Teorema de separación de Sturm

Los ceros de dos soluciones linealmente independientes de la ecuación de Airy se alternan, como predice el teorema de separación de Sturm.${\displaystyle y''-xy=0}$

En matemáticas , en el campo de las ecuaciones diferenciales ordinarias , el teorema de separación de Sturm , que lleva el nombre de Jacques Charles François Sturm , describe la ubicación de las raíces de las soluciones de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden . Básicamente, el teorema establece que dadas dos soluciones lineales independientes de tal ecuación, los ceros de las dos soluciones se alternan.

Teorema de separación de Sturm

Dada una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden y dos soluciones independientes lineales continuas u ( x ) y v ( x ) con x ₀ y x ₁ raíces sucesivas de u ( x ), entonces v ( x ) tiene exactamente una raíz en el intervalo abierto. ( x ₀ , x ₁ ). Es un caso especial del teorema de comparación de Sturm-Picone .

Prueba

Dado que y son linealmente independientes, se deduce que el wronskiano debe satisfacer para todos donde se define la ecuación diferencial, digamos . Sin pérdida de generalidad, supongamos eso . Luego${\displaystyle \displaystyle u}$${\displaystyle \displaystyle v}$ ${\displaystyle \displaystyle W[u,v]}$${\displaystyle W[u,v](x)\equiv W(x)\neq 0}$${\displaystyle \displaystyle x}$${\displaystyle \displaystyle I}$${\displaystyle W(x)<0{\mbox{ }}\forall {\mbox{ }}x\in I}$

${\displaystyle u(x)v'(x)-u'(x)v(x)\neq 0.}$

Así que en ${\displaystyle \displaystyle x=x_{0}}$

${\displaystyle W(x_{0})=-u'\left(x_{0}\right)v\left(x_{0}\right)}$

y, o bien y son ambos positivos o ambos negativos. Sin pérdida de generalidad, suponga que ambos son positivos. Ahora en${\displaystyle u'\left(x_{0}\right)}$${\displaystyle v\left(x_{0}\right)}$${\displaystyle \displaystyle x=x_{1}}$

${\displaystyle W(x_{1})=-u'\left(x_{1}\right)v\left(x_{1}\right)}$

y dado que y son ceros sucesivos de lo que causa . Por lo tanto, para mantener debemos tener . Vemos esto al observar que si entonces estaría aumentando (alejándose del eje-), lo que nunca conduciría a un cero en . Entonces, para que ocurra un cero como máximo (es decir, y resulta que, según nuestro resultado del Wronskiano, eso ). Entonces, en algún lugar del intervalo, el signo de cambió. Según el teorema del valor intermedio existe tal que .${\displaystyle \displaystyle x=x_{0}}$${\displaystyle \displaystyle x=x_{1}}$${\displaystyle \displaystyle u(x)}$${\displaystyle u'\left(x_{1}\right)<0}$${\displaystyle \displaystyle W(x)<0}$${\displaystyle v\left(x_{1}\right)<0}$${\displaystyle \displaystyle u'(x)>0{\mbox{ }}\forall {\mbox{ }}x\in \left(x_{0},x_{1}\right]}$${\displaystyle \displaystyle u(x)}$${\displaystyle \displaystyle x}$${\displaystyle \displaystyle x=x_{1}}$${\displaystyle \displaystyle x=x_{1}}$${\displaystyle u'\left(x_{1}\right)=0}$${\displaystyle u'\left(x_{1}\right)\leq 0}$${\displaystyle u'\left(x_{1}\right)\leq 0}$${\displaystyle \left(x_{0},x_{1}\right)}$${\displaystyle \displaystyle v(x)}$${\displaystyle x^{*}\in \left(x_{0},x_{1}\right)}$${\displaystyle v\left(x^{*}\right)=0}$

Por otro lado, solo puede haber un cero , porque de lo contrario v tendría dos ceros y no habría ceros de u en el medio, y se acaba de demostrar que esto es imposible.${\displaystyle \left(x_{0},x_{1}\right)}$

Referencias

• Teschl, G. (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias y sistemas dinámicos . Providencia : Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0-8218-8328-0.