El teorema de Sylvester o la fórmula de Sylvester describe una interpretación particular de la suma de tres vectores distintos por pares de igual longitud en el contexto de la geometría del triángulo . También se lo conoce como problema de Sylvester (triángulo) en la literatura, cuando se presenta como un problema en lugar de un teorema. El teorema lleva el nombre del matemático británico James Joseph Sylvester .
Teorema
Considere tres vectores distintos por pares de igual longitud , y cada uno de ellos actuando sobre el mismo punto creando así los puntos , y . Esos puntos forman el triangulo con como el centro de su circunferencia . Ahora dejadenotar el ortocentro del triángulo, luego el vector de conexiónes igual a la suma de los tres vectores: [1] [2]
Además, dado que los puntos y están ubicados en la línea de Euler junto con el centroide la siguiente ecuación es válida: [3]
Generalización
Si se descarta la condición de igual longitud en el teorema de Sylvester y se consideran simplemente tres vectores distintos por pares arbitrarios, entonces la ecuación anterior ya no se cumple. Sin embargo, la relación con el centroide sigue siendo cierta, es decir: [3]
Esto se sigue directamente de la definición del centroide para un conjunto finito de puntos en, que también produce una versión para vectores actuando sobre : [3]
Aquí es el centroide de los vértices del polígono generado por el vectores actuando sobre . [4]
Referencias
- ^ Roger A. Johnson: geometría euclidiana avanzada . Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0 , pág. 251
- ^ Heinrich Dörrie: 100 grandes problemas de matemáticas elementales . Dover, 1965, ISBN 0486-61348-8 , S. 142 ( copia en línea en el archivo de Internet )
- ^ a b c Michael de Villiers: "'Generalizando un problema de Sylvester". En: The Mathematical Gazette , volumen 96, no. 535 (marzo de 2012), págs.78-81 ( JSTOR )
- ^ Tenga en cuenta que el centroide (área) de un polígono con n vértices difiere del centroide de sus vértices para n > 3
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Problema del triángulo de Sylvester" . MathWorld .
- Darij Grinberg: Solución al problema matemático mensual estadounidense 11398 de Stanley Huang : contiene el teorema de Sylvester, incluida su demostración como lema