Les séries divergentes sont en général quelque escogió de bien fatal et c'est une honte qu'on ose y fonder aucune demonstration. ("Las series divergentes son en general algo fatal, y es una vergüenza basar cualquier prueba en ellas". A menudo traducido como "Las series divergentes son un invento del diablo...")
En matemáticas , una serie divergente es una serie infinita que no es convergente , lo que significa que la secuencia infinita de las sumas parciales de la serie no tiene un límite finito .
Si una serie converge, los términos individuales de la serie deben aproximarse a cero. Por lo tanto, cualquier serie en la que los términos individuales no se acerquen a cero diverge. Sin embargo, la convergencia es una condición más fuerte: no todas las series cuyos términos se acercan a cero convergen. Un contraejemplo es la serie armónica
En contextos matemáticos especializados, se pueden asignar valores objetivamente a ciertas series cuyas secuencias de sumas parciales divergen, para dar sentido a la divergencia de la serie. Un método de sumabilidad o método de suma es una función parcial del conjunto de series a valores. Por ejemplo, la suma de Cesàro asigna la serie divergente de Grandi
el valor 1 / 2 . La suma de Cesàro es un método de promediación , ya que se basa en la media aritmética de la secuencia de sumas parciales. Otros métodos implican continuaciones analíticas de series relacionadas. En física , existe una amplia variedad de métodos de sumabilidad; estos se discuten con mayor detalle en el artículo sobre regularización .
... pero en líneas generales es cierto decir que los matemáticos anteriores a Cauchy no preguntaron '¿Cómo definiremos 1 − 1 + 1...?' sino '¿Cuánto es 1 − 1 + 1...?', y que este hábito mental los condujo a perplejidades y controversias innecesarias que a menudo eran realmente verbales.