En álgebra , los sistemas de ecuaciones bilineales son conjuntos de ecuaciones, cada una de las cuales está escrita como una forma bilineal , para las cuales se busca una solución común. Dado un conjunto de variables representa como un vector x , y otro representado por un vector y , a continuación, un sistema de ecuaciones bilineales para x y y puede ser escrito. Aquí, i es un número entero cuyo valor varía de 1 a algún límite superior r , elson matrices yson algunos números reales . Los sistemas de ecuaciones bilineales surgen en muchas materias, incluidas la ingeniería , la biología y la estadística .
Consideramos aquí la teoría de la solución para ecuaciones bilineales en números enteros. Sea el sistema dado de ecuación bilineal
Este sistema se puede escribir como
Una vez que resolvemos este sistema lineal de ecuaciones, al usar la factorización de rango a continuación, podemos obtener una solución para el sistema bilineal dado.
Ahora resolvemos la primera ecuación usando la forma normal de Smith . Dado cualquier matriz , podemos obtener dos matrices y en y , respectivamente, de modo que , dónde es como sigue:
dónde y por . Dado un sistema, podemos reescribirlo como , dónde y . Resolviendo es más fácil que la matriz es algo diagonal. Como estamos multiplicando con algunas matrices no singulares, los dos sistemas de ecuaciones son equivalentes en el sentido de que las soluciones de un sistema tienen una correspondencia biunívoca con las soluciones de otro sistema. Solucionamos, y tomar . Dejemos que la solucion de ser
dónde son enteros libres y todas estas son soluciones de . Entonces, cualquier solución de es . Dejar ser dado por
Luego es
Queremos matrix tener rango 1 para poder hacer la factorización dada en la segunda ecuación. Resolver ecuaciones cuadráticas en 2 variables en números enteros nos dará las soluciones para un sistema bilineal. Este método puede extenderse a cualquier dimensión, pero en dimensiones superiores las soluciones se vuelven más complicadas. Este algoritmo se puede aplicar en Sage o MATLAB .