En matemáticas , en el campo de las ecuaciones diferenciales ordinarias , el teorema de comparación de Sturm-Picone , llamado así por Jacques Charles François Sturm y Mauro Picone , es un teorema clásico que proporciona criterios para la oscilación y no oscilación de soluciones de ciertas ecuaciones diferenciales lineales en el dominio real.
Sean p i , q i i = 1, 2 , funciones continuas de valor real en el intervalo [ a , b ] y sean
ser dos ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden en forma autoadjunta con
y
Sea u una solución no trivial de (1) con raíces sucesivas en z 1 y z 2 y sea v una solución no trivial de (2). Entonces se cumple una de las siguientes propiedades.
- Existe una x en ( z 1 , z 2 ) tal que v ( x ) = 0; o
- existe un λ en R tal que v ( x ) = λ u ( x ) .
La primera parte de la conclusión se debe a Sturm (1836), [1] mientras que la segunda parte (alternativa) del teorema se debe a Picone (1910) [2] [3] cuya demostración simple se dio usando su ahora famoso Picone identidad . En el caso especial en el que ambas ecuaciones son idénticas, se obtiene el teorema de separación de Sturm . [4]
Notas
- ↑ C. Sturm, Mémoire sur les équations différentielles linéaires du second ordre, J. Math. Pures Appl. 1 (1836), 106–186
- ^ M. Picone, Sui valori eccezionali di un parametro da cui dipende un'equazione differenziale lineare ordinaria del second'ordine, Ann. Norma de la Scuola. Pisa 11 (1909), 1-141.
- ^ Hinton, D. (2005). "Evolución de los resultados de oscilación de 1836 de Sturm de la teoría". Teoría de Sturm-Liouville . págs. 1–1. doi : 10.1007 / 3-7643-7359-8_1 . ISBN 3-7643-7066-1.
- ^ Para una extensión de este importante teorema a un teorema de comparación que involucra tres o más ecuaciones reales de segundo orden, vea el teorema de comparación de Hartman-Mingarelli donde se dio una demostración simple usando la identidad de Mingarelli
Referencias
- Díaz, JB; McLaughlin, Joyce R. Sturm teoremas de comparación para ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales . Toro. Amer. Matemáticas. Soc. 75 1969 335–339 [1]
- Heinrich Guggenheimer (1977) Geometría aplicable , página 79, Krieger, Huntington ISBN 0-88275-368-1 .
- Teschl, G. (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias y sistemas dinámicos . Providencia : Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0-8218-8328-0.