En la teoría de conjuntos , un cardenal supercompacto es un tipo de cardenal grande . Muestran una variedad de propiedades de reflexión.
Definicion formal
Si λ es cualquier ordinal , κ es λ -supercompacto significa que existe una incrustación elemental j del universo V en un modelo interno transitivo M con punto crítico κ , j ( κ )> λ y
Es decir, M contiene todas sus secuencias λ . Entonces κ es supercompacto significa que es λ -supercompacto para todos los ordinales λ .
Alternativamente, un κ cardinal incontable es supercompacto si para cada A tal que | A | ≥ κ existe una medida normal sobre [ A ] < κ , en el siguiente sentido.
[ A ] < κ se define como sigue:
Un ultrafiltro U sobre [ A ] < κ está bien si es κ -completo y, para cada . Una medida normal sobre [ A ] < κ es un ultrafiltro fino U sobre [ A ] < κ con la propiedad adicional de que cada función tal que es constante en un set en . Aquí, "constante en un conjunto en U " significa que hay tal que .
Propiedades
Los cardenales supercompactos tienen propiedades de reflexión. Si un cardenal con alguna propiedad (digamos un cardenal de 3 grandes ) que es presenciado por una estructura de rango limitado existe por encima de un cardinal supercompacto κ , entonces un cardenal con esa propiedad existe debajo de κ. Por ejemplo, si κ es supercompacto y la hipótesis del continuo generalizado (GCH) se mantiene por debajo de κ, entonces se mantiene en todas partes porque una biyección entre el conjunto de potencias de ν y un cardinal al menos ν ++ sería un testigo de rango limitado para la falla de GCH. en ν, por lo que también debería existir por debajo de κ .
Encontrar un modelo interno canónico para los cardenales supercompactos es uno de los principales problemas de la teoría del modelo interno .
Ver también
Referencias
- Drake, FR (1974). Teoría de conjuntos: Introducción a los grandes cardenales (Estudios de lógica y fundamentos de las matemáticas; V. 76) . Elsevier Science Ltd. ISBN 0-444-10535-2.
- Jech, Thomas (2002). Teoría de conjuntos, edición del tercer milenio (revisada y ampliada) . Saltador. ISBN 3-540-44085-2.
- Kanamori, Akihiro (2003). El infinito superior: grandes cardenales en la teoría de conjuntos desde sus inicios (2ª ed.). Saltador. ISBN 3-540-00384-3.