En la teoría de conjuntos , un conjunto se llama hereditariamente numerable si es un conjunto numerable de hereditariamente conjuntos numerables. Esta definición inductiva está bien fundada y puede expresarse en el lenguaje de la teoría de conjuntos de primer orden . Un conjunto es contable hereditariamente si y solo si es contable, y cada elemento de su cierre transitivo es contable. Si se cumple el axioma de elección contable , entonces un conjunto es contable hereditariamente si y solo si su cierre transitivo es contable.
Se puede demostrar que la clase de todos los conjuntos contables hereditariamente es un conjunto a partir de los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF) sin ninguna forma del axioma de elección , y este conjunto se designa. Los conjuntos contables hereditariamente forman un modelo de la teoría de conjuntos de Kripke-Platek con el axioma del infinito (KPI), si el axioma de elección contable se asume en la metateoría .
Si , luego .
Más generalmente, un conjunto es hereditariamente de cardinalidad menor que κ si es de cardinalidad menor que κ, y todos sus elementos son hereditariamente de cardinalidad menor que κ; la clase de todos estos conjuntos también puede demostrarse que es un conjunto a partir de los axiomas de ZF, y se designa. Si el axioma de elección se cumple y el cardinal κ es regular, entonces un conjunto es hereditariamente de cardinalidad menor que κ si y solo si su cierre transitivo es de cardinalidad menor que κ.