Gráfico de los primeros núcleos de Dirichlet que muestra su convergencia a la distribución delta de Dirac .
La importancia del núcleo de Dirichlet proviene de su relación con la serie de Fourier . La convolución de D n ( x ) con cualquier función f del período 2 π es la aproximación de la serie de Fourier de n -ésimo grado af , es decir, tenemos
dónde
es el k- ésimo coeficiente de Fourier de f . Esto implica que para estudiar la convergencia de las series de Fourier basta con estudiar las propiedades del kernel de Dirichlet.
Parcela de los primeros granos de Dirichlet
Norma L 1 de la función del kernel
De particular importancia es el hecho de que la norma L 1 de D n endiverge hasta el infinito cuando n → ∞. Uno puede estimar que
Usando un argumento de suma de Riemann para estimar la contribución en el vecindario más grande de cero en el que es positivo, y la desigualdad de Jensen para la parte restante, también es posible mostrar que:
Esta falta de integrabilidad uniforme está detrás de muchos fenómenos de divergencia para la serie de Fourier. Por ejemplo, junto con el principio de delimitación uniforme , se puede usar para mostrar que la serie de Fourier de una función continua puede fallar en converger puntualmente, de una manera bastante dramática. Consulte la convergencia de la serie de Fourier para obtener más detalles.
Una prueba precisa del primer resultado que es dado por
donde hemos utilizado la identidad de la serie Taylor que y donde son los números armónicos de primer orden .
Relación con la función delta
Tome la función delta periódica de Dirac , [ aclaración necesaria ] que no es una función de una variable real, sino más bien una " función generalizada ", también llamada "distribución", y multiplique por 2 π . Obtenemos el elemento de identidad para la convolución en funciones del período 2 π . En otras palabras, tenemos
para cada función ƒ del período 2 π . La representación en serie de Fourier de esta "función" es
Por lo tanto, el núcleo de Dirichlet, que es solo la secuencia de sumas parciales de esta serie, puede considerarse como una identidad aproximada . Sin embargo, hablando en abstracto, no se trata de una identidad aproximada de elementos positivos (de ahí las fallas mencionadas anteriormente).
que se muestra en la parte superior de este artículo se puede establecer de la siguiente manera. Primero recuerde que la suma de una serie geométrica finita es
En particular, tenemos
Multiplica tanto el numerador como el denominador por , obtener
En el caso tenemos
según sea necesario.
Prueba alternativa de la identidad trigonométrica
Empiece con la serie
Multiplica ambos lados por y usa la identidad trigonométrica
para reducir los términos en la suma.
que se telescopía hasta el resultado.
Variante de identidad
Si la suma es solo sobre números enteros no negativos (que pueden surgir al calcular una transformada discreta de Fourier que no está centrada), entonces usando técnicas similares podemos mostrar la siguiente identidad:
Podkorytov, AN (1988), "Comportamiento asintótico del núcleo de Dirichlet de las sumas de Fourier con respecto a un polígono". Revista de matemáticas soviéticas , 42 (2): 1640-1646. doi: 10.1007 / BF01665052
Levi, H. (1974), "Una construcción geométrica del núcleo de Dirichlet". Transactions of the New York Academy of Sciences , 36: 640–643. doi: 10.1111 / j.2164-0947.1974.tb03023.x