Teorema de Seifert-Van Kampen
En matemáticas , el teorema de topología algebraica de Seifert-Van Kampen (llamado así por Herbert Seifert y Egbert van Kampen ), a veces simplemente llamado teorema de Van Kampen , expresa la estructura del grupo fundamental de un espacio topológico en términos de los grupos fundamentales de dos abiertos. , subespacios conectados por caminos que cubren . Por lo tanto, puede usarse para cálculos del grupo fundamental de espacios que se construyen a partir de otros más simples.
Sea X un espacio topológico que es la unión de dos subespacios abiertos y conectados por caminos U 1 , U 2 . Suponga que U 1 ∩ U 2 es un camino conectado y no vacío, y sea x 0 un punto en U 1 ∩ U 2 que se usará como la base de todos los grupos fundamentales. Los mapas de inclusión de U 1 y U 2 en X inducen homomorfismos de grupo y . Entonces X es conexo por caminos y yformar un diagrama de desplazamiento conmutativo:
El morfismo natural k es un isomorfismo. Es decir, el grupo fundamental de X es el producto libre de los grupos fundamentales de U 1 y U 2 con amalgama de . [1]
Por lo general, los morfismos inducidos por la inclusión en este teorema no son en sí mismos inyectivos, y la versión más precisa del enunciado es en términos de expulsión de grupos.
Desafortunadamente, el teorema dado anteriormente no calcula el grupo fundamental del círculo, que es el ejemplo básico más importante en topología algebraica. La razón es que el círculo no puede realizarse como la unión de dos conjuntos abiertos con intersección conexa. Este problema se puede resolver trabajando con el grupoide fundamental sobre un conjunto A de puntos base, elegidos según la geometría de la situación. Así, para el círculo, se utilizan dos puntos base. [2]
