En matemáticas, un núcleo de sumabilidad es una familia o secuencia de funciones integrables periódicas que satisfacen un determinado conjunto de propiedades, que se enumeran a continuación. Ciertos núcleos, como el núcleo de Fejér , son particularmente útiles en el análisis de Fourier . Los núcleos de sumabilidad están relacionados con la aproximación de la identidad ; las definiciones de una aproximación de identidad varían, [1] pero a veces se considera que la definición de una aproximación de la identidad es la misma que para un núcleo de sumabilidad.
Definición
Dejar . Un kernel de sumabilidad es una secuencia en que satisface
- (delimitado uniformemente)
- como , para cada .
Tenga en cuenta que si para todos , es decir es un núcleo de sumabilidad positivo , entonces el segundo requisito se sigue automáticamente del primero.
Si en cambio tomamos la convención , la primera ecuación se convierte en , y el límite superior de integración en la tercera ecuación debe extenderse a .
También podemos considerar en vez de ; luego integramos (1) y (2) sobre, y (3) sobre .
Ejemplos de
- El núcleo de Fejér
- El núcleo de Poisson (índice continuo)
- El kernel de Dirichlet no es un kernel de sumabilidad, ya que no cumple con el segundo requisito.
Convoluciones
Dejar ser un núcleo de sumabilidad, y denotar la operación de convolución .
- Si (funciones continuas en ), luego en , es decir, uniformemente, como .
- Si , luego en , como .
- Si es simétrico radialmente decreciente y , luego puntual ae , como. Utiliza la función máxima de Hardy-Littlewood . Si no es simétrico radialmente decreciente, pero la simetrización decreciente satisface , entonces la convergencia ae todavía se mantiene, usando un argumento similar.
Referencias
- ^ Pereyra, María; Ward, Lesley (2012). Análisis armónico: de Fourier a wavelets . Sociedad Matemática Estadounidense. pag. 90.
- Katznelson, Yitzhak (2004), Introducción al análisis armónico , Cambridge University Press, ISBN 0-521-54359-2