Marco sincrónico

Un marco sincrónico es un marco de referencia en el que la coordenada de tiempo define el tiempo adecuado para todos los observadores en movimiento. Se construye eligiendo como origen alguna hipersuperficie de tiempo constante , de modo que en cada punto se pueda construir una normal a lo largo de la línea de tiempo y un cono de luz con un vértice en ese punto; todos los elementos de intervalo en esta hipersuperficie son espaciales . Una familia de geodésicas normales a esta hipersuperficie se dibujan y definen como las coordenadas de tiempo con un comienzo en la hipersuperficie.

Tal construcción, y por lo tanto, la elección de la trama síncrona, siempre es posible, aunque no es única. Permite cualquier transformación de coordenadas espaciales que no dependa del tiempo y, además, una transformación provocada por la elección arbitraria de la hipersuperficie utilizada para esta construcción geométrica.

Sincronización sobre un espacio curvo

La sincronización de relojes ubicados en diferentes puntos del espacio significa que los eventos que suceden en diferentes lugares se pueden medir como simultáneos si esos relojes muestran las mismas horas. En relatividad especial , el elemento de distancia espacial dl se define como los intervalos entre dos eventos muy cercanos que ocurren en el mismo momento de tiempo. En la relatividad general esto no se puede hacer, es decir, no se puede definir dl simplemente sustituyendo dt ≡ dx ⁰ = 0 en la métrica . La razón de esto es la diferente dependencia entre el tiempo adecuado y la coordenada de tiempo x ⁰ ≡ t en diferentes puntos del espacio.

Figura 1. Sincronización de relojes en espacio curvo mediante señales luminosas.

Para encontrar dl en este caso, el tiempo se puede sincronizar en algún lapso de espacio de la siguiente manera (Fig.1): Bob envía una señal de luz desde algún punto espacial B con coordenadas a Alice que está en un punto A muy cercano con coordenadas x ^α y luego Alice refleja inmediatamente ( para fotones) la señal de regreso a Bob. El tiempo necesario para esta operación (medido por Bob), multiplicado por c es, obviamente, la distancia duplicada entre Alice y Bob.${\displaystyle x^{\alpha }+dx^{\alpha }}$${\displaystyle ds_{A}^{2}=0}$

El elemento de línea , con coordenadas espaciales y temporales separadas, es:

${\displaystyle ds^{2}=g_{\alpha \beta }\,dx^{\alpha }\,dx^{\beta }+2g_{0\alpha }\,dx^{0}\,dx^{\alpha }+g_{00}\left(dx^{0}\right)^{2},}$

( ecuación 1 )

donde un índice griego repetido dentro de un término significa la suma de los valores 1, 2, 3. El intervalo entre los eventos de llegada de la señal y su reflexión inmediata en el punto A es cero (dos eventos, la llegada y la reflexión ocurren en el mismo punto en espacio y tiempo). La ecuación resuelta para dx ⁰ da dos raíces:${\displaystyle ds_{A}^{2}=0}$

${\displaystyle dx^{0(1)}={\frac {1}{g_{00}}}\left(-g_{0\alpha }\,dx^{\alpha }-{\sqrt {\left(g_{0\alpha }g_{0\beta }-g_{\alpha \beta }g_{00}\right)\,dx^{\alpha }\,dx^{\beta }}}\right),}$

${\displaystyle dx^{0(2)}={\frac {1}{g_{00}}}\left(-g_{0\alpha }\,dx^{\alpha }+{\sqrt {\left(g_{0\alpha }g_{0\beta }-g_{\alpha \beta }g_{00}\right)\,dx^{\alpha }\,dx^{\beta }}}\right),}$

( ecuación 2 )

que corresponden a la propagación de la señal en ambas direcciones entre Alice y Bob. Si x ⁰ es el momento de llegada / reflexión de la señal a / de Alicia en el reloj a continuación, los momentos de salida de la señal de Bob y su posterior llegada a Bob corresponden, respectivamente, a la de Bob x ⁰ + dx ^{0 (1)} y x ⁰ + dx ^{0 (2)} . Las líneas gruesas en la Fig. 1 son las líneas del mundo de Alice y Bob con coordenadas x ^α y x ^α + dx ^α , respectivamente, mientras que las líneas rojas son las líneas del mundo de las señales. La figura 1 supone que dx ^{0 (2)}es positivo y dx ^{0 (1)} es negativo, lo que, sin embargo, no es necesariamente el caso: dx ^{0 (1)} y dx ^{0 (2)} pueden tener el mismo signo. El hecho de que en el último caso el valor x ⁰ (Alice) en el momento de la llegada de la señal a la posición de Alice pueda ser menor que el valor x ⁰ (Bob) en el momento de la salida de la señal de Bob no contiene una contradicción porque los relojes en no se supone que los diferentes puntos del espacio estén sincronizados. Está claro que el intervalo de "tiempo" completo entre la salida y la llegada de la señal en el lugar de Bob es

${\displaystyle dx^{0(2)}-dx^{0(1)}={\frac {2}{g_{00}}}{\sqrt {\left(g_{0\alpha }g_{0\beta }-g_{\alpha \beta }g_{00}\right)\,dx^{\alpha }\,dx^{\beta }}}.}$

El intervalo de tiempo apropiado respectivo se obtiene de la relación anterior multiplicando por , y la distancia dl entre los dos puntos, por multiplicación adicional por c / 2. Como resultado:${\displaystyle {\sqrt {g_{00}}}/c}$

${\displaystyle dl^{2}=\left(-g_{\alpha \beta }+{\frac {g_{0\alpha }g_{0\beta }}{g_{00}}}\right)\,dx^{\alpha }\,dx^{\beta }.}$

( ecuación 3 )

Ésta es la relación requerida que define la distancia a través de los elementos de coordenadas espaciales.

Es obvio que dicha sincronización debería realizarse mediante el intercambio de señales luminosas entre puntos. Considere nuevamente la propagación de señales entre los puntos A y B infinitesimalmente cercanos en la Fig. 1. La lectura del reloj en B que es simultánea con el momento de reflexión en A se encuentra en el medio entre los momentos de envío y recepción de la señal en B ; en este momento, si el reloj de Alice marca y ⁰ y el reloj de Bob marca x ^0, entonces a través de la condición de sincronización de Einstein ,

${\displaystyle y^{0}={\frac {(x^{0}+dx^{0(1)})+(x^{0}+dx^{0(2)})}{2}}=x^{0}+{\tfrac {1}{2}}\left(dx^{0(2)}+dx^{0(1)}\right)=x^{0}+\Delta x^{0}.}$

Sustituya aquí la ec. 2 para encontrar la diferencia en "tiempo" x ⁰ entre dos eventos simultáneos que ocurren en puntos infinitesimalmente cercanos como

${\displaystyle \Delta x^{0}=-{\frac {g_{0\alpha }\,dx^{\alpha }}{g_{00}}}\equiv g_{\alpha }\,dx^{\alpha }.}$

( ecuación 4 )

Esta relación permite la sincronización del reloj en cualquier volumen de espacio infinitesimalmente pequeño. Al continuar dicha sincronización más allá del punto A , se pueden sincronizar los relojes, es decir, determinar la simultaneidad de eventos a lo largo de cualquier línea abierta. La condición de sincronización se puede escribir de otra forma multiplicando la ecuación. 4 por g ₀₀ y trayendo términos al lado izquierdo

${\displaystyle \Delta x_{0}=g_{0i}dx^{i}=0}$

( ecuación 5 )

o, el "diferencial covariante" dx ₀ entre dos puntos infinitesimalmente cercanos debe ser cero.

Sin embargo, es imposible, en general, sincronizar los relojes a lo largo de un contorno cerrado: partiendo por el contorno y volviendo al punto de partida se obtendría un valor de Δ x ⁰ diferente de cero. Por tanto, la sincronización inequívoca de los relojes en todo el espacio es imposible. Una excepción son los marcos de referencia en los que todos los componentes g _0α son ceros.

La incapacidad de sincronizar todos los relojes es una propiedad del marco de referencia y no del propio espacio-tiempo. Siempre es posible de infinitas formas en cualquier campo gravitacional elegir el marco de referencia de modo que los tres g _{0α se} conviertan en ceros y permitan así una sincronización completa de los relojes. A esta clase se le asignan casos en los que g _0α se puede convertir en ceros mediante un simple cambio en la coordenada de tiempo que no implica la elección de un sistema de objetos que definen las coordenadas espaciales.

En la teoría de la relatividad especial, también, el tiempo apropiado transcurre de manera diferente para los relojes que se mueven relativamente entre sí. En la relatividad general, el tiempo adecuado es diferente incluso en el mismo marco de referencia en diferentes puntos del espacio. Esto significa que el intervalo de tiempo adecuado entre dos eventos que ocurren en algún punto del espacio y el intervalo de tiempo entre los eventos simultáneos con los de otro punto del espacio son, en general, diferentes.

Tensor métrico espacial

Eq. 3 se pueden reescribir en la forma

${\displaystyle dl^{2}=\gamma _{\alpha \beta }\,dx^{\alpha }\,dx^{\beta },}$

( ecuación 6 )

donde

${\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }=-g_{\alpha \beta }+{\frac {g_{0\alpha }g_{0\beta }}{g_{00}}}}$

( ecuación 7 )

es el tensor métrico tridimensional que determina la métrica, es decir, las propiedades geométricas del espacio. Ecuaciones eq. 7 dan las relaciones entre la métrica del espacio tridimensional y la métrica del espaciotiempo tetradimensional .${\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }}$${\displaystyle g_{ik}}$

En general, sin embargo, depende de x ⁰ por lo que cambia con el tiempo. Por tanto, no tiene sentido integrar dl : esta integral depende de la elección de la línea del mundo entre los dos puntos en los que se toma. De ello se deduce que en la relatividad general la distancia entre dos cuerpos no se puede determinar en general; esta distancia se determina solo para puntos infinitesimalmente cercanos. La distancia se puede determinar para regiones de espacio finito solo en tales marcos de referencia en los que g _ik no depende del tiempo y, por lo tanto, la integral a lo largo de la curva espacial adquiere algún sentido definido.${\displaystyle g_{ik}}$${\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }}$${\textstyle \int dl}$

El tensor es inverso al tensor tridimensional contravariante . De hecho, al escribir la ecuación en componentes, uno tiene:${\displaystyle -\gamma _{\alpha \beta }}$${\displaystyle g^{\alpha \beta }}$${\displaystyle g^{ik}g_{kl}=\delta _{l}^{i}}$

${\displaystyle g^{\alpha \beta }g_{\beta \gamma }+g^{\alpha 0}g_{0\gamma }=\delta _{\gamma }^{\alpha },}$

${\displaystyle g^{\alpha \beta }g_{\beta 0}+g^{\alpha 0}g_{00}=0,}$

( ecuaciones 8 )

${\displaystyle g^{0\beta }g_{\beta 0}+g^{00}g_{00}=1.}$

Determinando a partir de la segunda ecuación y sustituyéndola en la primera se prueba que${\displaystyle g^{\alpha 0}}$

${\displaystyle -g^{\alpha \beta }\gamma _{\beta \gamma }=\delta _{\gamma }^{\alpha },}$

( ecuación 9 )

Este resultado se puede presentar de otra manera diciendo que son componentes de un tensor tridimensional contravariante correspondiente a la métrica :${\displaystyle g^{\alpha \beta }}$${\displaystyle \gamma ^{\alpha \beta }}$

${\displaystyle \gamma ^{\alpha \beta }=-g^{\alpha \beta }.}$

( ecuación 10 )

Los determinantes g y compuestos por elementos y , respectivamente, están relacionados entre sí por la simple relación:${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle g_{ik}}$${\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }}$

${\displaystyle -g=g_{00}\gamma .}$

( ecuación 11 )

En muchas aplicaciones, es conveniente definir un vector g tridimensional con componentes covariantes

${\displaystyle g_{\alpha }=-{\frac {g_{0\alpha }}{g_{00}}}.}$

( ecuación 12 )

Considerando g como un vector en el espacio con métrica , sus componentes contravariantes se pueden escribir como . Usando eq. 11 y la segunda de las ecs. 8 , es fácil ver que${\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }}$${\displaystyle g^{\alpha }=\gamma ^{\alpha \beta }g_{\beta }}$

${\displaystyle g^{\alpha }=\gamma ^{\alpha \beta }g_{\beta }=-g^{0\alpha }.}$

( ecuación 13 )

A partir del tercero de las ecs. 8 , sigue

${\displaystyle g^{00}={\frac {1}{g_{00}}}-g_{\alpha }g^{\alpha }.}$

( ecuación 14 )

Coordenadas sincrónicas

Como se concluye de la ec. 5 , la condición que permite la sincronización del reloj en diferentes puntos del espacio es que los componentes del tensor métrico g _0α sean ceros. Si, además, g ₀₀ = 1, entonces la coordenada de tiempo x ⁰ = t es el tiempo adecuado en cada punto del espacio (con c = 1). Un marco de referencia que cumple las condiciones

${\displaystyle g_{00}=1,\quad g_{0\alpha }=0,}$

( ecuación 15 )

se llama trama síncrona . El elemento de intervalo en este sistema viene dado por la expresión

${\displaystyle ds^{2}=dt^{2}-g_{\alpha \beta }\,dx^{\alpha }\,dx^{\beta },}$

( ecuación 16 )

con los componentes del tensor métrico espacial idénticos (con signo opuesto) a los componentes g _αβ :

${\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }=-g_{\alpha \beta }.}$

( ecuación 17 )

Figura 2. Un marco síncrono construido con la elección de la hipersuperficie similar al tiempo t = const (color verde azulado). Solo se muestra una coordenada espacial x ¹ = x . Los cuatro observadores tienen los mismos tiempos propios x ⁰ = t que son normales a la hipersuperficie en sus espaciotiempos localmente planos (mostrados por los conos de luz ). El vector unitario n ⁰ = u ⁰ = 1 se muestra en amarillo. No hay componentes de velocidad espacial ( u ^α = 0) por lo que el tiempo propio común es una línea geodésica con un comienzo en la hipersuperficie y una dirección positiva (flechas rojas).

En el marco de tiempo sincrónico, las líneas de tiempo son normales a las hiperesuperficies t = const. De hecho, la unidad de cuatro vectores normal a tal hipersuperficie n _i = ∂ t / ∂ x ⁱ tiene componentes covariantes n _α = 0, n ₀ = 1. Los respectivos componentes contravariantes con las condiciones eq. 15 son nuevamente n ^α = 0, n ⁰ = 1.

Las componentes de la normal unitaria coinciden con las del cuatro vector u ⁱ = dx ⁱ / ds que es tangente a la recta mundial x ¹ , x ² , x ³ = const. La u ⁱ con componentes u ^α = 0, u ⁰ = 1 satisface automáticamente las ecuaciones geodésicas :

${\displaystyle {\frac {du^{i}}{ds}}+\Gamma _{kl}^{i}u^{k}u^{l}=\Gamma _{00}^{i}=0,}$

ya que, a partir de las condiciones eq. 15 , los símbolos de Christoffel y desaparecen de forma idéntica. Por lo tanto, en el marco sincrónico, las líneas de tiempo son geodésicas en el espacio-tiempo.${\displaystyle \Gamma _{00}^{\alpha }}$${\displaystyle \Gamma _{00}^{0}}$

Estas propiedades se pueden utilizar para construir una trama síncrona en cualquier espacio-tiempo (Fig. 2). Para ello, elija una hipersuperficie similar a un espacio como origen, tal que tenga en cada punto una normal a lo largo de la línea de tiempo (se encuentra dentro del cono de luz con un vértice en ese punto); todos los elementos de intervalo en esta hipersuperficie son espaciales. Luego dibuja una familia de geodésicas normales a esta hipersuperficie. Elija estas líneas como líneas de coordenadas de tiempo y defina la coordenada de tiempo t como la longitud s de la geodésica medida con un comienzo en la hipersuperficie; el resultado es una trama sincrónica.

Se puede realizar una transformación analítica a un marco sincrónico con el uso de la ecuación de Hamilton-Jacobi . El principio de este método se basa en el hecho de que las trayectorias de partículas en campos gravitacionales son geodésicas. La ecuación de Hamilton-Jacobi para una partícula (cuya masa es igual a la unidad) en un campo gravitacional es

${\displaystyle g^{ik}{\frac {\partial S}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial S}{\partial x^{k}}}=1,}$

( ecuación 18a )

donde S es la acción. Su integral completa tiene la forma:

${\displaystyle S=f\left(\xi ^{\alpha },x^{i}\right)+A\left(\xi ^{\alpha }\right),}$

( ecuación 18b )

donde f es una función de las cuatro coordenadas x ⁱ y los tres parámetros ξ ^α ; la constante A se trata como una función arbitraria de los tres ξ ^α . Con tal representación para S, las ecuaciones para la trayectoria de la partícula se pueden obtener igualando las derivadas ∂S / ∂ξ ^α a cero, es decir

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \xi ^{\alpha }}}=-{\frac {\partial A}{\partial \xi ^{\alpha }}}.}$

( ecuación 18c )

Para cada conjunto de valores asignados de los parámetros ξ ^α , los lados derechos de las ecuaciones 18a-18c tienen valores constantes definidos, y la línea del mundo determinada por estas ecuaciones es una de las posibles trayectorias de la partícula. Escogiendo las cantidades ξ ^α , que son constantes a lo largo de la trayectoria, como nuevas coordenadas espaciales, y la cantidad S como nueva coordenada temporal, se obtiene una trama sincrónica; la transformación de las coordenadas antiguas a las nuevas viene dada por las ecuaciones 18b-18c . De hecho, se garantiza que para tal transformación las líneas de tiempo serán geodésicas y serán normales a las hipersuperficies S= const. El último punto es obvio a partir de la analogía mecánica: el cuatro vectores ∂S / ∂x ⁱ que es normal a la hipersuperficie coincide en mecánica con los cuatro momentos de la partícula y, por lo tanto, coincide en la dirección con su cuatro velocidades u ⁱ es decir, con los cuatro vectores tangentes a la trayectoria. Finalmente, la condición g ₀₀ = 1 se satisface obviamente, ya que la derivada - dS / ds de la acción a lo largo de la trayectoria es la masa de la partícula, que se fijó igual a 1; por lo tanto | dS / ds | = 1.

Las condiciones de calibre eq. 15 no fijan el sistema de coordenadas por completo y, por lo tanto, no son un indicador fijo , ya que la hipersuperficie similar a un espacio en se puede elegir arbitrariamente. Uno todavía tiene la libertad de realizar algunas transformaciones de coordenadas que contienen cuatro funciones arbitrarias dependiendo de las tres variables espaciales x ^α , que se resuelven fácilmente en forma infinitesimal:${\displaystyle t=0}$

${\displaystyle x^{i}={\tilde {x}}^{i}+\xi ^{i}({\tilde {x}}).}$

( ecuación 18 )

Aquí, las colecciones de las cuatro coordenadas antiguas ( t , x ^α ) y cuatro coordenadas nuevas se indican con los símbolos x y , respectivamente. Las funciones junto con sus primeras derivadas son cantidades infinitesimalmente pequeñas. Después de tal transformación, el intervalo de cuatro dimensiones toma la forma:${\displaystyle ({\tilde {t}},{\tilde {x}}^{\alpha })}$${\displaystyle {\tilde {x}}}$${\displaystyle \xi ^{i}({\tilde {x}})}$

${\displaystyle ds^{2}=g_{ik}(x)dx^{i}dx^{k}=g_{ik}^{\text{(new)}}({\tilde {x}})d{\tilde {x}}^{i}d{\tilde {x}}^{k},}$

( ecuación 19 )

donde

${\displaystyle g_{ik}^{\text{(new)}}({\tilde {x}})=g_{ik}({\tilde {x}})+g_{il}({\tilde {x}}){\frac {\partial \xi ^{l}({\tilde {x}})}{\partial {\tilde {x}}^{k}}}+g_{kl}({\tilde {x}}){\frac {\partial \xi ^{l}({\tilde {x}})}{\partial {\tilde {x}}^{i}}}+{\frac {\partial g_{ik}({\tilde {x}})}{\partial {\tilde {x}}^{l}}}\xi ^{l}({\tilde {x}}).}$

( ecuación 20 )

En la última fórmula, son las mismas funciones g _ik ( x ) en las que x simplemente debería reemplazarse por . Si se desea conservar la eq. De calibre . 15 también para el nuevo tensor métrico en las nuevas coordenadas , es necesario imponer las siguientes restricciones a las funciones :${\displaystyle g_{ik}({\tilde {x}})}$${\displaystyle {\tilde {x}}}$${\displaystyle g_{ik}^{\text{(new)}}({\tilde {x}})}$${\displaystyle {\tilde {x}}}$${\displaystyle \xi ^{i}({\acute {x}})}$

${\displaystyle {\frac {\partial \xi ^{0}({\tilde {x}})}{\partial {\tilde {x}}}}=0,\quad g_{\alpha \beta }({\tilde {x}}){\frac {\partial \xi ^{\beta }({\tilde {x}})}{\partial {\tilde {t}}}}-{\frac {\partial \xi ^{0}({\tilde {x}})}{\partial {\tilde {x}}^{\alpha }}}=0.}$

( ecuación 21 )

Las soluciones de estas ecuaciones son:

${\displaystyle \xi ^{0}=f^{0}\left({\tilde {x}}^{1},{\tilde {x}}^{2},{\tilde {x}}^{3}\right),\quad \xi ^{\alpha }=\int {g^{\alpha \beta }({\tilde {x}}){\frac {\partial f^{0}\left({\tilde {x}}^{1},{\tilde {x}}^{2},{\tilde {x}}^{3}\right)}{\partial {\tilde {x}}^{\beta }}}d{\tilde {x}}^{0}}+f^{\alpha }\left({\tilde {x}}^{1},{\tilde {x}}^{2},{\tilde {x}}^{3}\right),}$

( ecuación 22 )

donde f ⁰ y f ^α son cuatro funciones arbitrarias que dependen únicamente de las coordenadas espaciales .${\displaystyle {\tilde {x}}^{\alpha }}$

Para una explicación geométrica más elemental, considere la Fig. 2. Primero, la línea de tiempo sincrónica ξ ⁰ = t puede elegirse arbitrariamente (Bob, Carol, Dana o cualquiera de los infinitos observadores). Esto hace que una función elegida arbitrariamente: . En segundo lugar, la hipersuperficie inicial se puede elegir de infinitas formas. Cada una de estas opciones cambia tres funciones: una función para cada una de las tres coordenadas espaciales . En total, cuatro (= 1 + 3) funciones son arbitrarias.${\displaystyle \xi ^{0}=f^{0}\left({\tilde {x}}^{1},{\tilde {x}}^{2},{\tilde {x}}^{3}\right)}$${\displaystyle \xi ^{\alpha }=f^{\alpha }\left({\tilde {x}}^{1},{\tilde {x}}^{2},{\tilde {x}}^{3}\right)}$

Cuando se discuten las soluciones generales g _αβ de las ecuaciones de campo en calibres síncronos, es necesario tener en cuenta que los potenciales gravitacionales g _αβ contienen, entre todos los posibles parámetros funcionales arbitrarios presentes en ellos, cuatro funciones arbitrarias de espacio tridimensional que solo representan el calibre libertad y, por tanto, sin importancia física directa.

Otro problema con el marco síncrono es que pueden producirse cáusticos que hacen que la elección del calibre se rompa. Estos problemas han causado algunas dificultades al hacer la teoría de la perturbación cosmológica en un marco sincrónico, pero ahora los problemas se comprenden bien. Las coordenadas síncronas generalmente se consideran el sistema de referencia más eficiente para realizar cálculos y se utilizan en muchos códigos de cosmología modernos, como CMBFAST . También son útiles para resolver problemas teóricos en los que es necesario arreglar una hipersuperficie espacial, como ocurre con las singularidades espaciales .

Ecuaciones de Einstein en marco sincrónico

La introducción de un marco sincrónico permite separar las operaciones de diferenciación espacial y temporal en las ecuaciones de campo de Einstein . Para hacerlos más concisos, la notación

${\displaystyle \varkappa _{\alpha \beta }={\frac {\partial \gamma _{\alpha \beta }}{\partial t}}}$

( ecuación 23 )

se introduce para las derivadas temporales del tensor métrico tridimensional; estas cantidades también forman un tensor tridimensional. En el marco sincrónico es proporcional a la segunda forma fundamental (tensor de forma). Todas las operaciones de cambio de índices y diferenciación covariante del tensor se realizan en un espacio tridimensional con la métrica γ _αβ . Esto no se aplica a las operaciones de cambio de índices en los componentes espaciales de los cuatro tensores R _ik , T _ik . Por tanto, T _α ^β debe entenderse como g ^βγ T _γα + g ^{β 0}${\displaystyle \varkappa _{\alpha \beta }}$${\displaystyle \varkappa _{\alpha \beta }}$T _{0 α} , que se reduce a g ^βγ T _γα y difiere en signo de γ ^βγ T _γα . La suma es la derivada logarítmica del determinante γ ≡ | γ _αβ | = - g :${\displaystyle \varkappa _{\alpha }^{\alpha }}$

${\displaystyle \varkappa _{\alpha }^{\alpha }=\gamma ^{\alpha \beta }{\frac {\partial \gamma _{\alpha \beta }}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial t}}\ln {(\gamma )}.}$

( ecuación 24 )

Luego, para el conjunto completo de símbolos de Christoffel, se obtiene:${\displaystyle \Gamma _{kl}^{i}}$

${\displaystyle \Gamma _{00}^{0}=\Gamma _{00}^{\alpha }=\Gamma _{0\alpha }^{0}=0,\quad \Gamma _{\alpha \beta }^{0}={\frac {1}{2}}\varkappa _{\alpha \beta },\quad \Gamma _{0\beta }^{\alpha }={\frac {1}{2}}\varkappa _{\beta }^{\alpha },\quad \Gamma _{\alpha \beta }^{\gamma }=\lambda _{\alpha \beta }^{\gamma }}$

( ecuación 25 )

¿Dónde están los símbolos de Christoffel tridimensionales construidos a partir de γ _αβ :${\displaystyle \lambda _{\alpha \beta }^{\gamma }}$

${\displaystyle \lambda _{\alpha \beta }^{\gamma }={\frac {1}{2}}\gamma ^{\gamma \mu }\left(\gamma _{\mu \alpha ,\beta }+\gamma _{\mu \beta ,\beta }-\gamma _{\alpha \beta ,\mu }\right),}$

( ecuación 26 )

donde la coma denota derivada parcial por la coordenada respectiva.

Con los símbolos de Christoffel eq. 25 , las componentes R ⁱ _k = g ^il R _lk del tensor de Ricci se pueden escribir en la forma:

${\displaystyle R_{0}^{0}=-{\frac {1}{2}}{\dot {\varkappa }}-{\frac {1}{4}}\varkappa _{\alpha }^{\beta }\varkappa _{\beta }^{\alpha },}$

( ecuación 27 )

${\displaystyle R_{\alpha }^{0}={\frac {1}{2}}\left(\varkappa _{\alpha ;\beta }^{\beta }-\varkappa _{,\alpha }\right),}$

( ecuación 28 )

${\displaystyle R_{\alpha }^{\beta }=-{\frac {1}{2{\sqrt {\gamma }}}}{\dot {\left({\sqrt {\gamma }}\varkappa _{\alpha }^{\beta }\right)}}-P_{\alpha }^{\beta }.}$

( ecuación 29 )

Dots en la parte superior denotan diferenciación tiempo, punto y coma ( ";") denotan covariante diferenciación que en este caso se realiza con respecto a la tridimensional métrica gamma _aß con tridimensionales símbolos de Christoffel , y P _alpha ^ß es un tridimensional Ricci tensor construido a partir de :${\displaystyle \lambda _{\alpha \beta }^{\gamma }}$${\displaystyle \varkappa \equiv \varkappa _{\alpha }^{\alpha }}$${\displaystyle \lambda _{\alpha \beta }^{\gamma }}$

${\displaystyle P_{\alpha }^{\beta }=\gamma ^{\beta \gamma }P_{\gamma \alpha },\quad P_{\alpha \beta }=\lambda _{\alpha \beta ,\gamma }^{\gamma }-\lambda _{\gamma \alpha ,\beta }^{\gamma }+\lambda _{\alpha \beta }^{\gamma }\lambda _{\gamma \mu }^{\mu }-\lambda _{\alpha \mu }^{\gamma }\lambda _{\beta \gamma }^{\mu }.}$

( ecuación 30 )

Se sigue de la ecuación. 27-29 que las ecuaciones de Einstein (con los componentes del tensor de energía-momento T ₀ ⁰ = - T ₀₀ , T _α ⁰ = - T _0α , T _α ^β = γ ^βγ T _γα ) se convierten en un marco sincrónico:${\displaystyle R_{i}^{k}=8\pi k\left(T_{i}^{k}-{\frac {1}{2}}\delta _{i}^{k}T\right)}$

${\displaystyle R_{0}^{0}=-{\frac {1}{2}}{\dot {\varkappa }}-{\frac {1}{4}}\varkappa _{\alpha }^{\beta }\varkappa _{\beta }^{\alpha }=8\pi k\left(T_{0}^{0}-{\frac {1}{2}}T\right),}$

( ecuación 31 )

${\displaystyle R_{\alpha }^{0}={\frac {1}{2}}\left(\varkappa _{\alpha ;\beta }^{\beta }-\varkappa _{,\alpha }\right)=8\pi kT_{\alpha }^{0},}$

( ecuación 32 )

${\displaystyle R_{\alpha }^{\beta }=-{\frac {1}{2{\sqrt {\gamma }}}}{\dot {\left({\sqrt {\gamma }}\varkappa _{\alpha }^{\beta }\right)}}-P_{\alpha }^{\beta }=8\pi k\left(T_{\alpha }^{\beta }-{\frac {1}{2}}\delta _{\alpha }^{\beta }T\right).}$

( ecuación 33 )

Un rasgo característico del marco síncrono es que no es estacionario: el campo gravitacional no puede ser constante en dicho marco. En un campo constante se convertiría en cero. Pero en presencia de la materia, la desaparición de todos contradeciría la ec. 31 (que tiene un lado derecho diferente de cero). En espacio vacío de eq. 33 se deduce que todos los P _αβ , y con ellos todos los componentes del tensor de curvatura tridimensional P _αβγδ ( tensor de Riemann ) se desvanecen, es decir, el campo se desvanece por completo (en un marco sincrónico con una métrica espacial euclidiana el espacio-tiempo es plano) .${\displaystyle \varkappa _{\alpha \beta }}$${\displaystyle \varkappa _{\alpha \beta }}$

Al mismo tiempo, la materia que llena el espacio no puede, en general, estar en reposo en relación con la trama sincrónica. Esto es obvio por el hecho de que las partículas de materia dentro de las cuales hay presiones generalmente se mueven a lo largo de líneas que no son geodésicas; la línea del mundo de una partícula en reposo es una línea de tiempo y, por lo tanto, es una geodésica en el marco sincrónico. Una excepción es el caso del polvo ( p = 0). Aquí, las partículas que interactúan entre sí se moverán a lo largo de líneas geodésicas; en consecuencia, en este caso, la condición para una trama síncrona no contradice la condición de que esté en concordancia con la materia. Incluso en este caso, para poder elegir un marco comoving sincrónicamente, sigue siendo necesario que la materia se mueva sin rotación. En el marco comovivo, las componentes contravariantes de la velocidad son u ⁰ = 1, u ^α = 0. Si el marco también es síncrono, las componentes covariantes deben satisfacer u ₀ = 1, u _α = 0, de modo que su rizo en cuatro dimensiones debe desaparecer:

${\displaystyle u_{i;k}-u_{k;i}\equiv {\frac {\partial u_{i}}{\partial x^{k}}}-{\frac {\partial u_{k}}{\partial x^{i}}}=0.}$

Pero esta ecuación tensorial también debe ser válida en cualquier otro marco de referencia. Por lo tanto, en un marco sincrónico pero no comovivo, se necesita adicionalmente la condición curl v = 0 para la velocidad tridimensional v . Para otras ecuaciones de estado, una situación similar puede ocurrir solo en casos especiales cuando el gradiente de presión desaparece en todas o en ciertas direcciones.

Singularidad en cuadro sincrónico

El uso del marco sincrónico en problemas cosmológicos requiere un examen minucioso de su comportamiento asintótico. En particular, se debe saber si el marco síncrono puede extenderse al tiempo infinito y al espacio infinito manteniendo siempre el etiquetado inequívoco de cada punto en términos de coordenadas en este marco.

Se demostró que la sincronización inequívoca de los relojes en todo el espacio es imposible debido a la imposibilidad de sincronizar los relojes a lo largo de un contorno cerrado. En lo que respecta a la sincronización en un tiempo infinito, recordemos primero que las líneas de tiempo de todos los observadores son normales a la hipersuperficie elegida y, en este sentido, son "paralelas". Tradicionalmente, el concepto de paralelismo se define en geometría euclidiana para significar líneas rectas que están en todas partes equidistantes entre sí, pero en geometrías arbitrarias este concepto puede extenderse para significar líneas que son geodésicas . Fue mostradoque las líneas de tiempo son geodésicas en un marco sincrónico. Otra definición de líneas paralelas, más conveniente para el presente propósito, son aquellas que tienen todos o ninguno de sus puntos en común. Excluyendo el caso de todos los puntos en común (obviamente, la misma línea) se llega a la definición de paralelismo donde no hay dos líneas de tiempo que tengan un punto común.

Dado que las líneas de tiempo en un marco sincrónico son geodésicas, estas líneas son rectas (la trayectoria de la luz) para todos los observadores en la hipersuperficie generadora. La métrica espacial es

${\displaystyle dl^{2}=\gamma _{\alpha \beta }dx^{\alpha }dx^{\beta }}$.

El determinante del tensor métrico es el valor absoluto de la triple producto de los vectores de fila en la matriz que es también el volumen de la paralelepípedo abarcado por los vectores , y (es decir, paralelepípedo cuyos lados adyacentes son los vectores , y ).${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }}$${\displaystyle {\vec {\gamma }}_{1}}$${\displaystyle {\vec {\gamma }}_{2}}$${\displaystyle {\vec {\gamma }}_{3}}$${\displaystyle {\vec {\gamma }}_{1}}$${\displaystyle {\vec {\gamma }}_{2}}$${\displaystyle {\vec {\gamma }}_{3}}$

${\displaystyle \gamma =|{\vec {\gamma }}_{1}\cdot ({\vec {\gamma }}_{2}\times {\vec {\gamma }}_{3})|={\begin{vmatrix}\gamma _{11}&\gamma _{12}&\gamma _{13}\\\gamma _{21}&\gamma _{22}&\gamma _{23}\\\gamma _{31}&\gamma _{32}&\gamma _{33}\end{vmatrix}}=V_{\text{parallelepiped}}}$

Si se convierte en cero, entonces el volumen de este paralelepípedo es cero. Esto puede suceder cuando uno de los vectores se encuentra en el plano de los otros dos vectores de modo que el volumen del paralelepípedo se transforma en el área de la base (la altura se vuelve cero), o más formalmente, cuando dos de los vectores son linealmente dependientes. Pero luego se pueden etiquetar múltiples puntos (los puntos de intersección) de la misma manera, es decir, la métrica tiene una singularidad.${\displaystyle \gamma }$

El grupo de Landau ^[1] ha descubierto que el marco sincrónico necesariamente forma una singularidad de tiempo, es decir, las líneas de tiempo se cruzan (y, respectivamente, el determinante del tensor métrico se vuelve cero) en un tiempo finito.

Esto se demuestra de la siguiente manera. La mano derecha de la eq. 31 , que contiene los tensores de tensión-energía de la materia y el campo electromagnético,

${\displaystyle T_{i}^{k}=\left(p+\varepsilon \right)\times u_{i}u^{k}+p\delta _{i}^{k}}$

es un número positivo debido a la fuerte condición de energía . Esto se puede ver fácilmente cuando se escribe en componentes.

por materia

${\displaystyle T_{0}^{0}-{\frac {1}{2}}T={\frac {1}{2}}\left(\varepsilon +3p\right)+{\frac {\left(p+\varepsilon \right)v^{2}}{1-v^{2}}}>0}$

para campo electromagnético

${\displaystyle T=0,\quad T_{0}^{0}={1 \over 2}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)>0}$

Teniendo en cuenta lo anterior, la eq. 31 luego se reescribe como una desigualdad

${\displaystyle -R_{0}^{0}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial t}}\varkappa _{\alpha }^{\alpha }+{\frac {1}{4}}\varkappa _{\alpha }^{\beta }\varkappa _{\beta }^{\alpha }\leq 0}$

( ecuación 34 )

con la igualdad perteneciente al espacio vacío.

Usando la desigualdad algebraica

${\displaystyle \varkappa _{\beta }^{\alpha }\varkappa _{\alpha }^{\beta }\geq {\frac {1}{3}}\left(\varkappa _{\alpha }^{\alpha }\right)^{2}}$

eq. 34 se convierte en

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\varkappa _{\alpha }^{\alpha }+{\frac {1}{6}}\left(\varkappa _{\alpha }^{\alpha }\right)^{2}\leq 0}$.

Dividiendo ambos lados y usando la igualdad ${\displaystyle \left(\varkappa _{\alpha }^{\alpha }\right)^{2}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\left(\varkappa _{\alpha }^{\alpha }\right)^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}\varkappa _{\alpha }^{\alpha }=-{\frac {\partial }{\partial t}}{\frac {1}{\varkappa _{\alpha }^{\alpha }}}}$

se llega a la desigualdad

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}{\frac {1}{\varkappa _{\alpha }^{\alpha }}}\geq {1 \over 6}}$.

( ecuación 35 )

Dejemos, por ejemplo, en algún momento del tiempo. Debido a que la derivada es positiva, entonces la razón disminuye con el tiempo decreciente, teniendo siempre una derivada finita distinta de cero y, por lo tanto, debe convertirse en cero, viniendo del lado positivo, durante un tiempo finito. En otras palabras, se convierte , y porque , esto significa que el determinante se vuelve cero (según la ecuación 35 no más rápido que ). Si, por otro lado, inicialmente, lo mismo es cierto para aumentar el tiempo.${\displaystyle \varkappa _{\alpha }^{\alpha }>0}$${\textstyle {\frac {1}{\varkappa _{\alpha }^{\alpha }}}}$${\displaystyle \varkappa _{\alpha }^{\alpha }}$${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle \varkappa _{\alpha }^{\alpha }=\partial \ln \gamma /\partial t}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle t^{6}}$${\displaystyle \varkappa _{\alpha }^{\alpha }<0}$

Se puede obtener una idea sobre el espacio en la singularidad considerando el tensor métrico diagonalizado . La diagonalización hace que los elementos de la matriz en todas partes sean cero excepto la diagonal principal cuyos elementos son los tres valores propios y ; estos son tres valores reales cuando el discriminante del polinomio característico es mayor o igual a cero o un valor conjugado real y dos complejos cuando el discriminante es menor que cero. Entonces, el determinante es solo el producto de los tres valores propios. Si solo uno de estos valores propios se vuelve cero, entonces todo el determinante es cero. Sea, por ejemplo, el valor propio real se convierte en cero (${\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}}$${\displaystyle \lambda _{3}}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \lambda _{1}=0}$). Entonces, la matriz diagonalizada se convierte en una matriz de 2 × 2 con los valores propios (generalmente complejos conjugados) en la diagonal principal. Pero esta matriz es el tensor métrico diagonalizado del espacio donde ; por lo tanto, lo anterior sugiere que en la singularidad ( ) el espacio es bidimensional cuando solo un valor propio se convierte en cero. ${\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }}$${\displaystyle \lambda _{2},\lambda _{3}}$${\displaystyle \gamma =0}$${\displaystyle \gamma =0}$

Geométricamente, la diagonalización es una rotación de la base de los vectores que componen la matriz de tal forma que la dirección de los vectores base coincida con la dirección de los autovectores . Si es una matriz simétrica real , los vectores propios forman una base ortonormal que define un paralelepípedo rectangular cuya longitud, anchura y altura son las magnitudes de los tres valores propios. Este ejemplo es especialmente demostrativo porque el determinante${\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }}$${\displaystyle \gamma }$que es también el volumen del paralelepípedo es igual a largo × ancho × alto, es decir, el producto de los valores propios. Al hacer que el volumen del paralelepípedo sea igual a cero, por ejemplo, al igualar la altura a cero, solo queda una cara del paralelepípedo, un espacio bidimensional, cuya área es largo × ancho. Continuando con la obliteración e igualando el ancho a cero, uno queda con una línea de longitud de tamaño, un espacio unidimensional. Igualar aún más la longitud a cero deja solo un punto, un espacio de dimensión 0, que marca el lugar donde ha estado el paralelepípedo.

Figura 3.

Una analogía de la óptica geométrica es la comparación de la singularidad con cáusticos, como el patrón brillante en la Fig. 3, que muestra cáusticos formados por un vaso de agua iluminado desde el lado derecho. Los rayos de luz son un análogo de las líneas de tiempo de los observadores en caída libre localizados en la hipersuperficie sincronizada. A juzgar por los lados aproximadamente paralelos del contorno de la sombra proyectada por el vidrio, se puede suponer que la fuente de luz está a una distancia prácticamente infinita del vidrio (como el sol), pero esto no es seguro ya que la fuente de luz no se muestra en la foto. Entonces se puede suponer que los rayos de luz (líneas de tiempo) son paralelos sin que esto se pruebe con certeza. El vaso de agua es un análogo de las ecuaciones de Einstein o los agentes detrás de ellas que doblan las líneas de tiempo para formar el patrón cáustico (la singularidad).Este último no es tan simple como la cara de un paralelepípedo, pero es una mezcla complicada de varios tipos de intersecciones. Se puede distinguir una superposición de espacios bidimensionales, unidimensionales o nulos, es decir, entremezclados de superficies y líneas, algunas convergiendo en un punto (cúspide ) como la formación de punta de flecha en el centro del patrón cáustico. ^{[2] [3]}

La conclusión de que los campos vectoriales geodésicos temporales deben alcanzar inevitablemente una singularidad después de un tiempo finito ha sido alcanzada independientemente por Raychaudhuri mediante otro método que condujo a la ecuación de Raychaudhuri , que también se llama ecuación de Landau-Raychaudhuri para honrar a ambos investigadores.

Ver también

• Coordenadas normales
• Congruencia (relatividad general) , para una derivación de la descomposición cinemática y de la ecuación de Raychaudhuri.

Referencias

1. Lifshitz, Sudakov y Khalatnikov 1961 .
2. Arnol'd 1989 , aplicación. 16, Singularidades de los sistemas de rayos. sfn error: no target: CITEREFArnol'd1989 (help)
3. Arnol'd 1996 . sfn error: no target: CITEREFArnol'd1996 (help)

Bibliografía

• Landau, Lev D .; Lifshitz, Evgeny M. (1988). "§97. El sistema de referencia síncrono". Теория поля [ Teoría de campo ]. Curso de Física Teórica (en ruso). 2 (Izd. 7., ed. Ispr.). Moskva: Nauka, Glav. rojo. fiziko-matematicheskoĭ lit-ry. ISBN 5-02-014420-7. OCLC  21793854 .(Traducción al inglés: Landau, LD y Lifshitz, EM (2000). "# 97. El sistema de referencia sincrónico". The Classical Theory of Fields . Oxford: Elsevier Butterworth Heinemann. ISBN 978-0-7506-2768-9. )
• Lifshitz, Evgeny M .; Sudakov, VV; Khalatnikov, IM (1961). "Singularidades de soluciones cosmológicas de las ecuaciones gravitacionales.III". JETP . 40 : 1847.; Cartas de revisión física , 6 , 311 (1961)
• Arnolʹd, VI (1989). Métodos matemáticos de la mecánica clásica . Textos de posgrado en matemáticas. 60 (2ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96890-3. OCLC  18681352 .

• Arnolʹd, VI (1996). Особенности каустик и волновых фронтов [ Singularidades de cáusticos y frentes de onda ]. Biblioteca del Matemático (en ruso). 1 . Moscú: FAZIS. ISBN 5-7036-0021-9. OCLC  43811626 .
• Carroll, Sean M. (2019). "Sección 7.2". Espacio-tiempo y geometría: una introducción a la relatividad general (1 ed.). San Francisco: Cambridge University Press. doi : 10.1017 / 9781108770385 . ISBN 978-1-108-48839-6.
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