Teoremas de Sylow

En matemáticas, específicamente en el campo de la teoría de grupos finitos , los teoremas de Sylow son una colección de teoremas llamados así por el matemático noruego Peter Ludwig Sylow ^[1] que dan información detallada sobre el número de subgrupos de orden fijo que contiene un grupo finito dado . Los teoremas de Sylow forman parte fundamental de la teoría de grupos finitos y tienen aplicaciones muy importantes en la clasificación de grupos finitos simples .

Para un número primo , un p - subgrupo de Sylow (a veces p -subgrupo de Sylow ) de un grupo es un subgrupo maximal de , es decir, un subgrupo de que es un p -grupo (lo que significa que su cardinalidad es una potencia de o, de manera equivalente, el el orden de cada elemento del grupo es una potencia de ) que no es un subgrupo propio de ningún otro -subgrupo de . A veces se escribe el conjunto de todos los subgrupos de Sylow para un número primo dado .${\ estilo de visualización p}$${\ estilo de visualización G}$${\ estilo de visualización p}$${\ estilo de visualización G}$${\ estilo de visualización G}$${\ estilo de visualización p,}$${\ estilo de visualización p}$${\ estilo de visualización p}$${\ estilo de visualización G}$${\ estilo de visualización p}$${\ estilo de visualización p}$${\displaystyle {\text{Syl}}_{p}(G)}$

Los teoremas de Sylow afirman una inversa parcial al teorema de Lagrange . El teorema de Lagrange establece que para cualquier grupo finito el orden (número de elementos) de cada subgrupo de divide el orden de . Los teoremas de Sylow establecen que por cada factor primo del orden de un grupo finito , existe un subgrupo de Sylow de orden , la potencia máxima de que divide al orden de . Además, todo subgrupo de orden es un subgrupo de Sylow de , y los subgrupos de Sylow de un grupo (para un primo dado ) son conjugados entre sí. Además, el número de Sylow${\ estilo de visualización G}$${\ estilo de visualización G}$${\ estilo de visualización G}$ ${\ estilo de visualización p}$${\ estilo de visualización G}$${\ estilo de visualización p}$${\ estilo de visualización G}$${\displaystyle p^{n}}$${\ estilo de visualización p}$${\ estilo de visualización G}$${\displaystyle p^{n}}$${\ estilo de visualización p}$${\ estilo de visualización G}$${\ estilo de visualización p}$${\ estilo de visualización p}$${\ estilo de visualización p}$-subgrupos de un grupo para un número primo dado es congruente con .${\ estilo de visualización p}$${\displaystyle 1{\text{ mod }}p}$

En D ₆ todos los reflejos son conjugados, ya que los reflejos corresponden a los 2 subgrupos de Sylow.

En D ₁₂ , las reflexiones ya no corresponden a los 2 subgrupos de Sylow y se dividen en dos clases de conjugación.