En matemáticas , un cardinal medible es un cierto tipo de número cardinal grande . Para definir el concepto, se introduce una medida de dos valores en un cardinal κ , o más generalmente en cualquier conjunto. Para un cardinal κ , se puede describir como una subdivisión de todos sus subconjuntos en conjuntos grandes y pequeños, de modo que κ en sí mismo es grande, ∅ y todos los singletons { α }, α ∈ κ son pequeños, los complementos de conjuntos pequeños son grandes y viceversa. La intersección de menos deκ conjuntos grandes es de nuevo grande. [1]
Resulta que incontables cardenales dotados de una medida de dos valores son grandes cardenales cuya existencia no se puede probar a partir de ZFC . [2]
El concepto de cardenal mensurable fue introducido por Stanislaw Ulam en 1930. [3]
Definición
Formalmente, un cardinal medible es un número cardinal incontable κ tal que existe una medida κ-aditiva, no trivial, valorada en 0-1 en el conjunto de potencias de κ . (Aquí el término κ-aditivo significa que, para cualquier secuencia A α , α <λ de cardinalidad λ < κ , siendo A α conjuntos disjuntos por pares de ordinales menores que κ, la medida de la unión de A α es igual a la suma de las medidas del individuo A α .)
De manera equivalente, κ es medios medibles que es el punto crítico de un no trivial incrustación elemental del universo V en una clase transitivo M . Esta equivalencia se debe a Jerome Keisler y Dana Scott , y utiliza la construcción de ultrapotencia de la teoría de modelos . Dado que V es una clase adecuada , es necesario abordar un problema técnico que no suele estar presente cuando se consideran ultrapoderes, mediante lo que ahora se llama el truco de Scott .
De manera equivalente, κ es un cardinal medible si y solo si es un cardinal incontable con un ultrafiltro no principal κ completo . De nuevo, esto significa que la intersección de cualquier conjunto estrictamente menor de κ- muchos en el ultrafiltro, también está en el ultrafiltro.
Propiedades
Aunque de ZFC se sigue que todo cardenal mensurable es inaccesible (y es inefable , Ramsey , etc.), es consistente con ZF que un cardenal mensurable puede ser un cardenal sucesor . Se deduce del axioma de determinación ZF + que ω 1 es medible, y que todo subconjunto de ω 1 contiene o es disjunto de un subconjunto cerrado e ilimitado .
Ulam demostró que el κ cardinal más pequeño que admite una medida de dos valores contable-aditiva no trivial debe admitir de hecho una medida κ-aditiva. (Si hubiera alguna colección de menos de κ subconjuntos de medida-0 cuya unión fuera κ, entonces la medida inducida en esta colección sería un contraejemplo de la minimidad de κ.) A partir de ahí, se puede probar (con el axioma de elección) que el menor de esos cardenales debe ser inaccesible.
Es trivial notar que si κ admite una medida aditiva de κ no trivial, entonces κ debe ser regular. (Por no trivialidad y κ-aditividad, cualquier subconjunto de cardinalidad menor que κ debe tener la medida 0, y luego por κ-aditividad nuevamente, esto significa que el conjunto completo no debe ser una unión de menos de κ conjuntos de cardinalidad menores que κ.) Finalmente, si λ <κ, entonces no puede ser que κ ≤ 2 λ . Si este fuera el caso, entonces podríamos identificar κ con alguna colección de 0-1 secuencias de longitud λ . Para cada posición en la secuencia, el subconjunto de secuencias con 1 en esa posición o el subconjunto con 0 en esa posición tendría que tener la medida 1. La intersección de estos λ -muchos subconjuntos de medida 1 también tendría que tener la medida 1 , pero contendría exactamente una secuencia, lo que contradeciría la no trivialidad de la medida. Así, asumiendo el axioma de elección, podemos inferir que κ es un cardinal de límite fuerte, lo que completa la prueba de su inaccesibilidad.
Si κ es medible y p ∈ V κ y M (la ultrapotencia de V ) satisface ψ (κ, p ), entonces el conjunto de α < κ tal que V satisface ψ ( α , p ) es estacionario en κ (en realidad, un conjunto de la medida 1). En particular, si ψ es una fórmula Π 1 y V satisface ψ (κ, p ), entonces M la satisface y, por tanto, V satisface ψ ( α , p ) para un conjunto estacionario de α < κ . Esta propiedad puede usarse para mostrar que κ es un límite de la mayoría de los tipos de cardenales grandes que son más débiles de lo medible. Observe que el ultrafiltro o la medida que atestigua que κ es medible no puede estar en M, ya que el cardinal medible más pequeño tendría que tener otro por debajo, lo cual es imposible.
Si uno comienza con una incrustación elemental j 1 de V en M 1 con el punto crítico κ, entonces se puede definir un ultrafiltro U en κ como { S ⊆κ: κ∈ j 1 ( S )}. Luego, tomando una ultrapotencia de V sobre U , podemos obtener otra incrustación elemental j 2 de V en M 2 . Sin embargo, es importante recordar que j 2 ≠ j 1 . Por lo tanto, otros tipos de cardenales grandes, como los cardenales fuertes , también pueden medirse, pero sin usar la misma incrustación. Se puede demostrar que un cardinal fuerte κ es medible y también tiene κ-muchos cardinales medibles debajo de él.
Cada κ cardinal medible es una 0- enorme cardenal porque κ M ⊆ M , es decir, cada función de κ que M está en M . En consecuencia, V kappa 1 ⊆ M .
Medible de valor real
Un cardinal κ se denomina medible de valor real si hay una medida de probabilidad κ aditiva en el conjunto de potencias de κ que desaparece en los singleton. Stefan Banach ( 1930 ) introdujo los cardenales mensurables de valor real . Banach y Kuratowski (1929) demostraron que la hipótesis del continuo implica queno es medible por valor real. Stanislaw Ulam ( 1930 ) mostró (ver más abajo partes de la prueba de Ulam) que los cardenales medibles de valor real son débilmente inaccesibles (de hecho, son débilmente Mahlo ). Todos los cardinales medibles son medibles con valor real, y un cardinal κ medible con valor real es medible si y solo si κ es mayor que. Por lo tanto, un cardenal es medible si y solo si tiene un valor real medible y es fuertemente inaccesible. Un cardinal medible de valor real menor o igual aexiste si y solo si hay una extensión contable aditiva de la medida de Lebesgue a todos los conjuntos de números reales si y sólo si hay una medida de probabilidad sin átomos en el conjunto de potencia de algún conjunto no vacío.
Solovay (1971) mostró que la existencia de cardenales mensurables en ZFC, cardenales mensurables de valor real en ZFC y cardenales mensurables en ZF son equivalentes .
Débil inaccesibilidad de los cardenales medibles de valor real
Di que un número cardinal es un número Ulam si [4] [nb 1]
cuando sea
- es una medida exterior en un set
- todas son μ- medibles ,
luego
De manera equivalente, un número cardinal es un número de Ulam si
cuando sea
- es una medida exterior en un set y una familia disjunta de subconjuntos de ,
- por
- es ν -medible para cada
luego
El cardenal infinito más pequeño es un número de Ulam. La clase de números Ulam se cierra bajo la operación sucesora cardinal . [5] Si un cardenal infinito tiene un predecesor inmediato que es un número de Ulam, suponga satisface las propiedades (1) - (4) con. En el modelo de von Neumann de ordinales y cardinales, elija funciones inyectivas
y definir los conjuntos
Desde el son uno a uno, los conjuntos
son inconexos. Por propiedad (2) de, el conjunto
es contable , y por lo tanto
Por tanto, hay un tal que
implicando, ya que es un número Ulam y usando la segunda definición (con y condiciones (1) - (4) cumplidas),
Si luego Por lo tanto
Por propiedad (2) , y desde , por (4), (2) y (3) , Resulta que La conclusión es que es un número de Ulam.
Existe una prueba similar [6] de que el supremo de un conjunto de números Ulam con un número Ulam es de nuevo un número Ulam. Junto con el resultado anterior, esto implica que un cardenal que no es un número Ulam es débilmente inaccesible .
Ver también
- Medida normal
- Orden de Mitchell
- Lista de propiedades cardinales grandes
Notas
- ^ La noción en el artículo número Ulam es diferente.
Citas
- ^ Maddy 1988
- ^ Jech 2002
- ^ Ulam 1930
- ^ Federer 1996 , sección 2.1.6
- ^ Federer 1996 , segunda parte del teorema en la sección 2.1.6.
- ^ Federer 1996 , primera parte del teorema en la sección 2.1.6.
Referencias
- Banach, Stefan (1930), "Über additive Maßfunktionen in abstrakten Mengen" , Fundamenta Mathematicae , 15 : 97–101, doi : 10.4064 / fm-15-1-97-101 , ISSN 0016-2736.
- Banach, Stefan ; Kuratowski, Kazimierz (1929), "Sur une généralisation du probleme de la mesure" , Fundamenta Mathematicae , 14 : 127-131, doi : 10.4064 / fm-14-1-127-131 , ISSN 0016-2736.
- Drake, FR (1974), Teoría de conjuntos: Introducción a los grandes cardenales (Estudios de lógica y fundamentos de las matemáticas; V.76) , Elsevier Science Ltd, ISBN 978-0-7204-2279-5.
- Federer, H. (1996) [1969], Geometric Measure Theory , Classics in Mathematics (1ª ed. Reimpresión ed.), Berlín, Heidelberg, Nueva York: Springer Verlag , ISBN 978-3540606567.
- Jech, Thomas (2002), Teoría de conjuntos, edición del tercer milenio (revisada y ampliada) , Springer, ISBN 3-540-44085-2.
- Kanamori, Akihiro (2003), El infinito superior: Grandes cardenales en la teoría de conjuntos desde sus inicios (2a ed.), Springer, ISBN 3-540-00384-3.
- Maddy, Penelope (1988), "Believing the Axioms. II" , The Journal of Symbolic Logic , 53 (3): 736–764, doi : 10.2307 / 2274569 , JSTOR 2274569 , S2CID 16544090. Una copia de las partes I y II de este artículo con correcciones está disponible en la página web del autor .
- Solovay, Robert M. (1971), "Cardenales medibles de valor real", Teoría de conjuntos axiomáticos (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XIII, Part I, Univ. California, Los Ángeles, California, 1967) , Providence , RI: Amer. Matemáticas. Soc., Págs. 397–428, MR 0290961.
- Ulam, Stanislaw (1930), "Zur Masstheorie in der allgemeinen Mengenlehre" , Fundamenta Mathematicae , 16 : 140–150, doi : 10.4064 / fm-16-1-140-150 , ISSN 0016-2736.