Mapeo de contracciones
En matemáticas , un mapeo de contracción o contracción o contratista , en un espacio métrico ( M , d ) es una función f de M a sí mismo, con la propiedad de que hay algún no negativo número real tal que para todo x y y en M ,
El valor más pequeño de k se llama constante de Lipschitz de f . Los mapas contractuales a veces se denominan mapas de Lipschitz . Si, en cambio, se satisface la condición anterior para k ≤ 1, entonces se dice que el mapeo es un mapa no expansivo .
De manera más general, la idea de un mapeo contractivo se puede definir para mapas entre espacios métricos. Por lo tanto, si ( M , d ) y ( N , d ' ) son dos espacios métricos, entonces es un mapeo contractivo si hay una constante tal que
Cada mapeo de contracción es Lipschitz continuo y, por lo tanto, uniformemente continuo (para una función continua de Lipschitz, la constante k ya no es necesariamente menor que 1).
Un mapeo de contracciones tiene como máximo un punto fijo . Además, el teorema del punto fijo de Banach establece que todo mapeo de contracción en un espacio métrico completo no vacío tiene un punto fijo único, y que para cualquier x en M la secuencia de función iterada x , f ( x ), f ( f ( x )), f ( f ( f ( x ))), ... converge al punto fijo. Este concepto es muy útil para sistemas de funciones iteradas.donde a menudo se utilizan mapeos de contracción. El teorema del punto fijo de Banach también se aplica para demostrar la existencia de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias y se usa en una prueba del teorema de la función inversa . [1]
Un mapeo no expansivo con puede ser reforzado para un mapeo firmemente no expansiva en un espacio de Hilbert si se cumple lo siguiente para todos los x y y en :
