Función aritmética

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Function whose domain is the positive integers

En teoría de números , una función aritmética , aritmética o teórica de números ^{[1] [2]} es para la mayoría de los autores ^{[3] [4] [5]} cualquier función f ( n ) cuyo dominio son los enteros positivos y cuyo rango es un subconjunto de los números complejos . Hardy & Wright incluyen en su definición el requisito de que una función aritmética "exprese alguna propiedad aritmética de n ". ^[6]

Un ejemplo de función aritmética es la función divisor cuyo valor en un entero positivo n es igual al número de divisores de n .

Existe una clase más grande de funciones teóricas de números que no se ajustan a la definición anterior, por ejemplo, las funciones de conteo de números primos . Este artículo proporciona enlaces a funciones de ambas clases.

Las funciones aritméticas son a menudo extremadamente irregulares (ver tabla ), pero algunas de ellas tienen expansiones en serie en términos de la suma de Ramanujan .

Funciones multiplicativas y aditivas

Una función aritmética a es

• completamente aditivo si una ( mn ) = una ( m ) + un ( n ) para todos los números naturales m y n ;
• completamente multiplicativa si un ( mn ) = una ( m ) una ( n ) para todos los números naturales m y n ;

Dos números enteros m y n son llamados primos entre sí , si su máximo común divisor es 1, es decir, si no hay un número primo que divide a los dos.

Entonces una función aritmética a es

• aditivo si una ( mn ) = una ( m ) + un ( n ) para todos los números naturales coprimos m y n ;
• multiplicativo si un ( mn ) = una ( m ) una ( n ) para todos primos entre sí números naturales m y n .

Notación

${\displaystyle \sum _{p}f(p)}$   y     significa que la suma o el producto está sobre todos los números primos :${\displaystyle \prod _{p}f(p)}$

${\displaystyle \sum _{p}f(p)=f(2)+f(3)+f(5)+\cdots }$

${\displaystyle \prod _{p}f(p)=f(2)f(3)f(5)\cdots .}$

De manera similar,     y     significa que la suma o producto está sobre todas las potencias primas con exponente estrictamente positivo (por lo que k = 0 no está incluido):${\displaystyle \sum _{p^{k}}f(p^{k})}$${\displaystyle \prod _{p^{k}}f(p^{k})}$

${\displaystyle \sum _{p^{k}}f(p^{k})=\sum _{p}\sum _{k>0}f(p^{k})=f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(7)+f(8)+f(9)+\cdots }$

${\displaystyle \sum _{d\mid n}f(d)}$   y     significa que la suma o el producto está sobre todos los divisores positivos de n , incluidos 1 y n . Por ejemplo, si n = 12,${\displaystyle \prod _{d\mid n}f(d)}$

${\displaystyle \prod _{d\mid 12}f(d)=f(1)f(2)f(3)f(4)f(6)f(12).\ }$

Las notaciones se pueden combinar:     y     significan que la suma o el producto está sobre todos los divisores primos de n . Por ejemplo, si n = 18,${\displaystyle \sum _{p\mid n}f(p)}$${\displaystyle \prod _{p\mid n}f(p)}$

${\displaystyle \sum _{p\mid 18}f(p)=f(2)+f(3),\ }$

y de manera similar     y     significa que la suma o producto está sobre todas las potencias primas dividiendo n . Por ejemplo, si n = 24,${\displaystyle \sum _{p^{k}\mid n}f(p^{k})}$${\displaystyle \prod _{p^{k}\mid n}f(p^{k})}$

${\displaystyle \prod _{p^{k}\mid 24}f(p^{k})=f(2)f(3)f(4)f(8).\ }$

Ω ( n ), ω ( n ), ν _p ( n ) - descomposición de la potencia principal

El teorema fundamental de la aritmética establece que cualquier entero positivo n se puede representar de forma única como un producto de potencias de primos:     donde p ₁ < p ₂ <... < p _k son primos y a _j son números enteros positivos. (1 viene dado por el producto vacío).${\displaystyle n=p_{1}^{a_{1}}\cdots p_{k}^{a_{k}}}$

A menudo es conveniente escribir esto como un producto infinito sobre todos los números primos, donde todos menos un número finito tienen un exponente cero. Defina la valoración p -ádica ν _p ( n ) como el exponente de la potencia más alta del primo p que divide n . Es decir, si p es uno de los p _i entonces ν _p ( n ) = a _i , de lo contrario es cero. Luego

${\displaystyle n=\prod _{p}p^{\nu _{p}(n)}.}$

En términos de lo anterior, las funciones omega principales ω y Ω están definidas por

ω ( n ) = k ,

Ω ( n ) = a ₁ + a ₂ + ... + a _k .

Para evitar la repetición, siempre que sea posible, las fórmulas para las funciones enumeradas en este artículo se dan en términos de n y los correspondientes p _i , a _i , ω y Ω.

Funciones multiplicativas

σ _k ( n ), τ ( n ), d ( n ) - sumas de divisores

σ k ( n ) es la suma de las k- ésimas potencias de los divisores positivos de n , incluidos 1 y n , donde k es un número complejo.

σ ₁ ( n ) , la suma de los divisores (positivos) de n , generalmente se denota por σ ( n ) .

Dado que un número positivo elevado a cero es uno, σ ₀ ( n ) es, por tanto, el número de divisores (positivos) de n ; generalmente se denota por d ( n ) o τ ( n ) (para el alemán Teiler = divisores).

${\displaystyle \sigma _{k}(n)=\prod _{i=1}^{\omega (n)}{\frac {p_{i}^{(a_{i}+1)k}-1}{p_{i}^{k}-1}}=\prod _{i=1}^{\omega (n)}\left(1+p_{i}^{k}+p_{i}^{2k}+\cdots +p_{i}^{a_{i}k}\right).}$

Establecer k = 0 en el segundo producto da

${\displaystyle \tau (n)=d(n)=(1+a_{1})(1+a_{2})\cdots (1+a_{\omega (n)}).}$

φ ( n ) - Función totient de Euler

φ ( n ) , la función totient Euler, es el número de enteros positivos no mayores de n que son primos entre sí a n .

${\displaystyle \varphi (n)=n\prod _{p\mid n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)=n\left({\frac {p_{1}-1}{p_{1}}}\right)\left({\frac {p_{2}-1}{p_{2}}}\right)\cdots \left({\frac {p_{\omega (n)}-1}{p_{\omega (n)}}}\right).}$

J _k ( n ) - Función de Jordan totient

J k ( n ) , la función totient Jordan, es el número de k -tuplas de enteros positivos a menos de o igual a n que forman una primos entre sí ( k + 1) junto tupla con n . Es una generalización del totient de Euler, φ ( n ) = J ₁ ( n ) .

${\displaystyle J_{k}(n)=n^{k}\prod _{p\mid n}\left(1-{\frac {1}{p^{k}}}\right)=n^{k}\left({\frac {p_{1}^{k}-1}{p_{1}^{k}}}\right)\left({\frac {p_{2}^{k}-1}{p_{2}^{k}}}\right)\cdots \left({\frac {p_{\omega (n)}^{k}-1}{p_{\omega (n)}^{k}}}\right).}$

μ ( n ) - Función de Möbius

μ ( n ) , la función de Möbius, es importante debido a la fórmula de inversión de Möbius . Consulte la convolución de Dirichlet , a continuación.

${\displaystyle \mu (n)={\begin{cases}(-1)^{\omega (n)}=(-1)^{\Omega (n)}&{\text{if }}\;\omega (n)=\Omega (n)\\0&{\text{if }}\;\omega (n)\neq \Omega (n).\end{cases}}}$

Esto implica que μ (1) = 1. (Porque Ω (1) = ω (1) = 0.)

τ ( n ) - Función tau de Ramanujan

τ ( n ) , la función tau de Ramanujan, se define por suidentidad de función generadora :

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}\tau (n)q^{n}=q\prod _{n\geq 1}(1-q^{n})^{24}.}$

Aunque es difícil decir exactamente qué "propiedad aritmética de n " "expresa", ^[7] ( τ ( n ) es (2π) ⁻¹² veces el n- ésimo coeficiente de Fourier en la expansión q de la función discriminante modular ) ^[8] se incluye entre las funciones aritméticas porque es multiplicativo y ocurre en identidades que involucran ciertas funciones σ _k ( n ) y r _k ( n ) (porque estos también son coeficientes en la expansión de formas modulares ).

c _q ( n ) - suma de Ramanujan

c q ( n ) , la suma de Ramanujan, es la suma de lasn-ésimas potencias de las primitivasq-ésimasraíces de la unidad:

${\displaystyle c_{q}(n)=\sum _{\stackrel {1\leq a\leq q}{\gcd(a,q)=1}}e^{2\pi i{\tfrac {a}{q}}n}.}$

Aunque se define como una suma de números complejos (irracional para la mayoría de los valores de q ), es un número entero. Para un valor fijo de n es multiplicativo en q :

Si q y r son primos entre sí , entonces${\displaystyle c_{q}(n)c_{r}(n)=c_{qr}(n).}$

ψ ( n ) - Función psi de Dedekind

La función psi de Dedekind , utilizada en la teoría de funciones modulares , se define mediante la fórmula

${\displaystyle \psi (n)=n\prod _{p|n}\left(1+{\frac {1}{p}}\right).}$

Funciones completamente multiplicativas

λ ( n ) - Función de Liouville

λ ( n ) , la función de Liouville, está definida por

${\displaystyle \lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)}.}$

χ ( n ) - caracteres

Todos los caracteres de Dirichlet χ ( n ) son completamente multiplicativos. Dos personajes tienen notaciones especiales:

El carácter principal (mod n ) se denota por χ ₀ ( a ) (o χ ₁ ( a )). Se define como

${\displaystyle \chi _{0}(a)={\begin{cases}1&{\text{if }}\gcd(a,n)=1,\\0&{\text{if }}\gcd(a,n)\neq 1.\end{cases}}}$

El carácter cuadrático (mod n ) se denota con el símbolo de Jacobi para n impar (no está definido para n par ):

${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {a}{n}}{\Bigg )}=\left({\frac {a}{p_{1}}}\right)^{a_{1}}\left({\frac {a}{p_{2}}}\right)^{a_{2}}\cdots \left({\frac {a}{p_{\omega (n)}}}\right)^{a_{\omega (n)}}.}$

En esta fórmula es el símbolo de Legendre , definida para todos los números enteros a y todos primos impares p por${\displaystyle ({\tfrac {a}{p}})}$

${\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)={\begin{cases}\;\;\,0&{\text{if }}a\equiv 0{\pmod {p}},\\+1&{\text{if }}a\not \equiv 0{\pmod {p}}{\text{ and for some integer }}x,\;a\equiv x^{2}{\pmod {p}}\\-1&{\text{if there is no such }}x.\end{cases}}}$

Siguiendo la convención normal para el producto vacío, ${\displaystyle \left({\frac {a}{1}}\right)=1.}$

Funciones aditivas

ω ( n ) - divisores primos distintos

ω ( n ) , definido anteriormente como el número de primos distintos que dividen n , es aditivo (consulte la función Prime omega ).

Funciones completamente aditivas

Ω ( n ) - divisores primos

Ω ( n ) , definido anteriormente como el número de factores primos de n contados con multiplicidades, es completamente aditivo (consulte la función Prime omega ).

ν _p ( n ) - p -valuación ádica de un número entero n

Para un primo fijo p , ν _p ( n ) , definido anteriormente como el exponente de la mayor potencia de p que divide n , es completamente aditivo.

Ni multiplicativo ni aditivo

π ( x ), Π ( x ), θ ( x ), ψ ( x ) - funciones de conteo de primos

Estas funciones importantes (que no son funciones aritméticas) se definen para argumentos reales no negativos y se utilizan en los diversos enunciados y demostraciones del teorema de los números primos . Son funciones de suma (ver la sección principal justo debajo) de funciones aritméticas que no son ni multiplicativas ni aditivas.

π ( x ) , la función de conteo de primos, es el número de primos que no excedenx. Es la función sumatoria de lafunción característicade los números primos.

${\displaystyle \pi (x)=\sum _{p\leq x}1}$

Una función relacionada cuenta los poderes primos con peso 1 para los números primos, 1/2 para sus cuadrados, 1/3 para los cubos, ... Es la función de suma de la función aritmética que toma el valor 1 / k en los enteros que son los k -ésima potencia de algún número primo y el valor 0 en otros enteros.

${\displaystyle \Pi (x)=\sum _{p^{k}\leq x}{\frac {1}{k}}.}$

θ ( x ) y ψ ( x ), las funciones de Chebyshev, se definen como sumas de los logaritmos naturales de los números primos que no excedenx.

${\displaystyle \vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p,}$

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{p^{k}\leq x}\log p.}$

La función de Chebyshev ψ ( x ) es la función de suma de la función de von Mangoldt justo debajo.

Λ ( n ) - función de von Mangoldt

Λ ( n ) , la función de von Mangoldt, es 0 a menos que el argumento n sea ​​una potencia prima p ^k , en cuyo caso es el logaritmo natural de la prima p :

${\displaystyle \Lambda (n)={\begin{cases}\log p&{\text{if }}n=2,3,4,5,7,8,9,11,13,16,\ldots =p^{k}{\text{ is a prime power}}\\0&{\text{if }}n=1,6,10,12,14,15,18,20,21,\dots \;\;\;\;{\text{ is not a prime power}}.\end{cases}}}$

p ( n ) - función de partición

p ( n ) , la función de partición, es el número de formas de representarncomo una suma de enteros positivos, donde dos representaciones con los mismos sumandos en un orden diferente no se cuentan como diferentes:

${\displaystyle p(n)=|\left\{(a_{1},a_{2},\dots a_{k}):0<a_{1}\leq a_{2}\leq \cdots \leq a_{k}\;\land \;n=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{k}\right\}|.}$

λ ( n ) - Función de Carmichael

λ ( n ) , la función de Carmichael, es el número positivo más pequeño de tal manera que   para todosunprimos entre sí an. De manera equivalente, es elmínimo común múltiplode los órdenes de los elementos delgrupo multiplicativo de enteros módulo n .${\displaystyle a^{\lambda (n)}\equiv 1{\pmod {n}}}$

Para potencias de primos impares y para 2 y 4, λ ( n ) es igual a la función totiente de Euler de n ; para potencias de 2 mayores que 4 es igual a la mitad de la función de Euler totient de n :

${\displaystyle \lambda (n)={\begin{cases}\;\;\phi (n)&{\text{if }}n=2,3,4,5,7,9,11,13,17,19,23,25,27,\dots \\{\tfrac {1}{2}}\phi (n)&{\text{if }}n=8,16,32,64,\dots \end{cases}}}$

y para n general es el mínimo común múltiplo de λ de cada uno de los factores primos de potencia de n :

${\displaystyle \lambda (p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}\dots p_{\omega (n)}^{a_{\omega (n)}})=\operatorname {lcm} [\lambda (p_{1}^{a_{1}}),\;\lambda (p_{2}^{a_{2}}),\dots ,\lambda (p_{\omega (n)}^{a_{\omega (n)}})].}$

h ( n ) - Número de clase

h ( n ) , la función de número de clase, es el orden delgrupodeclase idealde una extensión algebraica de los racionales condiscriminante n. La notación es ambigua, ya que en general hay muchas extensiones con el mismo discriminante. Vercampo cuadráticoycampociclotómicopara ejemplos clásicos.

r _k ( n ) - Suma de k cuadrados

r k ( n ) es el número de formas en quense puede representar como la suma dekcuadrados, donde las representaciones que difieren solo en el orden de los sumandos o en los signos de las raíces cuadradas se cuentan como diferentes.

${\displaystyle r_{k}(n)=|\{(a_{1},a_{2},\dots ,a_{k}):n=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{k}^{2}\}|}$

D ( n ) - Derivada aritmética

Usando la notación de Heaviside para la derivada, D ( n ) es una función tal que

${\displaystyle D(n)=1}$si n primo, y

${\displaystyle D(mn)=mD(n)+D(m)n}$( Regla de producto )

Funciones de suma

Dada una función aritmética a ( n ), su función de suma A ( x ) está definida por

${\displaystyle A(x):=\sum _{n\leq x}a(n).}$

A se puede considerar como una función de una variable real. Dado un entero positivo m , A es constante a lo largo de intervalos abiertos m < x < m + 1, y tiene una discontinuidad de salto en cada entero para el cual a ( m ) ≠ 0.

Dado que tales funciones a menudo se representan mediante series e integrales, para lograr la convergencia puntual es habitual definir el valor en las discontinuidades como el promedio de los valores a la izquierda y a la derecha:

${\displaystyle A_{0}(m):={\frac {1}{2}}\left(\sum _{n<m}a(n)+\sum _{n\leq m}a(n)\right)=A(m)-{\frac {1}{2}}a(m).}$

Los valores individuales de las funciones aritméticas pueden fluctuar enormemente, como en la mayoría de los ejemplos anteriores. Las funciones de suma "suavizan" estas fluctuaciones. En algunos casos, puede ser posible encontrar un comportamiento asintótico para la función de suma para x grande .

Un ejemplo clásico de este fenómeno ^[9] está dado por la función sumatoria divisor , la función sumatoria de d ( n ), el número de divisores de n :

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }d(n)=2}$

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {\log d(n)\log \log n}{\log n}}=\log 2}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {d(1)+d(2)+\cdots +d(n)}{\log(1)+\log(2)+\cdots +\log(n)}}=1.}$

Un orden promedio de una función aritmética es una función más simple o mejor entendida que tiene la misma función de suma asintóticamente y, por lo tanto, toma los mismos valores "en promedio". Decimos que g es un orden promedio de f si

${\displaystyle \sum _{n\leq x}f(n)\sim \sum _{n\leq x}g(n)}$

como x tiende a infinito. El ejemplo anterior muestra que d ( n ) tiene el orden promedio log ( n ). ^[10]

Convolución de Dirichlet

Dada una función aritmética a ( n ), sea F _a ( s ), para s complejos , la función definida por la serie de Dirichlet correspondiente (donde converge ): ^[11]

${\displaystyle F_{a}(s):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}.}$

F _a ( s ) se denomina función generadora de a ( n ). La serie más simple de este tipo, correspondiente a la función constante a ( n ) = 1 para todo n , es ς ( s ) la función zeta de Riemann .

La función generadora de la función de Möbius es la inversa de la función zeta:

${\displaystyle \zeta (s)\,\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}=1,\;\;{\mathfrak {R}}\,s>0.}$

Consideremos dos funciones aritméticas una y B y sus respectivas funciones generadoras F _una ( s ) y F _b ( s ). El producto F _a ( s ) F _b ( s ) se puede calcular de la siguiente manera:

${\displaystyle F_{a}(s)F_{b}(s)=\left(\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {a(m)}{m^{s}}}\right)\left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {b(n)}{n^{s}}}\right).}$

Es un ejercicio sencillo demostrar que si c ( n ) está definido por

${\displaystyle c(n):=\sum _{ij=n}a(i)b(j)=\sum _{i\mid n}a(i)b\left({\frac {n}{i}}\right),}$

luego

${\displaystyle F_{c}(s)=F_{a}(s)F_{b}(s).}$

Esta función c se denomina la convolución de Dirichlet de una y b , y se denota por .${\displaystyle a*b}$

Un caso particularmente importante es la convolución con la función constante a ( n ) = 1 para todo n , correspondiente a multiplicar la función generadora por la función zeta:

${\displaystyle g(n)=\sum _{d\mid n}f(d).}$

Multiplicar por la inversa de la función zeta da la fórmula de inversión de Möbius :

${\displaystyle f(n)=\sum _{d\mid n}\mu \left({\frac {n}{d}}\right)g(d).}$

Si f es multiplicativo, entonces también lo es g . Si f es completamente multiplicativo, entonces g es multiplicativo, pero puede o no ser completamente multiplicativo.

Relaciones entre las funciones

Hay muchas fórmulas que conectan las funciones aritméticas entre sí y con las funciones de análisis, especialmente potencias, raíces y funciones exponenciales y logarítmicas. La página de identidades de suma de divisores contiene muchos ejemplos más generalizados y relacionados de identidades que involucran funciones aritméticas.

Aquí están algunos ejemplos:

Convoluciones de Dirichlet

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\mu (\delta )=\sum _{\delta \mid n}\lambda \left({\frac {n}{\delta }}\right)|\mu (\delta )|={\begin{cases}1&{\text{if }}n=1\\0&{\text{if }}n\neq 1\end{cases}}}$     donde λ es la función de Liouville. ^[12]

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\varphi (\delta )=n.}$      ^[13]

${\displaystyle \varphi (n)=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)\delta =n\sum _{\delta \mid n}{\frac {\mu (\delta )}{\delta }}.}$       Inversión de Moebius

${\displaystyle \sum _{d\mid n}J_{k}(d)=n^{k}.}$      ^[14]

${\displaystyle J_{k}(n)=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)\delta ^{k}=n^{k}\sum _{\delta \mid n}{\frac {\mu (\delta )}{\delta ^{k}}}.}$       Inversión de Moebius

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\delta ^{s}J_{r}(\delta )J_{s}\left({\frac {n}{\delta }}\right)=J_{r+s}(n)}$      ^[15]

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\varphi (\delta )d\left({\frac {n}{\delta }}\right)=\sigma (n).}$      ^{[16] [17]}

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}|\mu (\delta )|=2^{\omega (n)}.}$      ^[18]

${\displaystyle |\mu (n)|=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)2^{\omega (\delta )}.}$       Inversión de Moebius

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}2^{\omega (\delta )}=d(n^{2}).}$      

${\displaystyle 2^{\omega (n)}=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)d(\delta ^{2}).}$       Inversión de Moebius

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}d(\delta ^{2})=d^{2}(n).}$      

${\displaystyle d(n^{2})=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)d^{2}(\delta ).}$       Inversión de Moebius

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}d\left({\frac {n}{\delta }}\right)2^{\omega (\delta )}=d^{2}(n).}$      

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\lambda (\delta )={\begin{cases}&1{\text{ if }}n{\text{ is a square }}\\&0{\text{ if }}n{\text{ is not square.}}\end{cases}}}$     donde λ es la función de Liouville .

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\Lambda (\delta )=\log n.}$      ^[19]

${\displaystyle \Lambda (n)=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)\log(\delta ).}$       Inversión de Moebius

Sumas de cuadrados

Para todos     ( teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange ).${\displaystyle k\geq 4,\;\;\;r_{k}(n)>0.}$

${\displaystyle r_{2}(n)=4\sum _{d\mid n}\left({\frac {-4}{d}}\right),}$ ^[20]

donde el símbolo de Kronecker tiene los valores

${\displaystyle \left({\frac {-4}{n}}\right)={\begin{cases}+1&{\text{if }}n\equiv 1{\pmod {4}}\\-1&{\text{if }}n\equiv 3{\pmod {4}}\\\;\;\;0&{\text{if }}n{\text{ is even}}.\\\end{cases}}}$

Hay una fórmula para r ₃ en la sección de números de clase a continuación.

${\displaystyle r_{4}(n)=8\sum _{\stackrel {d\mid n}{4\,\nmid \,d}}d=8(2+(-1)^{n})\sum _{\stackrel {d\mid n}{2\,\nmid \,d}}d={\begin{cases}8\sigma (n)&{\text{if }}n{\text{ is odd }}\\24\sigma \left({\frac {n}{2^{\nu }}}\right)&{\text{if }}n{\text{ is even }}\end{cases}},}$    

donde ν = ν ₂ ( n ) .    ^{[21] [22] [23]}

${\displaystyle r_{6}(n)=16\sum _{d\mid n}\chi \left({\frac {n}{d}}\right)d^{2}-4\sum _{d\mid n}\chi (d)d^{2},}$

donde ^[24]${\displaystyle \chi (n)=\left({\frac {-4}{n}}\right).}$

Defina la función σ _k ^* ( n ) como ^[25]

${\displaystyle \sigma _{k}^{*}(n)=(-1)^{n}\sum _{d\mid n}(-1)^{d}d^{k}={\begin{cases}\sum _{d\mid n}d^{k}=\sigma _{k}(n)&{\text{if }}n{\text{ is odd }}\\\sum _{\stackrel {d\mid n}{2\,\mid \,d}}d^{k}-\sum _{\stackrel {d\mid n}{2\,\nmid \,d}}d^{k}&{\text{if }}n{\text{ is even}}.\end{cases}}}$

Es decir, si n es impar, σ _k ^* ( n ) es la suma de las k- ésimas potencias de los divisores de n , es decir, σ _k ( n ), y si n es par es la suma de las k- ésimas potencias de los divisores pares de n menos la suma de las potencias k de los divisores impares de n .

${\displaystyle r_{8}(n)=16\sigma _{3}^{*}(n).}$    ^{[24] [26]}

Adopte la convención de que τ ( x ) = 0 de Ramanujan si x no es un número entero.

${\displaystyle r_{24}(n)={\frac {16}{691}}\sigma _{11}^{*}(n)+{\frac {128}{691}}\left\{(-1)^{n-1}259\tau (n)-512\tau \left({\frac {n}{2}}\right)\right\}}$    ^[27]

Convoluciones de suma de divisor

Aquí, "convolución" no significa "convolución de Dirichlet", sino que se refiere a la fórmula para los coeficientes del producto de dos series de potencias :

${\displaystyle \left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}x^{n}\right)=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i}b_{j}x^{i+j}=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}\right)x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}.}$

La secuencia se llama convolución o producto de Cauchy de las secuencias a _n y b _n . Estas fórmulas pueden probarse analíticamente (ver la serie de Eisenstein ) o por métodos elementales. ^[28]${\displaystyle c_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}}$

${\displaystyle \sigma _{3}(n)={\frac {1}{5}}\left\{6n\sigma _{1}(n)-\sigma _{1}(n)+12\sum _{0<k<n}\sigma _{1}(k)\sigma _{1}(n-k)\right\}.}$    ^[29]

${\displaystyle \sigma _{5}(n)={\frac {1}{21}}\left\{10(3n-1)\sigma _{3}(n)+\sigma _{1}(n)+240\sum _{0<k<n}\sigma _{1}(k)\sigma _{3}(n-k)\right\}.}$    ^[30]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{7}(n)&={\frac {1}{20}}\left\{21(2n-1)\sigma _{5}(n)-\sigma _{1}(n)+504\sum _{0<k<n}\sigma _{1}(k)\sigma _{5}(n-k)\right\}\\&=\sigma _{3}(n)+120\sum _{0<k<n}\sigma _{3}(k)\sigma _{3}(n-k).\end{aligned}}}$    ^{[30] [31]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{9}(n)&={\frac {1}{11}}\left\{10(3n-2)\sigma _{7}(n)+\sigma _{1}(n)+480\sum _{0<k<n}\sigma _{1}(k)\sigma _{7}(n-k)\right\}\\&={\frac {1}{11}}\left\{21\sigma _{5}(n)-10\sigma _{3}(n)+5040\sum _{0<k<n}\sigma _{3}(k)\sigma _{5}(n-k)\right\}.\end{aligned}}}$    ^{[29] [32]}

${\displaystyle \tau (n)={\frac {65}{756}}\sigma _{11}(n)+{\frac {691}{756}}\sigma _{5}(n)-{\frac {691}{3}}\sum _{0<k<n}\sigma _{5}(k)\sigma _{5}(n-k),}$     donde τ ( n ) es la función de Ramanujan.    ^{[33] [34]}

Dado que σ _k ( n ) (para el número natural k ) y τ ( n ) son números enteros, las fórmulas anteriores se pueden usar para demostrar las congruencias ^[35] de las funciones. Consulte la función tau de Ramanujan para ver algunos ejemplos.

Amplíe el dominio de la función de partición estableciendo p (0) = 1.

${\displaystyle p(n)={\frac {1}{n}}\sum _{1\leq k\leq n}\sigma (k)p(n-k).}$    ^[36]   Esta recurrencia se puede utilizar para calcular p ( n ).

Número de clase relacionado

Peter Gustav Lejeune Dirichlet descubrió fórmulas que relacionan el número de clase h de los campos numéricos cuadráticos con el símbolo de Jacobi. ^[37]

Un entero D se denomina discriminante fundamental si es el discriminante de un campo numérico cuadrático. Esto es equivalente a D ≠ 1 y a) D es sin cuadrados y D ≡ 1 (mod 4) ob) D ≡ 0 (mod 4), D / 4 es sin cuadrados y D / 4 ≡ 2 o 3 (mod 4) ). ^[38]

Extienda el símbolo de Jacobi para aceptar números pares en el "denominador" definiendo el símbolo de Kronecker :

${\displaystyle \left({\frac {a}{2}}\right)={\begin{cases}\;\;\,0&{\text{ if }}a{\text{ is even}}\\(-1)^{\frac {a^{2}-1}{8}}&{\text{ if }}a{\text{ is odd. }}\end{cases}}}$

Entonces, si D <−4 es un discriminante fundamental ^{[39] [40]}

${\displaystyle {\begin{aligned}h(D)&={\frac {1}{D}}\sum _{r=1}^{|D|}r\left({\frac {D}{r}}\right)\\&={\frac {1}{2-\left({\tfrac {D}{2}}\right)}}\sum _{r=1}^{|D|/2}\left({\frac {D}{r}}\right).\end{aligned}}}$

También hay una fórmula que relaciona r ₃ y h . De nuevo, sea D un discriminante fundamental, D <−4. Entonces ^[41]

${\displaystyle r_{3}(|D|)=12\left(1-\left({\frac {D}{2}}\right)\right)h(D).}$

Relacionado con el conteo principal

Sea   el n- ésimo número armónico . Luego${\displaystyle H_{n}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}}$

${\displaystyle \sigma (n)\leq H_{n}+e^{H_{n}}\log H_{n}}$   es verdadera para todo número natural n si y solo si la hipótesis de Riemann es verdadera.    ^[42]

La hipótesis de Riemann también es equivalente a la afirmación de que, para todo n > 5040,

${\displaystyle \sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n}$     (donde γ es la constante de Euler-Mascheroni ). Este es el teorema de Robin .

${\displaystyle \sum _{p}\nu _{p}(n)=\Omega (n).}$

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n).}$    ^[43]

${\displaystyle \Pi (x)=\sum _{n\leq x}{\frac {\Lambda (n)}{\log n}}.}$    ^[44]

${\displaystyle e^{\theta (x)}=\prod _{p\leq x}p.}$    ^[45]

${\displaystyle e^{\psi (x)}=\operatorname {lcm} [1,2,\dots ,\lfloor x\rfloor ].}$    ^[46]

Identidad de Menon

En 1965, P Kesava Menon demostró ^[47]

${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}\gcd(k-1,n)=\varphi (n)d(n).}$

Esto ha sido generalizado por varios matemáticos. Por ejemplo,

B. Sury ^[48]

${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k_{1},k_{2},\dots ,k_{s}\leq n}{\gcd(k_{1},n)=1}}\gcd(k_{1}-1,k_{2},\dots ,k_{s},n)=\varphi (n)\sigma _{s-1}(n).}$

N. Rao ^[49]

${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k_{1},k_{2},\dots ,k_{s}\leq n}{\gcd(k_{1},k_{2},\dots ,k_{s},n)=1}}\gcd(k_{1}-a_{1},k_{2}-a_{2},\dots ,k_{s}-a_{s},n)^{s}=J_{s}(n)d(n),}$

donde a ₁ , a ₂ , ..., a _s son números enteros, mcd ( a ₁ , a ₂ , ..., a _s , n ) = 1.

László Fejes Tóth ^[50]

${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k\leq m}{\gcd(k,m)=1}}\gcd(k^{2}-1,m_{1})\gcd(k^{2}-1,m_{2})=\varphi (n)\sum _{\stackrel {d_{1}\mid m_{1}}{d_{2}\mid m_{2}}}\varphi (\gcd(d_{1},d_{2}))2^{\omega (\operatorname {lcm} (d_{1},d_{2}))},}$

donde m ₁ y m ₂ son impares, m = lcm ( m ₁ , m ₂ ).

De hecho, si f es cualquier función aritmética ^{[51] [52]}

${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}f(\gcd(k-1,n))=\varphi (n)\sum _{d\mid n}{\frac {(\mu *f)(d)}{\varphi (d)}},}$

donde * representa la convolución de Dirichlet.

Diverso

Dejar que m y n ser distinto, extraño, y positivo. Entonces el símbolo de Jacobi satisface la ley de reciprocidad cuadrática :

${\displaystyle \left({\frac {m}{n}}\right)\left({\frac {n}{m}}\right)=(-1)^{(m-1)(n-1)/4}.}$    

Sea D ( n ) la derivada aritmética. Entonces la derivada logarítmica

${\displaystyle {\frac {D(n)}{n}}=\sum _{\stackrel {p\mid n}{p{\text{ prime}}}}{\frac {v_{p}(n)}{p}}}$ ^[53]

Sea λ ( n ) la función de Liouville. Luego

${\displaystyle |\lambda (n)|\mu (n)=\lambda (n)|\mu (n)|=\mu (n),}$     y

${\displaystyle \lambda (n)\mu (n)=|\mu (n)|=\mu ^{2}(n).}$    

Sea λ ( n ) la función de Carmichael. Luego

${\displaystyle \lambda (n)\mid \phi (n).}$     Más lejos,

${\displaystyle \lambda (n)=\phi (n){\text{ if and only if }}n={\begin{cases}1,2,4;\\3,5,7,9,11,\ldots {\text{ (that is, }}p^{k}{\text{, where }}p{\text{ is an odd prime)}};\\6,10,14,18,\ldots {\text{ (that is, }}2p^{k}{\text{, where }}p{\text{ is an odd prime)}}.\end{cases}}}$

Consulte Grupo multiplicativo de números enteros módulo n y Raíz primitiva módulo n .  

${\displaystyle 2^{\omega (n)}\leq d(n)\leq 2^{\Omega (n)}.}$    ^{[54] [55]}

${\displaystyle {\frac {6}{\pi ^{2}}}<{\frac {\phi (n)\sigma (n)}{n^{2}}}<1.}$    ^[56]

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{q}(n)&={\frac {\mu \left({\frac {q}{\gcd(q,n)}}\right)}{\phi \left({\frac {q}{\gcd(q,n)}}\right)}}\phi (q)\\&=\sum _{\delta \mid \gcd(q,n)}\mu \left({\frac {q}{\delta }}\right)\delta .\end{aligned}}}$    ^[57]     Tenga en cuenta que   ^[58]${\displaystyle \phi (q)=\sum _{\delta \mid q}\mu \left({\frac {q}{\delta }}\right)\delta .}$    

${\displaystyle c_{q}(1)=\mu (q).}$

${\displaystyle c_{q}(q)=\phi (q).}$

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}d^{3}(\delta )=\left(\sum _{\delta \mid n}d(\delta )\right)^{2}.}$    ^[59]   Compare esto con 1 ³ + 2 ³ + 3 ³ + ... + n ³ = (1 + 2 + 3 + ... + n ) ²

${\displaystyle d(uv)=\sum _{\delta \mid \gcd(u,v)}\mu (\delta )d\left({\frac {u}{\delta }}\right)d\left({\frac {v}{\delta }}\right).}$    ^[60]

${\displaystyle \sigma _{k}(u)\sigma _{k}(v)=\sum _{\delta \mid \gcd(u,v)}\delta ^{k}\sigma _{k}\left({\frac {uv}{\delta ^{2}}}\right).}$    ^[61]

${\displaystyle \tau (u)\tau (v)=\sum _{\delta \mid \gcd(u,v)}\delta ^{11}\tau \left({\frac {uv}{\delta ^{2}}}\right),}$     donde τ ( n ) es la función de Ramanujan.    ^[62]

Primeros 100 valores de algunas funciones aritméticas

norte	factorización	φ ( n )	ω ( n )	Ω ( n )	λ ( n )	μ ( n )	Λ ( n )	π ( n )	σ 0 ( n )	σ 1 ( n )	σ 2 ( n )	r 2 ( n )	r 3 ( n )	r 4 ( n )
1	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	1	4	6	8
2	2	1	1	1	−1	−1	0,69	1	2	3	5	4	12	24
3	3	2	1	1	−1	−1	1,10	2	2	4	10	0	8	32
4	2 2	2	1	2	1	0	0,69	2	3	7	21	4	6	24
5	5	4	1	1	−1	−1	1,61	3	2	6	26	8	24	48
6	2 · 3	2	2	2	1	1	0	3	4	12	50	0	24	96
7	7	6	1	1	−1	−1	1,95	4	2	8	50	0	0	64
8	2 3	4	1	3	−1	0	0,69	4	4	15	85	4	12	24
9	3 2	6	1	2	1	0	1,10	4	3	13	91	4	30	104
10	2 · 5	4	2	2	1	1	0	4	4	18	130	8	24	144
11	11	10	1	1	−1	−1	2,40	5	2	12	122	0	24	96
12	2 2 · 3	4	2	3	−1	0	0	5	6	28	210	0	8	96
13	13	12	1	1	−1	−1	2,56	6	2	14	170	8	24	112
14	2 · 7	6	2	2	1	1	0	6	4	24	250	0	48	192
15	3 · 5	8	2	2	1	1	0	6	4	24	260	0	0	192
dieciséis	2 4	8	1	4	1	0	0,69	6	5	31	341	4	6	24
17	17	dieciséis	1	1	−1	−1	2,83	7	2	18	290	8	48	144
18	2 · 3 2	6	2	3	−1	0	0	7	6	39	455	4	36	312
19	19	18	1	1	−1	−1	2,94	8	2	20	362	0	24	160
20	2 2 · 5	8	2	3	−1	0	0	8	6	42	546	8	24	144
21	3 · 7	12	2	2	1	1	0	8	4	32	500	0	48	256
22	2 · 11	10	2	2	1	1	0	8	4	36	610	0	24	288
23	23	22	1	1	−1	−1	3,14	9	2	24	530	0	0	192
24	2 3 · 3	8	2	4	1	0	0	9	8	60	850	0	24	96
25	5 2	20	1	2	1	0	1,61	9	3	31	651	12	30	248
26	2 · 13	12	2	2	1	1	0	9	4	42	850	8	72	336
27	3 3	18	1	3	−1	0	1,10	9	4	40	820	0	32	320
28	2 2 · 7	12	2	3	−1	0	0	9	6	56	1050	0	0	192
29	29	28	1	1	−1	−1	3.37	10	2	30	842	8	72	240
30	2 · 3 · 5	8	3	3	−1	−1	0	10	8	72	1300	0	48	576
31	31	30	1	1	−1	−1	3,43	11	2	32	962	0	0	256
32	2 5	dieciséis	1	5	−1	0	0,69	11	6	63	1365	4	12	24
33	3 · 11	20	2	2	1	1	0	11	4	48	1220	0	48	384
34	2 · 17	dieciséis	2	2	1	1	0	11	4	54	1450	8	48	432
35	5 · 7	24	2	2	1	1	0	11	4	48	1300	0	48	384
36	2 2 · 3 2	12	2	4	1	0	0	11	9	91	1911	4	30	312
37	37	36	1	1	−1	−1	3,61	12	2	38	1370	8	24	304
38	2 · 19	18	2	2	1	1	0	12	4	60	1810	0	72	480
39	3 · 13	24	2	2	1	1	0	12	4	56	1700	0	0	448
40	2 3 · 5	dieciséis	2	4	1	0	0	12	8	90	2210	8	24	144
41	41	40	1	1	−1	−1	3,71	13	2	42	1682	8	96	336
42	2 · 3 · 7	12	3	3	−1	−1	0	13	8	96	2500	0	48	768
43	43	42	1	1	−1	−1	3,76	14	2	44	1850	0	24	352
44	2 2 · 11	20	2	3	−1	0	0	14	6	84	2562	0	24	288
45	3 2 · 5	24	2	3	−1	0	0	14	6	78	2366	8	72	624
46	2 · 23	22	2	2	1	1	0	14	4	72	2650	0	48	576
47	47	46	1	1	−1	−1	3,85	15	2	48	2210	0	0	384
48	2 4 · 3	dieciséis	2	5	−1	0	0	15	10	124	3410	0	8	96
49	7 2	42	1	2	1	0	1,95	15	3	57	2451	4	54	456
50	2 · 5 2	20	2	3	−1	0	0	15	6	93	3255	12	84	744
51	3 · 17	32	2	2	1	1	0	15	4	72	2900	0	48	576
52	2 2 · 13	24	2	3	−1	0	0	15	6	98	3570	8	24	336
53	53	52	1	1	−1	−1	3,97	dieciséis	2	54	2810	8	72	432
54	2 · 3 3	18	2	4	1	0	0	dieciséis	8	120	4100	0	96	960
55	5 · 11	40	2	2	1	1	0	dieciséis	4	72	3172	0	0	576
56	2 3 · 7	24	2	4	1	0	0	dieciséis	8	120	4250	0	48	192
57	3 · 19	36	2	2	1	1	0	dieciséis	4	80	3620	0	48	640
58	2 · 29	28	2	2	1	1	0	dieciséis	4	90	4210	8	24	720
59	59	58	1	1	−1	−1	4.08	17	2	60	3482	0	72	480
60	2 2 · 3 · 5	dieciséis	3	4	1	0	0	17	12	168	5460	0	0	576
61	61	60	1	1	−1	−1	4.11	18	2	62	3722	8	72	496
62	2 · 31	30	2	2	1	1	0	18	4	96	4810	0	96	768
63	3 2 · 7	36	2	3	−1	0	0	18	6	104	4550	0	0	832
64	2 6	32	1	6	1	0	0,69	18	7	127	5461	4	6	24
sesenta y cinco	5 · 13	48	2	2	1	1	0	18	4	84	4420	dieciséis	96	672
66	2 · 3 · 11	20	3	3	−1	−1	0	18	8	144	6100	0	96	1152
67	67	66	1	1	−1	−1	4.20	19	2	68	4490	0	24	544
68	2 2 · 17	32	2	3	−1	0	0	19	6	126	6090	8	48	432
69	3 · 23	44	2	2	1	1	0	19	4	96	5300	0	96	768
70	2 · 5 · 7	24	3	3	−1	−1	0	19	8	144	6500	0	48	1152
71	71	70	1	1	−1	−1	4.26	20	2	72	5042	0	0	576
72	2 3 · 3 2	24	2	5	−1	0	0	20	12	195	7735	4	36	312
73	73	72	1	1	−1	−1	4.29	21	2	74	5330	8	48	592
74	2 · 37	36	2	2	1	1	0	21	4	114	6850	8	120	912
75	3 · 5 2	40	2	3	−1	0	0	21	6	124	6510	0	56	992
76	2 2 · 19	36	2	3	−1	0	0	21	6	140	7602	0	24	480
77	7 · 11	60	2	2	1	1	0	21	4	96	6100	0	96	768
78	2 · 3 · 13	24	3	3	−1	−1	0	21	8	168	8500	0	48	1344
79	79	78	1	1	−1	−1	4.37	22	2	80	6242	0	0	640
80	2 4 · 5	32	2	5	−1	0	0	22	10	186	8866	8	24	144
81	3 4	54	1	4	1	0	1,10	22	5	121	7381	4	102	968
82	2 · 41	40	2	2	1	1	0	22	4	126	8410	8	48	1008
83	83	82	1	1	−1	−1	4.42	23	2	84	6890	0	72	672
84	2 2 · 3 · 7	24	3	4	1	0	0	23	12	224	10500	0	48	768
85	5 · 17	64	2	2	1	1	0	23	4	108	7540	dieciséis	48	864
86	2 · 43	42	2	2	1	1	0	23	4	132	9250	0	120	1056
87	3 · 29	56	2	2	1	1	0	23	4	120	8420	0	0	960
88	2 3 · 11	40	2	4	1	0	0	23	8	180	10370	0	24	288
89	89	88	1	1	−1	−1	4,49	24	2	90	7922	8	144	720
90	2 · 3 2 · 5	24	3	4	1	0	0	24	12	234	11830	8	120	1872
91	7 · 13	72	2	2	1	1	0	24	4	112	8500	0	48	896
92	2 2 · 23	44	2	3	−1	0	0	24	6	168	11130	0	0	576
93	3 · 31	60	2	2	1	1	0	24	4	128	9620	0	48	1024
94	2 · 47	46	2	2	1	1	0	24	4	144	11050	0	96	1152
95	5 · 19	72	2	2	1	1	0	24	4	120	9412	0	0	960
96	2 5 · 3	32	2	6	1	0	0	24	12	252	13650	0	24	96
97	97	96	1	1	−1	−1	4.57	25	2	98	9410	8	48	784
98	2 · 7 2	42	2	3	−1	0	0	25	6	171	12255	4	108	1368
99	3 2 · 11	60	2	3	−1	0	0	25	6	156	11102	0	72	1248
100	2 2 · 5 2	40	2	4	1	0	0	25	9	217	13671	12	30	744

Notas

1. Long (1972 , p. 151)
2. Pettofrezzo y Byrkit (1970 , p. 58)
3. Niven y Zuckerman, 4.2.
4. Nagell, I.9.
5. Bateman y Diamond, 2.1.
6. Hardy y Wright, introducción. a Ch. XVI
7. Hardy, Ramanujan , § 10.2
8. Apostol, Funciones modulares ... , § 1.15, Cap. 4 y cap. 6
9. Hardy y Wright, §§ 18.1–18.2
10. Gérald Tenenbaum (1995). Introducción a la teoría analítica y probabilística de números . Estudios de Cambridge en matemáticas avanzadas. 46 . Prensa de la Universidad de Cambridge . págs. 36–55. ISBN 0-521-41261-7.
11. Hardy & Wright, § 17.6, muestran cómo la teoría de las funciones generadoras puede construirse de una manera puramente formal sin prestar atención a la convergencia.
12. Hardy y Wright, Thm. 263
13. Hardy y Wright, Thm. 63
14. ver referencias a la función totient de Jordan
15. Holden y col. en enlaces externos La fórmula es de Gegenbauer
16. Hardy y Wright, Thm. 288–290
17. Dineva en enlaces externos, prop. 4
18. Hardy y Wright, Thm. 264
19. Hardy y Wright, Thm. 296
20. Hardy y Wright, Thm. 278
21. Hardy y Wright, Thm. 386
22. Hardy, Ramanujan , ecuaciones 9.1.2, 9.1.3
23. Koblitz, ej. III.5.2
24. Hardy y Wright, § 20.13
25. Hardy, Ramanujan , § 9.7
26. Hardy, Ramanujan , § 9.13
27. Hardy, Ramanujan , § 9.17
28. Williams, cap. 13; Huard y col. (enlaces externos).
29. Ramanujan, Sobre ciertas funciones aritméticas , Tabla IV; Documentos , pág. 146
30. Koblitz, ej. III.2.8
31. Koblitz, ej. III.2.3
32. Koblitz, ej. III.2.2
33. Koblitz, ej. III.2.4
34. Apostol, Funciones modulares ... , Ej. 6,10
35. Apostol, Funciones modulares ... , Cap. 6 Ej. 10
36. GH Hardy, S. Ramannujan, Formulas asintóticas en análisis combinatorio , § 1.3; en Ramannujan, Papers p. 279
37. Landau, pág. 168, acredita tanto a Gauss como a Dirichlet
38. Cohen, Def. 5.1.2
39. Cohen, Corr. 5.3.13
40. ver Edwards, § 9.5 ejercicios para fórmulas más complicadas.
41. Cohen, Prop 5.3.10
42. Ver función Divisor .
43. Hardy y Wright, eq. 22.1.2
44. Ver funciones de conteo de primos .
45. Hardy y Wright, eq. 22.1.1
46. Hardy y Wright, eq. 22.1.3
47. László Tóth, Identidad de Menon y sumas aritméticas ... , eq. 1
48. Tóth, eq. 5
49. Tóth, eq. 3
50. Tóth, eq. 35
51. Tóth, eq. 2
52. Tóth afirma que Menon probó esto para la f multiplicativaen 1965 y V. Sita Ramaiah para la f general.
53. Ver derivada aritmética
54. Hardy Ramanujan , eq. 3.10.3
55. Hardy y Wright, § 22.13
56. Hardy y Wright, Thm. 329
57. Hardy y Wright, Thms. 271, 272
58. Hardy y Wright, eq. 16.3.1
59. Ramanujan, Some Formulæ in the Analytic Theory of Numbers , eq. (C); Papeles p. 133. Una nota a pie de página dice que Hardy le dijo a Ramanujan que también aparece en un artículo de 1857 de Liouville.
60. Ramanujan, Some Formulæ in the Analytic Theory of Numbers , eq. (F); Papeles p. 134
61. Apostol, Funciones modulares ... , cap. 6 eq. 4
62. Apostol, Funciones modulares ... , cap. 6 eq. 3

Referencias

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• Apostol, Tom M. (1989), Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory (2da edición) , Nueva York: Springer, ISBN 0-387-97127-0
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Otras lecturas

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enlaces externos

• "Función aritmética" , Enciclopedia de matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Matthew Holden, Michael Orrison, Michael Varble Otra generalización más de la función Totient de Euler
• Huard, Ou, Spearman y Williams. Evaluación elemental de ciertas sumas de convolución que involucran funciones divisorias
• Funciones de Dineva, Rosica, Euler Totient, Möbius y Divisor
• László Tóth, Identidad de Menon y sumas aritméticas que representan funciones de varias variables