Función Airy

Este artículo trata sobre la función especial Airy. Para la función de tensión de Airy empleada en mecánica de sólidos, consulte Funciones de tensión . Para la función de disco de Airy que describe el patrón de difracción óptica a través de una apertura circular, consulte Disco de Airy .

En las ciencias físicas, la función Airy (o función Airy del primer tipo ) Ai ( x ) es una función especial que lleva el nombre del astrónomo británico George Biddell Airy (1801-1892). La función Ai ( x ) y la función relacionada Bi ( x ) son soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-xy=0,\,\!}$

conocida como la ecuación de Airy o la ecuación de Stokes . Esta es la ecuación diferencial lineal de segundo orden más simple con un punto de inflexión (un punto donde el carácter de las soluciones cambia de oscilatorio a exponencial). ^{[ cita requerida ]}

La función Airy es la solución a la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para una partícula confinada dentro de un pozo de potencial triangular y para una partícula en un campo de fuerza constante unidimensional. Por la misma razón, también sirve para proporcionar aproximaciones semiclásicas uniformes cerca de un punto de inflexión en la aproximación WKB , cuando el potencial puede aproximarse localmente mediante una función lineal de posición. La solución del pozo de potencial triangular es directamente relevante para la comprensión de los electrones atrapados en heterouniones de semiconductores .

La función Airy también subyace a la forma de la intensidad cerca de un cáustico direccional óptico , como el del arco iris . Históricamente, este fue el problema matemático que llevó a Airy a desarrollar esta función especial.

Una función diferente que también lleva el nombre de Airy es importante en microscopía y astronomía ; describe el patrón , debido a la difracción y la interferencia , producido por una fuente puntual de luz (una que es mucho más pequeña que el límite de resolución de un microscopio o telescopio ).

Definiciones

Gráfico de Ai ( x ) en rojo y Bi ( x ) en azul

Para valores reales de x , la función de Airy del primer tipo se puede definir mediante la integral de Riemann impropia :

${\displaystyle \operatorname {Ai} (x)={\dfrac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\cos \left({\dfrac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,dt\equiv {\dfrac {1}{\pi }}\lim _{b\to \infty }\int _{0}^{b}\cos \left({\dfrac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,dt,}$

que converge por la prueba de Dirichlet . Para cualquier número real hay un número real positivo tal que la función es creciente, ilimitada y convexa con derivada continua e ilimitada en el intervalo . La convergencia de la integral en este intervalo se puede probar mediante la prueba de Dirichlet después de la sustitución .${\displaystyle x}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\dfrac {t^{3}}{3}}+xt}$${\displaystyle [M,\infty )}$${\displaystyle u={\dfrac {t^{3}}{3}}+xt}$

y = Ai ( x ) satisface la ecuación de Airy

${\displaystyle y''-xy=0.}$

Esta ecuación tiene dos soluciones linealmente independientes . Hasta la multiplicación escalar, Ai ( x ) es la solución sujeta a la condición y → 0 cuando x → ∞. La elección estándar para la otra solución es la función de Airy del segundo tipo, denominada Bi ( x ). Se define como la solución con la misma amplitud de oscilación que Ai ( x ) cuando x → −∞ que difiere en fase por π / 2:

${\displaystyle \operatorname {Bi} (x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\left[\exp \left(-{\tfrac {t^{3}}{3}}+xt\right)+\sin \left({\tfrac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,\right]dt.}$

Propiedades

Los valores de Ai ( x ) y Bi ( x ) y sus derivadas en x = 0 están dados por

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ai} (0)&{}={\frac {1}{3^{\frac {2}{3}}\Gamma ({\tfrac {2}{3}})}},&\quad \operatorname {Ai} '(0)&{}=-{\frac {1}{3^{\frac {1}{3}}\Gamma ({\tfrac {1}{3}})}},\\\operatorname {Bi} (0)&{}={\frac {1}{3^{\frac {1}{6}}\Gamma ({\tfrac {2}{3}})}},&\quad \operatorname {Bi} '(0)&{}={\frac {3^{\frac {1}{6}}}{\Gamma ({\tfrac {1}{3}})}}.\end{aligned}}}$

Aquí, Γ denota la función Gamma . De ello se deduce que el wronskiano de Ai ( x ) y Bi ( x ) es 1 / π.

Cuando x es positivo, Ai ( x ) es positivo, convexo y disminuye exponencialmente a cero, mientras que Bi ( x ) es positivo, convexo y aumenta exponencialmente. Cuando x es negativo, Ai ( x ) y Bi ( x ) oscilan alrededor de cero con una frecuencia cada vez mayor y una amplitud cada vez menor. Esto está respaldado por las fórmulas asintóticas siguientes para las funciones de Airy.

Las funciones de Airy son ortogonales ^[1] en el sentido de que

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {Ai} (t+x)\operatorname {Ai} (t+y)dt=\delta (x-y)}$

nuevamente usando una integral de Riemann incorrecta.

Fórmulas asintóticas

Ai (azul) y forma asintótica sinusoidal / exponencial de Ai (magenta)

Bi (azul) y forma asintótica sinusoidal / exponencial de Bi (magenta)

Como se explica a continuación, las funciones de Airy se pueden extender al plano complejo, dando funciones completas . El comportamiento asintótico de Airy funciona como | z | va al infinito a un valor constante de arg ( z ) depende de arg ( z ): esto se llama fenómeno de Stokes . Para | arg ( z ) | <π tenemos la siguiente fórmula asintótica para Ai ( z ): ^[2]

${\displaystyle \operatorname {Ai} (z)\sim {\dfrac {e^{-{\frac {2}{3}}z^{\frac {3}{2}}}}{2{\sqrt {\pi }}\,z^{\frac {1}{4}}}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}\Gamma (n+{\frac {5}{6}})\Gamma (n+{\frac {1}{6}})\left({\frac {3}{4}}\right)^{n}}{2\pi n!z^{3n/2}}}\right].}$

y uno similar para Bi ( z ), pero solo aplicable cuando | arg ( z ) | <π / 3:

${\displaystyle \operatorname {Bi} (z)\sim {\frac {e^{{\frac {2}{3}}z^{\frac {3}{2}}}}{{\sqrt {\pi }}\,z^{\frac {1}{4}}}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {\Gamma (n+{\frac {5}{6}})\Gamma (n+{\frac {1}{6}})\left({\frac {3}{4}}\right)^{n}}{2\pi n!z^{3n/2}}}\right].}$

Una fórmula más precisa para Ai ( z ) y una fórmula para Bi ( z ) cuando π / 3 <| arg ( z ) | <π o, de manera equivalente, para Ai (- z ) y Bi (- z ) cuando | arg ( z ) | <2π / 3 pero no cero, son: ^{[2] [3]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ai} (-z)\sim &{}{\frac {\sin \left({\frac {2}{3}}z^{\frac {3}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)}{{\sqrt {\pi }}\,z^{\frac {1}{4}}}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}\Gamma (2n+{\frac {5}{6}})\Gamma (2n+{\frac {1}{6}})\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n}}{2\pi (2n)!z^{3n}}}\right]\\[6pt]&{}-{\frac {\cos \left({\frac {2}{3}}z^{\frac {3}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)}{{\sqrt {\pi }}\,z^{\frac {1}{4}}}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}\Gamma (2n+{\frac {11}{6}})\Gamma (2n+{\frac {7}{6}})\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n+1}}{2\pi (2n+1)!z^{3n+3/2}}}\right]\\[6pt]\operatorname {Bi} (-z)\sim &{}{\frac {\cos \left({\frac {2}{3}}z^{\frac {3}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)}{{\sqrt {\pi }}\,z^{\frac {1}{4}}}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}\Gamma (2n+{\frac {5}{6}})\Gamma (2n+{\frac {1}{6}})\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n}}{2\pi (2n)!z^{3n}}}\right]\\[6pt]&{}+{\frac {\sin \left({\frac {2}{3}}z^{\frac {3}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)}{{\sqrt {\pi }}\,z^{\frac {1}{4}}}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}\Gamma (2n+{\frac {11}{6}})\Gamma (2n+{\frac {7}{6}})\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n+1}}{2\pi (2n+1)!z^{3n+3/2}}}\right].\end{aligned}}}$

Cuando | arg ( z ) | = 0 estas son buenas aproximaciones pero no son asintóticas porque la relación entre Ai (- z ) o Bi (- z ) y la aproximación anterior llega al infinito siempre que el seno o el coseno llegan a cero. También se encuentran disponibles expansiones asintóticas para estos límites. Estos se enumeran en (Abramowitz y Stegun, 1983) y (Olver, 1974).

También se pueden obtener expresiones asintóticas para las derivadas Ai '(z) y Bi' (z). De manera similar a antes, cuando | arg (z) | <π: ^[3]

$${\displaystyle \operatorname {Ai} '(z)\sim -{\dfrac {z^{\frac {1}{4}}e^{-{\frac {2}{3}}z^{\frac {3}{2}}}}{2{\sqrt {\pi }}\,}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1+6n}{1-6n}}{\dfrac {(-1)^{n}\Gamma (n+{\frac {5}{6}})\Gamma (n+{\frac {1}{6}})\left({\frac {3}{4}}\right)^{n}}{2\pi n!z^{3n/2}}}\right].}$$

Cuando | arg (z) | <π / 3 tenemos: ^[3]

$${\displaystyle \operatorname {Bi} '(z)\sim {\frac {z^{\frac {1}{4}}e^{{\frac {2}{3}}z^{\frac {3}{2}}}}{{\sqrt {\pi }}\,}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1+6n}{1-6n}}{\dfrac {\Gamma (n+{\frac {5}{6}})\Gamma (n+{\frac {1}{6}})\left({\frac {3}{4}}\right)^{n}}{2\pi n!z^{3n/2}}}\right].}$$

De manera similar, una expresión para Ai '(- z ) y Bi' (- z ) cuando | arg ( z ) | <2π / 3 pero no cero, son ^[3]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ai} '(-z)\sim &{}-{\frac {z^{\frac {1}{4}}\cos \left({\frac {2}{3}}z^{\frac {3}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)}{{\sqrt {\pi }}\,}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1+12n}{1-12n}}{\dfrac {(-1)^{n}\Gamma (2n+{\frac {5}{6}})\Gamma (2n+{\frac {1}{6}})\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n}}{2\pi (2n)!z^{3n}}}\right]\\[6pt]&{}-{\frac {z^{\frac {1}{4}}\sin \left({\frac {2}{3}}z^{\frac {3}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)}{{\sqrt {\pi }}\,}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {7+12n}{-5-12n}}{\dfrac {(-1)^{n}\Gamma (2n+{\frac {11}{6}})\Gamma (2n+{\frac {7}{6}})\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n+1}}{2\pi (2n+1)!z^{3n+3/2}}}\right]\\[6pt]\operatorname {Bi} '(-z)\sim &{}{\frac {z^{\frac {1}{4}}\sin \left({\frac {2}{3}}z^{\frac {3}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)}{{\sqrt {\pi }}\,}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1+12n}{1-12n}}{\dfrac {(-1)^{n}\Gamma (2n+{\frac {5}{6}})\Gamma (2n+{\frac {1}{6}})\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n}}{2\pi (2n)!z^{3n}}}\right]\\[6pt]&{}-{\frac {z^{\frac {1}{4}}\cos \left({\frac {2}{3}}z^{\frac {3}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)}{{\sqrt {\pi }}\,}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {7+12n}{-5-12n}}{\dfrac {(-1)^{n}\Gamma (2n+{\frac {11}{6}})\Gamma (2n+{\frac {7}{6}})\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n+1}}{2\pi (2n+1)!z^{3n+3/2}}}\right]\\\end{aligned}}}$$

Argumentos complejos

Podemos extender la definición de la función de Airy al plano complejo por

${\displaystyle \operatorname {Ai} (z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}\exp \left({\tfrac {t^{3}}{3}}-zt\right)\,dt,}$

donde la integral está sobre una ruta C que comienza en el punto en el infinito con el argumento −π / 3 y termina en el punto en el infinito con el argumento π / 3. Alternativamente, podemos usar la ecuación diferencial y ′ ′ - xy = 0 para extender Ai ( x ) y Bi ( x ) a funciones completas en el plano complejo.

La fórmula asintótica para Ai ( x ) sigue siendo válida en el plano complejo si se toma el valor principal de x ^2/3 y x se limita al eje real negativo. La fórmula para Bi ( x ) es válida siempre que x esté en el sector { x ∈ C  : | arg ( x ) | <(π / 3) −δ} para algún δ positivo. Finalmente, las fórmulas para Ai (- x ) y Bi (- x ) son válidas si x está en el sector { x ∈ C  : | arg ( x ) | <(2π / 3) −δ}.

Se deduce del comportamiento asintótico de las funciones de Airy que tanto Ai ( x ) como Bi ( x ) tienen una infinidad de ceros en el eje real negativo. La función Ai ( x ) no tiene otros ceros en el plano complejo, mientras que la función Bi ( x ) también tiene infinitos ceros en el sector { z ∈ C  : π / 3 <| arg ( z ) | <π / 2}.

Parcelas

${\displaystyle \Re \left[\operatorname {Ai} (x+iy)\right]}$	${\displaystyle \Im \left[\operatorname {Ai} (x+iy)\right]}$	${\displaystyle |\operatorname {Ai} (x+iy)|\,}$	${\displaystyle \operatorname {arg} \left[\operatorname {Ai} (x+iy)\right]\,}$

${\displaystyle \Re \left[\operatorname {Bi} (x+iy)\right]}$	${\displaystyle \Im \left[\operatorname {Bi} (x+iy)\right]}$	${\displaystyle |\operatorname {Bi} (x+iy)|\,}$	${\displaystyle \operatorname {arg} \left[\operatorname {Bi} (x+iy)\right]\,}$

Relación con otras funciones especiales

Para argumentos positivos, las funciones de Airy están relacionadas con las funciones de Bessel modificadas :

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ai} (x)&{}={\frac {1}{\pi }}{\sqrt {\frac {x}{3}}}\,K_{\frac {1}{3}}\left({\tfrac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}\right),\\\operatorname {Bi} (x)&{}={\sqrt {\frac {x}{3}}}\left(I_{\frac {1}{3}}\left({\tfrac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}\right)+I_{-{\frac {1}{3}}}\left({\tfrac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}\right)\right).\end{aligned}}}$

Aquí, I _{± 1/3} y K _1/3 son soluciones de

${\displaystyle x^{2}y''+xy'-\left(x^{2}+{\tfrac {1}{9}}\right)y=0.}$

La primera derivada de la función Airy es

${\displaystyle \operatorname {Ai'} (x)=-{\frac {x}{\pi {\sqrt {3}}}}\,K_{\frac {2}{3}}\left({\tfrac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}\right).}$

Las funciones K _1/3 y K _2/3 se pueden representar en términos de integrales rápidamente convergentes ^[4] (ver también funciones de Bessel modificadas )

Para argumentos negativos, la función Airy está relacionada con las funciones de Bessel :

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ai} (-x)&{}={\sqrt {\frac {x}{9}}}\left(J_{\frac {1}{3}}\left({\tfrac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}\right)+J_{-{\frac {1}{3}}}\left({\tfrac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}\right)\right),\\\operatorname {Bi} (-x)&{}={\sqrt {\frac {x}{3}}}\left(J_{-{\frac {1}{3}}}\left({\tfrac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}\right)-J_{\frac {1}{3}}\left({\tfrac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}\right)\right).\end{aligned}}}$

Aquí, J _{± 1/3} son soluciones de

${\displaystyle x^{2}y''+xy'+\left(x^{2}-{\tfrac {1}{9}}\right)y=0.}$

Las funciones del anotador Hi (x) y -Gi (x) resuelven la ecuación y ′ ′ - xy = 1 / π. También se pueden expresar en términos de las funciones de Airy:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Gi} (x)&{}=\operatorname {Bi} (x)\int _{x}^{\infty }\operatorname {Ai} (t)\,dt+\operatorname {Ai} (x)\int _{0}^{x}\operatorname {Bi} (t)\,dt,\\\operatorname {Hi} (x)&{}=\operatorname {Bi} (x)\int _{-\infty }^{x}\operatorname {Ai} (t)\,dt-\operatorname {Ai} (x)\int _{-\infty }^{x}\operatorname {Bi} (t)\,dt.\end{aligned}}}$

Transformada de Fourier

Usando la definición de la función de Airy Ai ( x ), es sencillo mostrar que su transformada de Fourier está dada por

${\displaystyle {\mathcal {F}}(\operatorname {Ai} )(k):=\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {Ai} (x)\ e^{-2\pi ikx}\,dx=e^{{\frac {i}{3}}(2\pi k)^{3}}.}$

Otros usos del término función Airy

Transmitancia de un interferómetro de Fabry-Pérot

"Función Airy" en el sentido de la transmitancia del interferómetro de Fabry-Pérot.

La función de transmitancia de un interferómetro de Fabry-Pérot también se conoce como Función Airy : ^[5]

${\displaystyle T_{e}={\frac {1}{1+F\sin ^{2}({\frac {\delta }{2}})}},}$

donde ambas superficies tienen reflectancia R y

${\displaystyle F={\frac {4R}{(1-R)^{2}}}}$

es el coeficiente de delicadeza .

Difracción en una apertura circular

"Función de aire" en el sentido de la difracción en la apertura circular.

Independientemente, como tercer significado del término, la forma del disco de Airy resultante de la difracción de ondas en una apertura circular a veces también se denota como la función de Airy (ver, por ejemplo, aquí ). Este tipo de función está estrechamente relacionada con la función de Bessel .

Historia

La función Airy lleva el nombre del astrónomo y físico británico George Biddell Airy (1801-1892), quien la encontró en sus primeros estudios sobre óptica en física (Airy 1838). Harold Jeffreys introdujo la notación Ai ( x ) . Airy se había convertido en el Astrónomo Real Británico en 1835, y ocupó ese cargo hasta su jubilación en 1881.

Ver también

• La prueba de la conjetura de Witten utilizó una generalización matricial de la función de Airy.
• Función airy zeta

Notas

1. David E. Aspnes, Revisión física, 147 , 554 (1966)
2. Abramowitz y Stegun (1983 , p. 448), Eqns 10.4.59, 10.4.61
3. Abramowitz y Stegun (1983 , p. 448), ecuaciones 10.4.60 y 10.4.64
4. M.Kh.Khokonov. Procesos en cascada de pérdida de energía por emisión de fotones duros // JETP, V.99, No.4, págs. 690-707 \ (2004).
5. Hecht, Eugene (1987). Óptica (2ª ed.). Addison Wesley. ISBN 0-201-11609-X.Secta. 9,6

Referencias

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. "Capítulo 10" . Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. 55 (Novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Publicaciones de Dover. pag. 448. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036 . Señor  0167642 . LCCN  65-12253 .
• Airy (1838), "Sobre la intensidad de la luz en el vecindario de un cáustico" , Transactions of the Cambridge Philosophical Society , University Press, 6 : 379–402, Bibcode : 1838TCaPS ... 6..379A
• Frank William John Olver (1974). Asintótica y funciones especiales, Capítulo 11. Academic Press, Nueva York.
• Presione, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Sección 6.6.3. Funciones Airy" , Recetas numéricas: El arte de la informática científica (3ª ed.), Nueva York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
• Vallée, Olivier; Soares, Manuel (2004), Funciones y aplicaciones de Airy a la física , Londres: Imperial College Press, ISBN 978-1-86094-478-9, MR  2114198 , Archivado desde el original en 2010-01-13 , recuperada 2010-05-14

enlaces externos

• "Funciones de Airy" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Funciones de Airy" . MathWorld .
• Páginas de funciones de Wolfram para funciones Ai y Bi . Incluye fórmulas, evaluador de funciones y calculadora gráfica.
• Olver, FWJ (2010), "Airy and related functions" , en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), Manual de funciones matemáticas del NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR  2723248