En la teoría de conjuntos , un cardenal fuerte es un tipo de cardenal grande . Es un debilitamiento de la noción de un cardenal supercompacto .
Si λ es cualquier ordinal , κ es λ-fuerte significa que κ es un número cardinal y existe una incrustación elemental j del universo V en un modelo interno transitivo M con punto crítico κ y
Es decir, M está de acuerdo con V en un segmento inicial. Entonces κ es fuerte significa que es λ-fuerte para todos los ordinales λ.
Por definiciones, los cardenales fuertes se encuentran por debajo de los cardenales supercompactos y por encima de los cardenales medibles en la jerarquía de fuerza de consistencia.
κ es κ-fuerte si y solo si es medible. Si κ es fuerte o λ-fuerte para λ ≥ κ + 2, entonces el ultrafiltro U testigos de que κ es medible será en V κ + 2 y por lo tanto en M . Entonces, para cualquier α <κ, tenemos que existe un ultrafiltro U en j ( V κ ) - j ( V α ), recordando que j (α) = α. Usando la incrustación elemental al revés, obtenemos que hay un ultrafiltro en V κ - V α. Entonces, hay cardinales medibles arbitrariamente grandes por debajo de κ, que es regular, y por lo tanto κ es un límite de κ-muchos cardinales medibles.
Los cardenales fuertes también se encuentran por debajo de los cardenales superfuertes y los cardenales Woodin en fuerza de consistencia. Sin embargo, el cardenal menos fuerte es más grande que el cardenal menos superfuerte.