {1- \ nu ^ {2}}} {\ mathcal {B}} \ ,.} En la teoría de Mindlin, w {\ Displaystyle w} es el desplazamiento transversal de la superficie media de la placa y las cantidades φ 1 {\ Displaystyle \ varphi _ {1}} y φ 2 {\ Displaystyle \ varphi _ {2}} son las rotaciones de la normal de la superficie media sobre el X 2 {\ Displaystyle x_ {2}} y X 1 {\ Displaystyle x_ {1}} -ejes, respectivamente. Los parámetros canónicos de esta teoría son A = 1 {\ Displaystyle {\ mathcal {A}} = 1} y B = 0 {\ displaystyle {\ mathcal {B}} = 0} . El factor de corrección de cizallamiento κ {\ Displaystyle \ kappa} generalmente tiene el valor 5 / 6 {\ Displaystyle 5/6} .
Las soluciones de las ecuaciones gobernantes se pueden encontrar si se conocen las correspondientes soluciones de Kirchhoff-Love mediante el uso de las relaciones
w = w K + METRO K κ GRAMO h ( 1 - B C 2 2 ) - Φ + Ψ φ 1 = - ∂ w K ∂ X 1 - 1 κ GRAMO h ( 1 - 1 A - B C 2 2 ) Q 1 K + ∂ ∂ X 1 ( D κ GRAMO h A ∇ 2 Φ + Φ - Ψ ) + 1 C 2 ∂ Ω ∂ X 2 φ 2 = - ∂ w K ∂ X 2 - 1 κ GRAMO h ( 1 - 1 A - B C 2 2 ) Q 2 K + ∂ ∂ X 2 ( D κ GRAMO h A ∇ 2 Φ + Φ - Ψ ) + 1 C 2 ∂ Ω ∂ X 1 {\ Displaystyle {\ begin {alineado} w & = w ^ {K} + {\ frac {{\ mathcal {M}} ^ {K}} {\ kappa Gh}} \ left (1 - {\ frac {{\ mathcal {B}} c ^ {2}} {2}} \ right) - \ Phi + \ Psi \\\ varphi _ {1} & = - {\ frac {\ parcial w ^ {K}} {\ parcial x_ {1}}} - {\ frac {1} {\ kappa Gh}} \ left (1 - {\ frac {1} {\ mathcal {A}}} - {\ frac {{\ mathcal {B}} c ^ {2}} {2}} \ right) Q_ {1} ^ {K} + {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {1}}} \ left ({\ frac {D} {\ kappa Gh {\ mathcal {A}}}} \ nabla ^ {2} \ Phi + \ Phi - \ Psi \ right) + {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial \ Omega } {\ parcial x_ {2}}} \\\ varphi _ {2} & = - {\ frac {\ parcial w ^ {K}} {\ parcial x_ {2}}} - {\ frac {1} { \ kappa Gh}} \ left (1 - {\ frac {1} {\ mathcal {A}}} - {\ frac {{\ mathcal {B}} c ^ {2}} {2}} \ right) Q_ {2} ^ {K} + {\ frac {\ parcial} {\ parcial x_ {2}}} \ left ({\ frac {D} {\ kappa Gh {\ mathcal {A}}}} \ nabla ^ { 2} \ Phi + \ Phi - \ Psi \ right) + {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial \ Omega} {\ partial x_ {1}}} \ end {alineado }}} dónde w K {\ Displaystyle w ^ {K}} es el desplazamiento previsto para una placa Kirchhoff-Love, Φ {\ Displaystyle \ Phi} es una función biharmónica tal que ∇ 2 ∇ 2 Φ = 0 {\ Displaystyle \ nabla ^ {2} \ nabla ^ {2} \ Phi = 0} , Ψ {\ Displaystyle \ Psi} es una función que satisface la ecuación de Laplace, ∇ 2 Ψ = 0 {\ Displaystyle \ nabla ^ {2} \ Psi = 0} , y
METRO = METRO K + B 1 + ν q + D ∇ 2 Φ ; METRO K : = - D ∇ 2 w K Q 1 K = - D ∂ ∂ X 1 ( ∇ 2 w K ) , Q 2 K = - D ∂ ∂ X 2 ( ∇ 2 w K ) Ω = ∂ φ 1 ∂ X 2 - ∂ φ 2 ∂ X 1 , ∇ 2 Ω = C 2 Ω . {\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ mathcal {M}} & = {\ mathcal {M}} ^ {K} + {\ frac {\ mathcal {B}} {1+ \ nu}} \, q + D \ nabla ^ {2} \ Phi ~; ~~ {\ mathcal {M}} ^ {K}: = - D \ nabla ^ {2} w ^ {K} \\ Q_ {1} ^ {K} & = - D {\ frac {\ parcial} {\ parcial x_ {1}}} \ izquierda (\ nabla ^ {2} w ^ {K} \ derecha) ~, ~~ Q_ {2} ^ {K} = -D {\ frac {\ parcial} {\ parcial x_ {2}}} \ izquierda (\ nabla ^ {2} w ^ {K} \ derecha) \\\ Omega & = {\ frac {\ parcial \ varphi _ {1}} {\ parciales x_ {2}}} - {\ frac {\ parciales \ varphi _ {2}} {\ parciales x_ {1}}} ~, ~~ \ nabla ^ {2} \ Omega = c ^ {2} \ Omega \,. \ End {alineado}}} Placas rectangulares simplemente apoyadas Para placas simplemente apoyadas, la suma de momentos de Marcus desaparece, es decir,
METRO = 1 1 + ν ( METRO 11 + METRO 22 ) = D ( ∂ φ 1 ∂ X 1 + ∂ φ 2 ∂ X 2 ) = 0 . {\ Displaystyle {\ mathcal {M}} = {\ frac {1} {1+ \ nu}} (M_ {11} + M_ {22}) = D \ left ({\ frac {\ partial \ varphi _ { 1}} {\ parciales x_ {1}}} + {\ frac {\ parciales \ varphi _ {2}} {\ parciales x_ {2}}} \ derecha) = 0 \ ,.} En ese caso las funciones Φ {\ Displaystyle \ Phi} , Ψ {\ Displaystyle \ Psi} , Ω {\ Displaystyle \ Omega} desaparecen, y la solución de Mindlin se relaciona con la solución de Kirchhoff correspondiente por
w = w K + METRO K κ GRAMO h . {\ Displaystyle w = w ^ {K} + {\ frac {{\ mathcal {M}} ^ {K}} {\ kappa Gh}} \ ,.} La teoría de Reissner-Stein para placas en voladizo [6] conduce a las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias acopladas para una placa en voladizo con carga final concentrada q X ( y ) {\ Displaystyle q_ {x} (y)} a X = a {\ Displaystyle x = a} .
B D D 4 w X D X 4 = 0 B 3 D 12 D 4 θ X D X 4 - 2 B D ( 1 - ν ) D 2 θ X D X 2 = 0 {\ displaystyle {\ begin {alineado} & bD {\ frac {\ mathrm {d} ^ {4} w_ {x}} {\ mathrm {d} x ^ {4}}} = 0 \\ & {\ frac { b ^ {3} D} {12}} \, {\ frac {\ mathrm {d} ^ {4} \ theta _ {x}} {\ mathrm {d} x ^ {4}}} - 2bD (1 - \ nu) {\ cfrac {d ^ {2} \ theta _ {x}} {dx ^ {2}}} = 0 \ end {alineado}}} y las condiciones de contorno en X = a {\ Displaystyle x = a} están
B D D 3 w X D X 3 + q X 1 = 0 , B 3 D 12 D 3 θ X D X 3 - 2 B D ( 1 - ν ) D θ X D X + q X 2 = 0 B D D 2 w X D X 2 = 0 , B 3 D 12 D 2 θ X D X 2 = 0 . {\ displaystyle {\ begin {alineado} & bD {\ cfrac {d ^ {3} w_ {x}} {dx ^ {3}}} + q_ {x1} = 0 \ quad, \ quad {\ frac {b ^ {3} D} {12}} {\ cfrac {d ^ {3} \ theta _ {x}} {dx ^ {3}}} - 2bD (1- \ nu) {\ cfrac {d \ theta _ { x}} {dx}} + q_ {x2} = 0 \\ & bD {\ cfrac {d ^ {2} w_ {x}} {dx ^ {2}}} = 0 \ quad, \ quad {\ frac { b ^ {3} D} {12}} {\ cfrac {d ^ {2} \ theta _ {x}} {dx ^ {2}}} = 0 \,. \ end {alineado}}} La solución de este sistema de dos EDO da
w X ( X ) = q X 1 6 B D ( 3 a X 2 - X 3 ) θ X ( X ) = q X 2 2 B D ( 1 - ν ) [ X - 1 ν B ( pecado ( ν B a ) aporrear [ ν B ( X - a ) ] + tanh [ ν B ( X - a ) ] ) ] {\ Displaystyle {\ begin {alineado} w_ {x} (x) & = {\ frac {q_ {x1}} {6bD}} \, (3ax ^ {2} -x ^ {3}) \\\ theta _ {x} (x) & = {\ frac {q_ {x2}} {2bD (1- \ nu)}} \ left [x - {\ frac {1} {\ nu _ {b}}} \, \ left ({\ frac {\ sinh (\ nu _ {b} a)} {\ cosh [\ nu _ {b} (xa)]}} + \ tanh [\ nu _ {b} (xa)] \ derecha) \ derecha] \ end {alineado}}} dónde ν B = 24 ( 1 - ν ) / B {\ Displaystyle \ nu _ {b} = {\ sqrt {24 (1- \ nu)}} / b} . Los momentos flectores y las fuerzas cortantes correspondientes al desplazamiento w = w X + y θ X {\ Displaystyle w = w_ {x} + y \ theta _ {x}} están
METRO X X = - D ( ∂ 2 w ∂ X 2 + ν ∂ 2 w ∂ y 2 ) = q X 1 ( X - a B ) - [ 3 y q X 2 B 3 ν B aporrear 3 [ ν B ( X - a ) ] ] × [ 6 pecado ( ν B a ) - pecado [ ν B ( 2 X - a ) ] + pecado [ ν B ( 2 X - 3 a ) ] + 8 pecado [ ν B ( X - a ) ] ] METRO X y = ( 1 - ν ) D ∂ 2 w ∂ X ∂ y = q X 2 2 B [ 1 - 2 + aporrear [ ν B ( X - 2 a ) ] - aporrear [ ν B X ] 2 aporrear 2 [ ν B ( X - a ) ] ] Q z X = ∂ METRO X X ∂ X - ∂ METRO X y ∂ y = q X 1 B - ( 3 y q X 2 2 B 3 aporrear 4 [ ν B ( X - a ) ] ) × [ 32 + aporrear [ ν B ( 3 X - 2 a ) ] - aporrear [ ν B ( 3 X - 4 a ) ] - dieciséis aporrear [ 2 ν B ( X - a ) ] + 23 aporrear [ ν B ( X - 2 a ) ] - 23 aporrear ( ν B X ) ] . {\ Displaystyle {\ begin {alineado} M_ {xx} & = - D \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial x ^ {2}}} + \ nu \, {\ frac {\ parcial ^ {2} w} {\ parcial y ^ {2}}} \ derecha) \\ & = q_ {x1} \ izquierda ({\ frac {xa} {b}} \ derecha) - \ izquierda [ {\ frac {3yq_ {x2}} {b ^ {3} \ nu _ {b} \ cosh ^ {3} [\ nu _ {b} (xa)]}} \ right] \ times \\ & \ quad \ left [6 \ sinh (\ nu _ {b} a) - \ sinh [\ nu _ {b} (2x-a)] + \ sinh [\ nu _ {b} (2x-3a)] + 8 \ sinh [\ nu _ {b} (xa)] \ derecha] \\ M_ {xy} & = (1- \ nu) D {\ frac {\ parcial ^ {2} w} {\ parcial x \ parcial y} } \\ & = {\ frac {q_ {x2}} {2b}} \ left [1 - {\ frac {2+ \ cosh [\ nu _ {b} (x-2a)] - \ cosh [\ nu _ {b} x]} {2 \ cosh ^ {2} [\ nu _ {b} (xa)]}} \ derecha] \\ Q_ {zx} & = {\ frac {\ parcial M_ {xx}} {\ parcial x}} - {\ frac {\ parcial M_ {xy}} {\ parcial y}} \\ & = {\ frac {q_ {x1}} {b}} - \ left ({\ frac {3yq_ {x2}} {2b ^ {3} \ cosh ^ {4} [\ nu _ {b} (xa)]}} \ right) \ times \ left [32+ \ cosh [\ nu _ {b} (3x -2a)] - \ cosh [\ nu _ {b} (3x-4a)] \ right. \\ & \ qquad \ left.-16 \ cosh [2 \ nu _ {b} (xa)] + 23 \ cosh [\ nu _ {b} (x-2a)] - 23 \ cosh (\ nu _ {b} x) \ right] \,. \ end {alineado}}} Las tensiones son
σ X X = 12 z h 3 METRO X X y σ z X = 1 κ h Q z X ( 1 - 4 z 2 h 2 ) . {\ Displaystyle \ sigma _ {xx} = {\ frac {12z} {h ^ {3}}} \, M_ {xx} \ quad {\ text {y}} \ quad \ sigma _ {zx} = {\ frac {1} {\ kappa h}} \, Q_ {zx} \ left (1 - {\ frac {4z ^ {2}} {h ^ {2}}} \ right) \ ,.} Si la carga aplicada en el borde es constante, recuperamos las soluciones para una viga bajo una carga final concentrada. Si la carga aplicada es una función lineal de y {\ Displaystyle y} , luego
q X 1 = ∫ - B / 2 B / 2 q 0 ( 1 2 - y B ) D y = B q 0 2 ; q X 2 = ∫ - B / 2 B / 2 y q 0 ( 1 2 - y B ) D y = - B 2 q 0 12 . {\ displaystyle q_ {x1} = \ int _ {- b / 2} ^ {b / 2} q_ {0} \ left ({\ frac {1} {2}} - {\ frac {y} {b} } \ right) \, {\ text {d}} y = {\ frac {bq_ {0}} {2}} ~; ~~ q_ {x2} = \ int _ {- b / 2} ^ {b / 2} yq_ {0} \ left ({\ frac {1} {2}} - {\ frac {y} {b}} \ right) \, {\ text {d}} y = - {\ frac {b ^ {2} q_ {0}} {12}} \ ,.}