En topología algebraica , el grupoide fundamental es un cierto invariante topológico de un espacio topológico . Puede verse como una extensión del grupo fundamental más conocido ; como tal, captura información sobre el tipo de homotopía de un espacio topológico. En términos de teoría de categorías , el grupoide fundamental es un cierto funtor de la categoría de espacios topológicos a la categoría de grupos .
[...] la gente aún persiste obstinadamente, al calcular con grupos fundamentales, en fijar un único punto base, en lugar de elegir hábilmente todo un paquete de puntos que es invariable bajo las simetrías de la situación, que así se pierden en el camino. En ciertas situaciones (como los teoremas de descendencia para grupos fundamentales al estilo de Van Kampen Theorem es mucho más elegante, incluso indispensable para comprender algo, trabajar con grupos fundamentales con respecto a un paquete adecuado de puntos base, [,,,]
Definición
Sea X un espacio topológico . Considere la relación de equivalencia en trayectos continuos en X en la que dos trayectos continuos son equivalentes si son homotópicos con extremos fijos. El grupoide fundamental asigna a cada par ordenado de puntos ( p , q ) en X la colección de clases de equivalencia de trayectorias continuas desde p hasta q . Más generalmente, la groupoid fundamental de X en un conjunto S restringe el groupoid fundamental a los puntos que se encuentran tanto en X y S . Esto permite una generalización del Teorema de Van Kampen usando dos puntos base para calcular el grupo fundamental del círculo, y se analiza en detalle en el libro "Topología y grupos" que se enumera a continuación.
Como sugiere su nombre, el grupoide fundamental de X tiene naturalmente la estructura de un grupoide . En particular, forma una categoría; los objetos se toman como los puntos de X y la colección de morfismos de p a q es la colección de clases de equivalencia dadas anteriormente. El hecho de que esto satisfaga la definición de una categoría equivale al hecho estándar de que la clase de equivalencia de la concatenación de dos caminos solo depende de las clases de equivalencia de los caminos individuales. [1] Asimismo, el hecho de que esta categoría sea un grupoide, que afirma que todo morfismo es invertible, equivale al hecho estándar de que uno puede invertir la orientación de una ruta, y la clase de equivalencia de la concatenación resultante contiene la ruta constante. [2]
Tenga en cuenta que el grupo fundamental asigna, al par ordenado ( p , p ) , el grupo fundamental de X basado en p .
Propiedades básicas
Dado un espacio topológico X , los componentes de X conectados a la trayectoria están codificados naturalmente en su grupoide fundamental; la observación es que p y q están en el mismo componente de la trayectoria-conectado de X si y sólo si la colección de clases de equivalencia de caminos continuos de p a q es no vacío. En términos categóricos, la afirmación es que los objetos p y q están en el mismo componente groupoid si y sólo si el conjunto de morfismos de p a q es no vacío. [3]
Supongamos que X es trayectoria-conectado, y fijar un elemento p de X . Se puede ver el grupo fundamental π 1 ( X , p ) como una categoría; hay un objeto y los morfismos de él a sí mismo son los elementos de π 1 ( X , p ) . La selección, para cada q en M , de una ruta continua de p a q , permite usar la concatenación para ver cualquier ruta en X como un bucle basado en p . Esto define una equivalencia de categorías entre π 1 ( X , p ) y la groupoid fundamental de X . Más precisamente, este exhibe pi 1 ( X , p ) como un esqueleto de la groupoid fundamental de X . [4]
Paquetes de grupos y sistemas locales
Dado un espacio topológico X , un sistema local es un funtor del grupoide fundamental de X a una categoría. [5] Como caso especial importante, un conjunto de grupos (abelianos) en X es un sistema local valorado en la categoría de grupos (abelianos). Esto quiere decir que un conjunto de grupos en X asigna un grupo G p a cada elemento p de X , y asigna un homomorfismo de grupo G p → G q a cada camino continuo de p a q . Para ser un funtor, se requiere que estos homomorfismos de grupo sean compatibles con la estructura topológica, de modo que las rutas homotópicas con extremos fijos definan el mismo homomorfismo; además, los homomorfismos de grupo deben componerse de acuerdo con la concatenación e inversión de caminos. [6] Se puede definir homología con coeficientes en un paquete de grupos abelianos. [7]
Cuando X satisface ciertas condiciones, un sistema local se puede describir de manera equivalente como una gavilla localmente constante .
Ejemplos de
- El grupoide fundamental del espacio singleton es el grupoide trivial (un grupoide con un objeto * y un morfismo Hom (*, *) = {id * : * → * }
- El grupoide fundamental del círculo está conectado y todos sus grupos de vértices son isomorfos a (Z, +), el grupo aditivo de números enteros .
La hipótesis de la homotopía
La hipótesis de la homotopía , una conjetura bien conocida en la teoría de la homotopía formulada por Alexander Grothendieck , establece que una generalización adecuada del grupoide fundamental, conocido como el -grupoide fundamental , captura toda la información sobre un espacio topológico hasta la equivalencia de homotopía débil .
Referencias
- ^ Spanier, sección 1.7; Lema 6 y teorema 7.
- ^ Spanier, sección 1.7; Teorema 8.
- ^ Spanier, sección 1.7; Teorema 9.
- ^ Mayo, sección 2.5.
- ^ Spanier, capítulo 1; Ejercicios F.
- ^ Whitehead, sección 6.1; página 257.
- ^ Whitehead, sección 6.2.
- Ronald Brown. Topología y grupoides. Tercera edición de Elements of modern topology [McGraw-Hill, Nueva York, 1968]. Con 1 CD-ROM (Windows, Macintosh y UNIX). BookSurge, LLC, Charleston, SC, 2006. xxvi + 512 págs. ISBN 1-4196-2722-8
- Brown, R., Higgins, P. ~ J. y Sivera, R., `` Topología algebraica nobeliana: espacios filtrados, complejos cruzados, grupoides homotópicos cúbicos. Tracts in Mathematics Vol 15. European Mathematical Society (2011). (663 + xxv páginas) ISBN 978-3-03719-083-8
- JP May. Un curso conciso de topología algebraica. Conferencias de Chicago en Matemáticas. University of Chicago Press, Chicago, IL, 1999. x + 243 págs. ISBN 0-226-51182-0 , 0-226-51183-9
- Edwin H. Spanier. Topología algebraica. Reimpresión corregida del original de 1966. Springer-Verlag, Nueva York-Berlín, 1981. xvi + 528 págs. ISBN 0-387-90646-0
- George W. Whitehead. Elementos de la teoría de la homotopía. Textos de posgrado en matemáticas, 61. Springer-Verlag, Nueva York-Berlín, 1978. xxi + 744 págs. ISBN 0-387-90336-4
enlaces externos
- El sitio web de Ronald Brown, un autor destacado sobre el tema de los grupoides en topología: http://groupoids.org.uk/
- groupoid fundamental en nLab
- fundamental infinity-groupoid en nLab