Un número cardinal κ es subcompacto si y solo si para todo A ⊂ H ( κ + ) existe una incrustación elemental no trivial j:( H ( μ + ), B ) → ( H ( κ + ), A ) (donde H ( κ + ) es el conjunto de todos los conjuntos de cardinalidad hereditariamente menor que κ + ) con punto crítico μ y j ( μ ) = κ .
De manera análoga, κ es un cardinal cuasicompacto si y solo si para todo A ⊂ H ( κ + ) existe una incrustación elemental no trivial j :( H ( κ + ), A ) → ( H ( μ + ), B ) con punto crítico κ y j ( κ ) = μ .
Todo cardenal cuasicompacto es subcompacto. La cuasicompacidad es un fortalecimiento de la subcompacidad en el sentido de que proyecta grandes propiedades cardinales hacia arriba. La relación es análoga a la de cardenales extensibles versus supercompactos . La cuasicompacidad puede verse como una versión reforzada o "en negrita" de 1-extensibilidad. La existencia de cardenales subcompactos implica la existencia de muchos cardenales 1-extensible y, por lo tanto, muchos cardenales superfuertes . La existencia de un cardinal supercompacto de 2 κ implica la existencia de muchos cardinales cuasicompactos.
Los cardenales subcompactos son notables como los cardenales menos grandes que implican una falla del principio del cuadrado . Si κ es subcompacto, entonces el principio del cuadrado falla en κ. Los modelos internos canónicos al nivel de los cardinales subcompactos satisfacen el principio del cuadrado en todos los cardinales excepto en los subcompactos. (Aún no se ha probado la existencia de tales modelos, pero en cualquier caso, el principio del cuadrado puede imponerse a los cardenales más débiles).
La cuasicompacidad es una de las propiedades cardinales grandes más fuertes que pueden observar los modelos internos actuales que no usan extensores largos. Para los modelos internos actuales, las incrustaciones elementales incluidas están determinadas por su efecto en P ( κ ) (como se calcula en la etapa en que se incluye la incrustación), donde κ es el punto crítico. Esto les impide presenciar incluso un κ cardinal fuertemente compacto κ + .