Teorema de sturm
En matemáticas , la secuencia de Sturm de un polinomio univariante p es una secuencia de polinomios asociados con py su derivada por una variante del algoritmo de Euclides para polinomios . El teorema de Sturm expresa el número de raíces reales distintas de p ubicadas en un intervalo en términos del número de cambios de signos de los valores de la secuencia de Sturm en los límites del intervalo. Aplicado al intervalo de todos los números reales, da el número total de raíces reales de p . [1]
Mientras que el teorema fundamental del álgebra arroja fácilmente el número total de raíces complejas , contadas con multiplicidad , no proporciona un procedimiento para calcularlas. El teorema de Sturm cuenta el número de raíces reales distintas y las ubica en intervalos. Al subdividir los intervalos que contienen algunas raíces, puede aislar las raíces en pequeños intervalos arbitrarios, cada uno de los cuales contiene exactamente una raíz. Esto produce el algoritmo de aislamiento de raíz real más antiguo y el algoritmo de búsqueda de raíz de precisión arbitraria para polinomios univariados.
Para calcular sobre los reales , el teorema de Sturm es menos eficiente que otros métodos basados en la regla de los signos de Descartes . Sin embargo, funciona en todos los campos cerrados reales y, por lo tanto, sigue siendo fundamental para el estudio teórico de la complejidad computacional de la decidibilidad y la eliminación de cuantificadores en la teoría de números reales de primer orden.
La secuencia de Sturm y el teorema de Sturm llevan el nombre de Jacques Charles François Sturm , quien descubrió el teorema en 1829. [2]
La cadena de Sturm o secuencia de Sturm de un polinomio univariante P ( x ) con coeficientes reales es la secuencia de polinomios tal que
para i ≥ 1 , donde P ' es la derivada de P , y es el resto de la división euclidiana de por La longitud de la secuencia de Sturm es como máximo el grado de P.
